4、＝，
∴＝.
∵A為三角形的內(nèi)角，∴sin A≠0，
∴cos A＝.
又0＜A＜π，∴A＝，∴B＝2A＝.
∴C＝π－A－B＝，∴△ABC為直角三角形．
由勾股定理得c＝＝2.]
3．(2016·全國甲卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________.
[在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，
∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又∵＝，∴b＝＝＝.]
回訪2 三角形的面積問題
4．(2014·全國卷Ⅱ)鈍角三角形A
5、BC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝( )
A．5 B.
C．2 D．1
B [∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，
∴sin B＝，∴B＝或.
當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，符合題意；
當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此時(shí)AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝.]
5．(2014·全國卷Ⅰ)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(si
6、n A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為________．
[∵＝＝＝2R，a＝2，
又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化為
(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，
∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
∴＝＝＝cos A，∴∠A＝60°.
∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取得)，
∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.]
回訪3 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用
6．(2014·全國卷Ⅰ)如圖2-1，為測量山高M(jìn)N，選
7、擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)．從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________m.
圖2-1
150 [根據(jù)圖示，AC＝100 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝?AM＝100 m.
在△AMN中，＝sin 60°，
∴MN＝100×＝150(m)．]
(對應(yīng)學(xué)生用書第167頁)
熱點(diǎn)題型1 正、余弦定理的應(yīng)用
題型分析：利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦
8、定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化.
(2016·四川高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且＋＝.
(1)證明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
[解] (1)證明：根據(jù)正弦定理，可設(shè)＝＝＝k(k>0)．
則a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，2分
即sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).4分
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C．6分
(2
9、)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根據(jù)余弦定理，有
cos A＝＝，8分
所以sin A＝＝.9分
由(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋ sin B，11分
故tan B＝＝4.12分
關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口．
[變式訓(xùn)練1] (1)(2016·威海二模)已知等腰△ABC滿足AB＝AC，BC＝2AB，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)且AD＝BD，則
10、sin∠ADB的值為( )
【導(dǎo)學(xué)號：67722013】
A. B.
C. D.
C [如圖，設(shè)AB＝AC＝a，AD＝BD＝b，
由BC＝2AB，得BC＝a，
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ABC＝＝＝.
∵AB＝AC，∴∠ABC是銳角，
則sin∠ABC＝＝，
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，
∴b2＝a2＋b2－2·a·b·，解得a＝b，
由正弦定理得，＝，
∴＝，解得sin∠ADB＝.]
(2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos B＋bcos(B＋C)＝
11、0.
①證明：△ABC為等腰三角形；
②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值．
[解]?、僮C明：∵acos B＋bcos (B＋C)＝0，
∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos(π－A)＝0，
即sin Acos B－sin Bcos A＝0，3分
∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.4分
∵A，B是△ABC的兩內(nèi)角，
∴A－B＝0，即A＝B，5分
∴△ABC是等腰三角形.6分
②由2(b2＋c2－a2)＝bc，
得＝，7分
由余弦定理得cos A＝，8分
cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝1－2cos
12、2 A＝.10分
∵A＝B，∴cos B＝cos A＝，11分
∴cos B＋cos C＝＋＝.12分
熱點(diǎn)題型2 三角形面積的求解問題
題型分析：三角形面積的計(jì)算及與三角形面積有關(guān)的最值問題是解三角形的重要命題點(diǎn)之一，本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等.
(2015·山東高考)設(shè)f(x)＝sin xcos x－cos2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值．
【解題指導(dǎo)】 (1)
―→
(2)
[解] (1)由題意知
f(x)＝－
＝－＝sin 2x－
13、.2分
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.4分
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是－＋kπ，＋kπ(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z).6分
(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，7分
由題意知A為銳角，所以cos A＝.8分
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，10分
即bc≤2＋，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號成立．
因此bcsin A≤，
所以△ABC面積的最大值為.12分
1．在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)常先將函數(shù)的解析式利
14、用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B，y＝Atan(ωx＋φ)＋B)的形式，進(jìn)而利用函數(shù)y＝sin x(或y＝cos x，y＝tan x)的圖象與性質(zhì)解決問題．
2．在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有a2＋c2和ac兩項(xiàng)，二者的關(guān)系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac經(jīng)常用到，有時(shí)還可利用基本不等式求最值．
[變式訓(xùn)練2] (2016·淄博模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1.
(1)若sin C＝，求a，c；
(2)若△ABC是直角三
15、角形，求△ABC的面積．
[解] (1)∵sin C＝，∴cos2C＝1－sin2C＝，cos C＝.1分
∵4cos C＝a＋，
∴＝a＋，解得a＝或a＝.3分
又＋a＝4cos C＝4×＝4×，
∴a2＋1＝2(a2＋1－c2)，即2c2＝a2＋1.5分
∴當(dāng)a＝時(shí)，c＝2；當(dāng)a＝時(shí)，c＝.6分
(2)由(1)可知2c2＝a2＋1.
又△ABC為直角三角形，C不可能為直角．
①若角A為直角，則a2＝b2＋c2＝c2＋1，
∴2c2－1＝c2＋1，
∴c＝，a＝，8分
∴S＝bc＝×1×＝.9分
②若角B為直角，則b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1.
∴2c2＝a2
16、＋1＝(1－c2)＋1，
∴c2＝，a2＝，即c＝，a＝，11分
∴S＝ac＝××＝.12分
專題限時(shí)集訓(xùn)(二) 解三角形
[建議A、B組各用時(shí)：45分鐘]
[A組 高考達(dá)標(biāo)]
一、選擇題
1．(2016·煙臺模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＝，則cos B＝( )
A．－ B.
C．－ D.
B [由正弦定理，得＝＝，即sin B＝cos B，∴tan B＝.又0
17、722014】
A. B.
C．2 D．4
C [由正弦定理得sin Bsin A－sin Acos B＝0.∵sin A≠0，∴sin B－cos B＝0，∴tan B＝.又0＜B＜π，∴B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac.
又b2＝ac，∴4b2＝(a＋c)2，解得＝2.故選C.]
3．(2016·臨沂模擬)在△ABC中，cos A＝，3sin B＝2sin C，且△ABC的面積為2，則邊BC的長度為( )
A．2 B．3
C．2 D.
B [由cos A＝得sin
18、A＝，由S△ABC＝bcsin A＝2，
得bc＝6，又由3sin B＝2sin C，得3b＝2c.
解方程組得
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋32－2×6×＝9，
∴a＝3，即BC＝3.]
4．(2016·河北武邑中學(xué)期中)在△ABC中，c＝，b＝1，∠B＝，則△ABC的形狀為( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等邊三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D [根據(jù)余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，當(dāng)a＝1時(shí)，三角形ABC為等腰三角形，當(dāng)a＝2時(shí)，三角形ABC為直角三角形，故選D.]
5．(2016·?？谡{(diào)研)如圖2-2
19、，在△ABC中，C＝，BC＝4，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cos A＝( )
圖2-2
A. B.
C. D.
C [∵DE＝2，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cos A＝，故選C.]
二、填空題
6．(2016·石家莊一模)已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，則的值為__________. 【導(dǎo)學(xué)號：67722015】
6 [在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得
20、AB＝6或AB＝－2(舍)，則cos ∠ABC＝＝，BD＝AB·cos∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.]
7．(2016·湖北七州聯(lián)考)如圖2-3，為了估測某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點(diǎn)處進(jìn)行測量，在點(diǎn)A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上，仰角為60°；在點(diǎn)B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上，仰角為30°.若A，B兩點(diǎn)相距130 m，則塔的高度CD＝__________m.
圖2-3
10 [分析題意可知，設(shè)CD＝h，則AD＝，BD＝h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 1
21、20°，可得1302＝3h2＋－2·h··，解得h＝10，故塔的高度為10 m．]
8．(2016·合肥二模)如圖2-4，△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝60°，若△ADC是銳角三角形，則DA＋DC的取值范圍是__________．
圖2-4
(6,4] [在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12，即AC＝2.設(shè)∠ACD＝θ(30°<θ<90°)，則在△ADC中，由正弦定理得＝＝，則DA＋DC＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4＝4sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，4sin 60°
22、sin 90°，即6
23、
由c＜a，得C＜A，從而cos C＝，8分
故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝，10分
所以△ABC的面積為S＝acsin B＝×××＝(＋).12分
10．(2016·東北三省四市聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝.
(1)求的值；
(2)若角A是鈍角，且c＝3，求b的取值范圍．
[解] (1)由題意及正弦定理得sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin Bcos C，1分
∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin A c
24、os C)，
∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C).3分
∵A＋B＋C＝π，4分
∴sin A＝2sin B，∴＝2.5分
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝<0，
∴b>.①8分
∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，②10分
由①②得b的取值范圍是(，3).12分
[B組 名校沖刺]
一、選擇題
1．(2016·濰坊模擬)已知△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos B＋bcos A＝3ccos C，則cos C的值為( )
A. B.
C. D.
B [由acos B＋bcos A＝3ccos C得sin Aco
25、s B＋cos Asin B＝3sin Ccos C，
即sin(A＋B)＝3sin Ccos C，即sin C＝3sin Ccos C，
所以cos C＝.]
2．(2016·全國丙卷)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝
( )
A. B.
C．－ D．－
C [法一：設(shè)△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
則由題意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a.
∴cos A＝＝＝－.故選C.
法二：同法一得c＝a.
由正弦定理得sin C
26、＝sin A, 又B＝，∴sin C＝sin＝sin A，即cos A＋sin A＝sin A，∴tan A＝－3，∴A為鈍角．
又∵1＋tan2A＝，∴cos2A＝，
∴cos A＝－.故選C.]
3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且A>B>C,3b＝20acos A，則sin A∶sin B∶sin C＝( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
D [∵A>B>C，∴a>b>c.
又∵a，b，c為連續(xù)的三個正整數(shù)，
∴設(shè)a＝n＋1，b＝n，c＝n－1(n≥2，n∈N*)．
∵3b＝20ac
27、os A，∴＝cos A，
∴＝，
＝，
即＝，
化簡得7n2－27n－40＝0，(n－5)(7n＋8)＝0，
∴n＝5.
又∵＝＝，
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.
故選D.]
4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足csin A＝acos C，則sin A＋sin B的最大值是( )
A．1 B.
C．3 D.
D [∵csin A＝acos C，∴sin Csin A＝sin Acos C.
∵sin A≠0，∴tan C＝，
∵0＜C＜π，∴C＝，
∴sin A＋sin B＝sin A＋sin＝si
28、n A＋cos A＝sin.
∵0＜A＜，∴＜A＋＜，
∴＜sin≤，
∴sin A＋sin B的最大值為.故選D.]
二、填空題
5．(2016·忻州聯(lián)考)已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分線CD把三角形分成面積比為4∶3的兩部分，則cos A＝__________.
[由題意可知S△ACD∶S△BCD＝4∶3，
∴AD∶DB＝4∶3，AC∶BC＝4∶3，在△ABC中，由正弦定理得
sin B＝sin A，
又B＝2A，∴sin 2A＝sin A，∴cos A＝.]
6．(2016·太原二模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若∠B＝∠C，且7a
29、2＋b2＋c2＝4，則△ABC面積的最大值為__________.
【導(dǎo)學(xué)號：67722016】
[法一：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝4，得7a2＋2b2＝4，則2b2＝4－7a2，由余弦定理得cos C＝＝，所以sin C＝＝＝，則△ABC的面積為S＝absin C＝ab×＝＝≤×＝×4＝，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝時(shí)取等號，則△ABC的面積的最大值為.
法二：由∠B＝∠C得b＝c，所以7a2＋b2＋c2＝4，即為7a2＋2c2＝4，則△ABC面積為a ＝≤×＝，所以最大值為.]
三、解答題
7．(2016·威海二模)已知f(x)＝cos x(λsin x－cos x)＋
30、cos2＋1(λ＞0)的最大值為3.
(1)求函數(shù)f(x)的對稱軸；
(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＝，若不等式f(B)＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解] (1)f(x)＝cos x(λsin x－cos x)＋cos2＋1
＝λsin xcos x－cos2x＋sin2x＋1＝λsin 2x－cos 2x＋1
≤＋1.2分
由題意知：＋1＝3，λ2＝12.
∵λ＞0，∴λ＝2，4分
∴f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1.5分
令2x－＝＋kπ，解得x＝＋(k∈Z)，
∴函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝＋(k∈Z).6分
31、(2)∵＝，由正弦定理得，＝，
可變形得，sin(A＋B)＝2cos Asin C，即sin C＝2cos Asin C．8分
∵sin C≠0，∴cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝，9分
∴f(B)＝2sin＋1，只需f(B)max＜m.
∵0＜B＜，∴－＜2B－＜，10分
∴－＜sin≤1，即0＜f(B)≤3，11分
∴m＞3.12分
8．(2016·福州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足(2b－c)cos A＝acos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，求△ABC周長的最大值．
[解] (1)由(2b－c)cos A＝acos C及正弦定理，
得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，3分
∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C，
∴2sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B.
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0.
∵A∈(0，π)，cos A＝，∴A＝.6分
(2)由(1)得A＝，由正弦定理得＝＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C.
△ABC的周長l＝3＋2sinB＋2sin9分
＝3＋2sinB＋2
＝3＋3sin B＋3cos B
＝3＋6sin.
∵B∈，∴當(dāng)B＝時(shí)，△ABC的周長取得最大值為9.12分
高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點(diǎn)2 解三角形教師用書 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題
