高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第16課　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 已知函數(shù)f(x)=x2+2xf'(1),那么f'(-1)=　　　　.? 2. 某汽車(chē)的路程函數(shù)是s(t)=2t3-gt2(g=10 m/s2),則當(dāng)t=2 s時(shí),汽車(chē)的加速度為　　　　.? 3. 已知函數(shù)f(x)=在x=1處的導(dǎo)數(shù)為-2,那么實(shí)數(shù)a的值為　　　　.? 4. (2015·鹽城中學(xué)模擬)若f(x)=x2-2x-4ln x,則f'(x)>0的解集是　　　　.? 5. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=xnex; (2) y=; (3) y=exln x; (4) y=(x+1)2(x-1

2、). 6. 在F1賽車(chē)中,賽車(chē)位移與比賽時(shí)間t間滿足函數(shù)關(guān)系s=10t+5t2(s的單位為m,t的單位為s). (1) 當(dāng)t=20s,Δt=0.1s時(shí),求Δs與; (2) 求t=20s時(shí)的瞬時(shí)速度. B　鞏固提升 1. 在函數(shù)y=x2+1的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及附近一點(diǎn)(1+Δx,2+Δy),則=　　　　.? 2. 已知函數(shù)f(x)=f'cos x+sin x,那么f的值為　　　　.? 3. (2015·天津卷)已知函數(shù)f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a為實(shí)數(shù),f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f'(1)=3,則a的值為　　　　.? 4. 已知f1(x)=si

3、n x+cos x,記f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2 (x),…,fn(x)=f'n-1(x)(n∈N*且n≥2),則f1+f2+…+f2 017=　　　　.? 5. 已知某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=(位移s的單位:m,時(shí)間t的單位:s). (1) 求該物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度; (2) 求該物體的初速度v0; (3) 求該物體在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度. 6. 對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義f″(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的導(dǎo)函數(shù).若f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)圖象的“拐點(diǎn)”.已

4、知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x-2. (1) 求函數(shù)f(x)圖象的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo); (2) 求證:f(x)的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱. 第17課　曲線的切線 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 已知曲線f(x)=ax2+3x-2在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的斜率為7,那么實(shí)數(shù)a的值為　　　　.? 2. 曲線y=-5ex+3在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程為　　　　　　　　.? 3. (2015·南師附中調(diào)研)若曲線f(x)=2ax3-a在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2x-y+1=0平行,則實(shí)數(shù)a的值為　　 　　.? 4. 曲線y=lnx上的點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離的最小值是　　　　.

5、? 5. 對(duì)于函數(shù)f(x)=x3+ax2-9x-1,當(dāng)曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行時(shí),求實(shí)數(shù)a的值. 6. 已知曲線y=(ax-1)ex在點(diǎn)A(x0,y1)處的切線為l1,曲線y=(1-x)e-x在點(diǎn)B(x0,y2)處的切線為l2.若存在x0∈,使得l1⊥l2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. B　鞏固提升 1. (2015·如東模擬)已知函數(shù)f(x)=f'(0)cos x+sin x,則函數(shù)f(x)的圖象在x0=處的切線方程為　　　　　　.? 2. 若曲線y=在點(diǎn)(a,)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18,則實(shí)數(shù)a=　　　　.? 3. (2016·海

6、安中學(xué))若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 4. (2015·通州模擬)已知曲線C1:y=x2與C2:y=-(x-2)2,若直線l與C1,C2都相切,則直線l的方程為　　　　　　.? 5. 已知曲線y=(x>0). (1) 求曲線在x=2處的切線方程; (2) 求曲線上的點(diǎn)到直線3x-4y-11=0的距離的最小值. 6. 已知曲線f(x)=x+(t>0)和點(diǎn)P(1,0),過(guò)點(diǎn)P作曲線y=f(x)的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)分別為M(x1,y1),N(x2,y2). (1) 求證:x1,x2是關(guān)于x的方程x2+2tx-t=0的兩根;

7、(2) 設(shè)MN=g(t),求函數(shù)g(t)的表達(dá)式. 第18課　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 已知函數(shù)f(x)=x2-5x+2lnx,那么f(x)的單調(diào)增區(qū)間為　　　　.? 2. (2016·無(wú)錫期末改編)函數(shù)f(x)=lnx+的單調(diào)減區(qū)間是　　　　.? 3. 已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函數(shù),那么實(shí)數(shù)a的最大值是　　　　.? 4. 若函數(shù)f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)b的取值范圍為　　　　.? 5. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)P(1,2), 且在點(diǎn)P處的切線的斜率為8.

8、 (1) 求a,b的值; (2) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. 6. (2016·山東卷)已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間. B　鞏固提升 1. 函數(shù)y=x-2sinx在(0,2π)內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為　　　　.? 2. 已知函數(shù)f(x)=ln x+2x,若f(x2+2)0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 4. (2015·唐山一中模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)

9、+f '(x)>1,f(0)=4,那么不等式exf(x)>ex+3的解集為　　　　.? 5. (2016·上饒期初)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R. (1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),求a的取值范圍. 6. 已知函數(shù)f(x)=aln x+,其中a為常數(shù). (1) 若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程; (2) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 第19課　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最(極)值 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間上的最大值是　　　　.? 2. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2

10、+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,那么=　　　　　.? 3. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3處取得極值,那么實(shí)數(shù)a=　　　　.? 4. 若函數(shù)f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在(0,2)內(nèi)的極大值為最大值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　.? 5. 已知f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于y軸. (1) 求a的值; (2) 求函數(shù)f(x)的極值. 6. (2016·南通、揚(yáng)州、泰州三模)已知函數(shù)f(x)=xex-asinxcosx(a∈R). (1) 當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的極值

11、; (2) 若對(duì)于任意的x∈,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍. B　鞏固提升 1. 已知函數(shù)f(x)=x3+a2x2+ax+b,且當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)f(x)的極值為-,那么f(2)=　　　　.? 2. 已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+3ax+1在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)既有極大值,又有極小值,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 3. (2015·中華中學(xué)模擬)函數(shù)y=+(x∈(0,π))的最小值為　　　　.? 4. (2016·蘇州、無(wú)錫、常州、鎮(zhèn)江二模)已知函數(shù)f(x)=若存在x1,x2∈R,當(dāng)0≤x1<4≤x2≤6時(shí),f(x1)=f(x2),則x1·f(x2)的取值范圍是　

12、　　　.? 5. (2016·無(wú)錫期末改編)已知函數(shù)f(x)=lnx+(a>0),若不等式f(x)≥a對(duì)于任意x>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 6. (2016·南通一調(diào))已知函數(shù)f(x)=a+lnx(a∈R). (1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2) 試求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論. 第20課　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 若函數(shù)y=ax3-x在R上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 2. 已知函數(shù)f(x)=x3-3a2x+1的圖象與直線y=3只有一個(gè)公共點(diǎn),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 　　　　.? 3. (2015·無(wú)錫模擬)已知某生產(chǎn)

13、廠家的年利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)件)間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為　　　　萬(wàn)件.? 4. 已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上,那么當(dāng)正六棱柱的體積最大時(shí),其高為　　　　.? 5. (2015·曲塘中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+6x-a. (1) 若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,f'(x)≥m恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值; (2) 若方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 6. (2016·南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州二調(diào))某植物園擬建一個(gè)多邊形苗圃,苗圃的一邊緊靠著長(zhǎng)度大于30 m的圍墻.現(xiàn)有

14、兩種方案:方案一,多邊形為直角三角形AEB(∠AEB=90°),如圖(1)所示,其中AE+EB=30 m; 方案二,多邊形為等腰梯形AEFB(AB>EF),如圖(2)所示,其中AE=EF=BF=10 m.請(qǐng)你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積,并從中確定使苗圃面積最大的方案. 圖(1) 圖(2) (第6題) B　鞏固提升 1. 已知a∈R,函數(shù)y=ex+ax,x∈R有大于零的極值點(diǎn),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 2. 若函數(shù)y=m與y=3x-x3的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為　　　　　　.? 3. (2016·北京卷改編)若函數(shù)f(x)=x3+4

15、x2+4x+c有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的取值范圍為　　　　.? 4. (2015·海門(mén)中學(xué)模擬) 若對(duì)任意的x∈[1,e],都有aln x≥-x2+(a+2)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 5. (2015·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)=ln x+a(1-x). (1) 討論f(x)的單調(diào)性; (2) 當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 6. (2016·南通、揚(yáng)州、泰州、淮安三調(diào))某賓館在裝修時(shí),為了美觀,欲將客房的窗戶設(shè)計(jì)成半徑為1 m的圓形,并用四根木條將圓分成如圖所示的9個(gè)區(qū)域,其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形,現(xiàn)計(jì)劃將矩形ABCD

16、區(qū)域設(shè)計(jì)為可推拉的窗口. (1) 若窗口ABCD為正方形,且面積大于 m2(木條的寬度忽略不計(jì)),求四根木條總長(zhǎng)的取值范圍; (2) 若四根木條總長(zhǎng)為6 m,求窗口ABCD面積的最大值. (第6題) 第三章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第16課　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. -6　【解析】f'(x)=2x+2f'(1),f'(1)=2+2f'(1),所以f'(1)=-2,所以f'(x)=2x-4,故f'(-1)=-6. 2. 4 m/s2　【解析】由題意知汽車(chē)的速度函數(shù)為v(t)=s'(t)=6t2-2gt,則v'(t)=12t-2g,故當(dāng)t=2 s時(shí),汽車(chē)的加速度是

17、v'(2)=12×2-2×10=4(m/s2). 3. 2　【解析】由題設(shè)得f'(x)=-,當(dāng)x=1時(shí),-a=-2,即a=2. 4. (2,+∞)　【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=2x-2->0,解得x>2. 5. 【解答】(1) y'=nex+xnex= ex(n+x). (2) y'==-. (3) y'=exln x+ex·=ex. (4) 因?yàn)閥=(x+1)2(x-1)=(x+1)·(x2-1)=x3+x2-x-1, 所以y'=3x2+2x-1. 6. 【解答】(1) Δs=s(20+Δt)-s(20)= 10(20+0.1)+5(20+0.

18、1)2-10×20-5×202=21.05(m). ==210.5(m/s). (2) 由導(dǎo)數(shù)的定義知瞬時(shí)速度為v(t)====5Δt+10t+10. 當(dāng)Δt→0,t=20s時(shí),v=10×20+10=210(m/s). B　鞏固提升 1. Δx+2　【解析】==Δx+2. 2. 1　【解析】由題意得f'(x)=-f'sin x+cos x? f'=-f'sin+cos,所以f'==-1,所以f(x)=(-1)cos x+sin x,所以f=(-1)cos+sin=1. 3. 3　【解析】因?yàn)閒'(x)=a(1+ln x),所以f'(1)=a=3. 4. 1　【解析】f2(x)=

19、f'1(x)=cos x-sin x,f3(x)=f'2(x)=-sin x-cos x,f4(x)=f'3(x)=sin x-cos x,f5(x)=f'4(x)=sin x+cos x,故周期為4,前四項(xiàng)和為0,所以原式=f1=sin +cos =1. 5. 【解答】(1) 因?yàn)樵撐矬w在t∈[3,5]內(nèi)的時(shí)間變化量為Δt=5-3=2, 該物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變化量為Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, 所以該物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度為==24 (m/s). (2)求該物體的初速度v0即求該物體在t=0時(shí)的瞬時(shí)速度. 因?yàn)樵撐矬w在t=0附

20、近的平均變化率為= = =3Δt-18, 當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí),=3Δt-18無(wú)限趨近于-18, 所以該物體的初速度v0為-18 m/s. (3) 該物體在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)s在t=1處的瞬時(shí)變化率. 因?yàn)槲矬w在t=1附近的平均變化率為= = =3Δt-12, 當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí),=3Δt-12無(wú)限趨近于-12, 所以該物體在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度為-12 m/s. 6. 【解答】(1) f'(x)=3x2-6x+2,f″(x)=6x-6. 令f″(x)=6x-6=0,得x=1, f(1)=1-3+2-2=-2, 所以拐點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2). (2) 設(shè)

21、P(x0,y0)是y=f(x)圖象上任意一點(diǎn),則y0=-3+2x0-2. 因?yàn)镻(x0,y0)關(guān)于點(diǎn)A(1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(2-x0,-4-y0), 將P'代入y=f(x),得左邊=-4-y0=-+3-2x0-2, 右邊=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2, 所以左邊=右邊, 所以點(diǎn)P'(2-x0,-4-y0)在函數(shù)y=f(x)的圖象上, 所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱. 第17課　曲線的切線 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 1　【解析】因?yàn)閒'(x)=2ax+3,由題意知2a×2+3=7,解得a=1. 2. 5x+y+2=0　【解析】因

22、為y'=-5ex,所以所求切線的斜率k=-5e0=-5,所以切線方程是y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0. 3. 　【解析】由題意得f'(x)=6ax2,所以f'(1)=6a=2,所以a=. 4. 　【解析】設(shè)曲線y=lnx在點(diǎn)(x0,y0)處的切線與直線x-y+1=0平行.因?yàn)閥'=,令=1,解得x0=1,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以距離的最小值為點(diǎn)(1,0)到直線x-y+1=0的距離,即為. 5. 【解答】由題意知f'(x)=3x2+2ax-9=3-9-, 即當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)f'(x)取得最小值-9-. 因?yàn)榍€y=f(x)斜率最小的切線與直線12x+y=6平行,

23、 所以-9-=-12,即a2=9, 所以a=±3. 6. 【解答】由y=(ax-1)ex,得y'=aex+(ax-1)ex=(ax+a-1)ex.由y=,得y'==. 由題意知(ax0+a-1)·=-1,即(ax0+a-1)(x0-2)=-1在上有解,方程可化為ax0+a-1=-.設(shè)f(x0)=ax0+a-1,g(x0)=-,作圖可知1≤a≤. 另法:方程可化為a=,求函數(shù)t(x0)=在x0∈上的值域即可 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為. B　鞏固提升 1. y=-x+1+　【解析】因?yàn)閒'(x)=-f'(0)sin x+cos x,則f'(0)=-f'(0)·sin 0+cos 0,所

24、以f'(0)=1,所以f(x)=cos x+sin x,所以f'=-1,f=1,所以切線方程為y=-x+1+. 2. 64　【解析】由題知x>0,y'=-,所以k=-,切線方程為y-=-(x-a).令x=0,得y=;令y=0,得x=3a.所以三角形的面積S=·3a·==18,解得a=64. 3. (-∞,0)　【解析】由題意得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=2ax+.因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線,故此時(shí)斜率為0,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“當(dāng)x>0時(shí),導(dǎo)函數(shù)f'(x)=2ax+存在零點(diǎn)”,即等價(jià)于“方程2ax+=0在(0,+∞)上有解”,顯然a=-∈(-∞,0). 4. y=0或y=4x-4

25、　【解析】設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(x1,),(x2,-(x2-2)2).由題意得 解得或從而切線方程為y=0或y=4x-4. 5. 【解答】(1) 設(shè)f(x)=, 則f'(x)=1-, 所以k=f'(2)=1-=. 又因?yàn)閒(2)==, 所以所求切線方程為y-=(x-2), 即3x-4y+4=0. (2) 由題知曲線y=(x>0)與直線3x-4y-11=0不相交,所以設(shè)曲線在點(diǎn)(x0,y0)處的切線與直線3x-4y-11=0平行.因?yàn)閥'=1-,令1-=,解得x0=2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為,所以距離的最小值為點(diǎn)到直線3x-4y-11=0的距離,即為3. 6. 【解答】(1) 由題意

26、可知y1=x1+, y2=x2+. 因?yàn)閒'(x)=1-, 所以切線PM的方程為y-=(x-x1). 又切線PM過(guò)點(diǎn)P(1,0), 所以0-=(1-x1), 即+2tx1-t=0.?、? 同理,由切線PN也過(guò)點(diǎn)P(1,0),得+2tx2-t=0.　② 由①②可得x1,x2是關(guān)于x的方程x2+2tx-t=0的兩根. (2) 由(1)知 MN= = =, 所以g(t)=(t>0). 第18課　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. (2,+∞)和　【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-5x+2lnx,且x>0,令f'(x)=2x-5+>0,解得x>2或0

27、x)的單調(diào)增區(qū)間為(2,+∞)和. 2. (0,e)　【解析】因?yàn)閒(x)=lnx+, x>0,所以f'(x)=-=,所以當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f'(x)<0,故函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減. 3. 3　【解析】由題意知f'(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立,又(3x2)min=3×12=3,所以a≤3,故amax=3. 4. (-∞,-1]　【解析】由f(x)=-(x-2)2+bln x,得f'(x)=-(x-2)+(x>0).由題意知f'(x)≤0,即-(x-2)+≤0在(1,+∞)上恒成立,所以b≤[x(x-2)]min,當(dāng)x∈(1

28、,+∞)時(shí),[x(x-2)]∈(-1,+∞),所以b≤-1. 5. 【解答】(1) 由函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)P(1,2),得f(1)=2,所以a+b=1. 因?yàn)楹瘮?shù)圖象在點(diǎn)P處的切線的斜率為8,所以f'(1)=8. 又f'(x)=3x2+2ax+b, 所以2a+b=5. 因此,a=4,b=-3. (2) 由(1)得f'(x)=3x2+8x-3. 令f'(x)>0,得x<-3或x>; 令f'(x)<0,得-30, 得g(x)=lnx-2ax+2a,x

29、∈(0,+∞), 則g'(x)=-2a=. 當(dāng)a≤0,x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0,則函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a>0,x∈時(shí),g'(x)>0,則函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增; 當(dāng)a>0,x∈時(shí),g'(x)<0,則函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減. 綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞); 當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為. B　鞏固提升 1. 　【解析】由題意得y'=1-2cosx, x∈(0,2π).令y'>0,得cosx<,所以

30、)=+2xln 2>0,x∈(0,+∞),所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又由f(x2+2)0時(shí),>0,所以函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1在(-∞,0)和上為增函數(shù),在上為減函數(shù).因?yàn)閒(x)存在唯一零點(diǎn)x0,且x0>0,則f(0)<0,即1<0,不成立.當(dāng)a<0時(shí),<0,所以函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1在和(0,+∞)上為減函數(shù),在上為增函數(shù).因?yàn)閒(x

31、)存在唯一零點(diǎn)x0,且x0>0,則f>0,即a·-3·+1>0,解得a>2或a<-2.又因?yàn)閍<0,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-2). 4. (0,+∞)　【解析】設(shè)g(x)=exf(x)-ex,則g '(x)=exf(x)+exf'(x)-ex.因?yàn)閒(x)+f '(x)>1,所以f(x)+f '(x)-1>0,所以g '(x)>0,所以y=g(x)在定義域R上單調(diào)遞增.因?yàn)閑xf(x)>ex+3,所以g(x)>3.又因?yàn)間(0)=e0f(0)-e0=3,所以g(x)>g(0),所以x>0,故不等式的解集為(0,+∞). 5. 【解答】(1) 由題意得f'(x)=3x2+2ax+1,x

32、∈R.當(dāng)a2≤3時(shí),Δ≤0,f'(x)≥0,則f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a2>3時(shí),由f'(x)=0,得x1=,x2=, 則函數(shù)f(x)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),所以f'(x)=3x2+2ax+1<0在上恒成立,即f'(x)在上的最大值恒小于等于0.因?yàn)閒'(x)=3x2+2ax+1的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,所以它的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.由得所以a≥2.故a的取值范圍是[2,+∞). 6. 【解答】(1) 由題意知當(dāng)a=0時(shí),f(x)=,x∈(0,+∞). 此時(shí)f'(x)=,所以f'(1)=. 又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在

33、點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x-2y-1=0. (2) 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f'(x)=+=. 當(dāng)a≥0時(shí),f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 當(dāng)a<0時(shí),令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 則Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1). ①當(dāng)a≤-時(shí),Δ≤0,f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立, 所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ②當(dāng)-0. 設(shè)x1,x2(x1x1==>0, 因此,當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),g(x)<0,f'

34、(x)<0,f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減. 綜上,當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a≤-時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)-0,則y單調(diào)遞增;當(dāng)x∈時(shí),y'<0,則y單調(diào)遞減.

35、因此當(dāng)x=時(shí),y取得極大值,且極大值為+.又當(dāng)x=0時(shí),y=2;當(dāng)x=時(shí),y=.故函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間上的最大值是+. 2. -　【解析】因?yàn)閒'(x)=3x2+2ax+b,由題意知即解得或經(jīng)檢驗(yàn),只有滿足題意,故=-. 3. 5　【解析】f'(x)=3x2+2ax+3,當(dāng)x=-3時(shí),f'(x)=0,所以a=5. 4. (0,3)　【解析】f'(x)=-3x2+2mx=x(-3x+2m),令f'(x)=0,得x=0或x=.因?yàn)閤∈(0,2),所以0<<2,所以0

36、故該切線的斜率為0,即f'(1)=0,從而a-+=0,解得a=-1. (2) 由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0),f'(x)=--+==. 令f'(x)=0,解得x=1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.故f(x)在x=1處取得極小值f(1)=3. 6. 【解答】(1) 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=xex,則f'(x)=ex(x+1). 令f'(x)=0,得x=-1. 當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表: x (-∞, -1) -1 (-1, +∞) f'(x) -

37、 0 + f(x) ↘ 極小值 ↗ 所以函數(shù)f(x)的極小值為f(-1)=-,無(wú)極大值. (2) ①當(dāng)a≤0時(shí),由于對(duì)于任意的x∈,有sinxcosx≥0,所以f(x)≥0恒成立, 即當(dāng)a≤0時(shí),符合題意. ②當(dāng)01時(shí),f'(0)=1-a<0,f'=>0,所以存在α∈,使得f'(α)=0,且在(0,α)內(nèi),f'(x)<0,所以f(x)在(0,α)上為減函數(shù),所以當(dāng)

38、x∈(0,α)時(shí),f(x)1時(shí),不符合題意. 綜上所述,a的取值范圍是(-∞,1]. B　鞏固提升 1. 　【解析】f'(x)=x2+2a2x+a, 由題意得 即 解得或經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)時(shí),f(x)在x=-1處沒(méi)有極值,舍去,故f(x)=x3+x2-x-1,所以f(2)=. 2. (-∞,0)∪(9,+∞)　【解析】因?yàn)閒'(x)=3x2-2ax+3a,所以Δ=4a2-36a>0,即a<0或a>9. 3. 　【解析】令sin2x=t,由x∈(0,π)知t∈(0,1],則函數(shù)y=+=-,所以y'=-+=,當(dāng)00.故當(dāng)t=時(shí)

39、,ymin=. 4. 　【解析】當(dāng)4≤x2≤6時(shí),f(x2)=log2(x2-2)+2∈[3,4].由題意知3≤-+4x1≤4,解得1≤x1≤3,所以x1f(x2)=x1f(x1)=-+4.令g(x)=-x3+4x2,x∈[1,3].由g'(x)=0,解得x=.當(dāng)1≤x<時(shí),g'(x)>0,則g(x)在上為增函數(shù);當(dāng)

40、 令g(x)=xlnx+a+e-2-ax, 則g'(x)=lnx+1-a. 令g'(x)=0,得x=ea-1, 當(dāng)x變化時(shí),g'(x),g(x)的變化情況如下表: x (0,ea-1) ea-1 (ea-1,+∞) g'(x) - 0 + g(x) ↘ 極小值 ↗ 所以g(x)的最小值為g(ea-1)=(a-1)·ea-1+a+e-2-aea-1=a+e-2-ea-1. 令t(a)=a+e-2-ea-1,則t'(a)=1-ea-1. 令t'(a)=0,得a=1,當(dāng)a變化時(shí),t'(a),t(a)的變化情況如下表: a (0,1) 1 (1,+∞)

41、 t'(a) + 0 - t(a) ↗ 極大值 ↘ 所以當(dāng)a∈(0,1)時(shí),g(x)的最小值t(a)>t(0)=e-2-=>0; 當(dāng)a∈[1,+∞)時(shí),由g(x)的最小值t(a)=a+e-2-ea-1≥0=t(2),得a∈[1,2]. 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,2]. 6. 【解答】(1) 由f(x)=a+lnx知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=(2+lnx). 令f'(x)=0,得x=.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表: x f'(x) - 0 + f(x) ↘ 極小值 ↗ 因此,函數(shù)f(x

42、)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為. (2) 由(1)知f(x)min=f=a-. ①若a>,因?yàn)閒(x)≥f(x)min=f=a->0,所以此時(shí)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0. ②若a=,則f(x)min=f=a-=0. 又函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù), 即當(dāng)x∈∪時(shí),f(x)>f=0. 因此,此時(shí)f(x)有唯一零點(diǎn),即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1. ③若a<,則f(x)min=f=a-<0. 當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí),f(x)=a+lnx

43、數(shù)f(x)在上恰有一個(gè)零點(diǎn), 所以函數(shù)f(x)在上恰有一個(gè)零點(diǎn). 從而當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1. 當(dāng)00,f=a-<0, 所以函數(shù)f(x)在上恰有一個(gè)零點(diǎn),于是函數(shù)f(x)在上也恰有一個(gè)零點(diǎn). 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在上是減函數(shù),且f=a-<0,又∈,且f()=a->a-=0(利用結(jié)論“當(dāng)x>0時(shí),ex>x2”進(jìn)行放縮), 此時(shí),函數(shù)f(x)在上恰有一個(gè)零點(diǎn). 故當(dāng)0時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;當(dāng)a=或a≤0時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;當(dāng)0

44、f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 第20課　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. (-∞,0]　【解析】y'=3ax2-1,因?yàn)楹瘮?shù)y=ax3-x在R上是減函數(shù),所以3ax2-1≤0在R上恒成立,所以a≤0. 2. (-1,1)　【解析】f'(x)=3x2-3a2,令f'(x)=0,則x=±a.由題意知當(dāng)a<0時(shí),f(a)=a3-3a3+1<3,即a3>-1,所以-10時(shí),f(-a)=-a3+3a3+1<3,即a3<1,所以09時(shí),y'<0;當(dāng)x∈(0,9)時(shí),y

45、'>0.所以函數(shù)y=-x3+81x-234在(9,+∞)上單調(diào)遞減,在(0,9)上單調(diào)遞增,所以x=9是函數(shù)的極大值點(diǎn).又因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+∞)上只有一個(gè)極大值點(diǎn),所以函數(shù)在x=9處取得最大值. 4. 2　【解析】設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高為h,則可得a2+=9,即a2=9-,那么正六棱柱的體積V=6·a2·h=·h=·.設(shè)y=-+9h(0

46、m)≥0恒成立,所以Δ=81-12(6-m)≤0,解得m≤-,即m的最大值為-. (2) 因?yàn)楫?dāng)x<1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)12時(shí),f'(x)>0. 所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極大值f(1)=-a;當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得極小值f(2)=2-a.故當(dāng)f(2)>0或f(1)<0時(shí),方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根, 解得a<2或a>,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2)∪. 6. 【解答】設(shè)方案一、二中多邊形苗圃的面積分別為S1,S2. 方案一:設(shè)AE=x,則S1=x(30-x)≤=(當(dāng)且僅當(dāng)x=15時(shí), 等號(hào)成立). 方案二:設(shè)∠BAE=θ,則S2=

47、100sinθ(1+cosθ),θ∈. 令S'2=100(2cos2θ+cosθ-1)=0,得cosθ=(cosθ=-1舍去). 因?yàn)棣取?所以θ=. 當(dāng)θ變化時(shí),S'2,S2的變化情況如下表: θ S'2 + 0 - S2 ↗ 極大值 ↘ 所以當(dāng)θ=時(shí),(S2)max=75. 因?yàn)?75,所以建苗圃時(shí)用方案二,且∠BAE=. 綜上,方案一、二中苗圃的最大面積分別為 m2,75m2,建苗圃時(shí)用方案二,且∠BAE=. B　鞏固提升 1. (-∞,-1)　【解析】y'=ex+a,由y'=0,得x=ln(-a).因?yàn)閤>0,所以-a>1,所以a<-1

48、,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1). 2. (-2,2)　【解析】y'=3(1-x)(1+x),令y'=0,得x=±1,所以y極大值=2,y極小值=-2,作出函數(shù)y=3x-x3和y=m的大致圖象如圖所示,根據(jù)圖象知-2

49、,當(dāng)c>0且c-<0時(shí),存在x1∈(-∞,-2),x2∈,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)c∈時(shí),函數(shù)f(x)=x3+4x2+4x+c有三個(gè)不同的零點(diǎn). 4. (-∞,-1]　【解析】由aln x≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.由于x∈[1,e],ln x≤1≤x,且等號(hào)不能同時(shí)取得,所以ln x0,從而a≤恒成立,即a≤.設(shè)t(x)=,x∈[1,e],則t'(x)=,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,從而t'(x)≥0,t(x)在[1,e]上為增函數(shù),所以t(x)min=t(1

50、)=-1,所以a≤-1. 5. 【解答】(1) f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f'(x)=-a. 若a≤0,則f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 若a>0,則當(dāng)x∈時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈時(shí),f'(x)<0. 所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2) 由(1)知當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上無(wú)最大值;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在x=處取得最大值,最大值為f=ln +a=-ln a+a-1.因此f>2a-2?ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,則g'(a)=+1,當(dāng)a>0時(shí),g'(a)>0,所以g(a)在(0,+∞)上是增函數(shù),g(1)=

51、0,于是當(dāng)01時(shí),g(a)>0.因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1). 6. 【解答】(1) 設(shè)一根木條長(zhǎng)為x m, 則正方形的邊長(zhǎng)為2=(m). 因?yàn)镾四邊形ABCD> m2,所以4-x2>,即x<. 又因?yàn)樗母緱l將圓分成9個(gè)區(qū)域,所以x>,所以4<4x<2. 故四根木條總長(zhǎng)的取值范圍為(4 m,2 m). (2) 設(shè)AB所在的木條長(zhǎng)為a m,則BC所在的木條長(zhǎng)為(3-a)m. 因?yàn)閍∈(0,2),3-a∈(0,2),所以a∈(1,2), S矩形ABCD=4· =· =. 設(shè)f(a)=a4-6a3+a2+24a-20,則f'(a)=4a3-18a2+2a+24=2(a+1)·(2a-3)(a-4). 令f'(a)=0,得a=或a=-1(舍去)或a=4(舍去). 當(dāng)a變化時(shí),f'(a),f(a)的變化情況如下表: a f'(a) + 0 - f(a) ↗ 極大值 ↘ 所以當(dāng)a=時(shí),f(a)max=f=,即Smax=. 即窗口ABCD面積的最大值為 m2.