（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八篇《第48講　空間幾何體的表面積與體積》理（含解析） 蘇教版

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1、 A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 (時(shí)間：45分鐘　滿分：80分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．(2011·常州模擬)在三棱錐S-ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，則三棱錐S-ABC的表面積是________． 解析　設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為a，則a＝2，a＝，側(cè)面積為3××a2＝3，底面積為×22＝，表面積為3＋. 答案　3＋ 2．(2010·湖北)圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.

2、 解析　設(shè)球的半徑為r cm，則πr2×8＋πr3×3＝πr2×6r.解得r＝4 cm. 答案　4 3．(2010·蘇州模擬)如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________． 解析　由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為1，斜高為，連接頂點(diǎn)和底面中心即為高，可求得高為，所以體積V＝×1×1×＝. 答案　 4．(2011·揚(yáng)州模擬)如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的

3、體積為________． 解析　三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，三棱錐A-B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××＝. 答案　 5．某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時(shí)盤芯直徑40 mm，滿盤時(shí)直徑120 mm，已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1 mm，則滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約是________m(π取3.14，精確到1 m)． 解析　衛(wèi)生紙總長(zhǎng)度為≈3.14×32 000＝100 480(mm)≈100(m)． 答案　100 6．(2010·蘇州模

4、擬)已知一個(gè)凸多面體共有9個(gè)面，所有棱長(zhǎng)均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V＝________. 解析　該凸多面體由一個(gè)正方體及一個(gè)正四棱錐組成， 因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以V正方體＝13＝1， 因?yàn)檎睦忮F的棱長(zhǎng)全為1， 所以正四棱錐的底面積為1×1＝1， 又因?yàn)檎睦忮F的高為＝， 所以此凸多面體的體積V＝1＋×1×＝1＋. 答案　1＋ 7．空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，平面α，β，γ兩兩互相垂直，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)A到平面β，γ的距離都是3，點(diǎn)P是α上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足P到β的距離是P到點(diǎn)A距離的

5、2倍，則點(diǎn)P到平面γ的距離的最小值為________． 解析　由題意，可在平面α建立直角坐標(biāo)系如圖所示，問題變?yōu)橐阎狿B＝2PA，求PC的最小值，設(shè)P(x，y)，則有3－x＝2，即4y2＝－3(x＋1)2＋12≤12，y≤，所以PC＝3－y≥3－，故所求的最小值為3－. 答案　3－ 二、解答題(每小題15分，共45分) 8．在四面體的六條棱中，有五條棱長(zhǎng)都等于a. (1)求該四面體的體積的最大值； (2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求其表面積． 解　(1)如圖，在四面體ABCD中，設(shè)AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取A

6、D的中點(diǎn)為P，BC的中點(diǎn)為E，連接BP、EP、CP. 得到AD⊥平面BPC， ∴VABCD＝VABPC＋VDBPC ＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD ＝·S△BPC·AD ＝··a ·x ＝ ≤·＝a3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝a時(shí)取等號(hào))． ∴該四面體的體積的最大值為a3. (2)由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為a，∴S表＝2×a2＋2××a× ＝a2＋a× ＝a2＋ ＝a2. 9．一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，求這個(gè)三棱錐的體積．

7、 解　如圖所示，正三棱錐S -ABC. 設(shè)H為正△ABC的中心，連接SH， 則SH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高． 連接AH并延長(zhǎng)交BC于E， 則E為BC的中點(diǎn)，且AH⊥BC. 因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為6的正三角形， ∴AE＝×6＝3，所以AH＝AE＝2. 在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9. 在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2， 所以SH＝＝＝， 故V正三棱錐＝S△ABC·SH＝×9×＝9. 10．如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于b，一條側(cè)棱AA1和底面相鄰兩邊AB、AC都成45°角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積．

8、 解　求斜棱柱的側(cè)面積一般有兩種方法：一是定義法；二是公式法． 因?yàn)锳A1和底面AB、AC成等角，且為45°角， 所以A1在底面ABC上的射影在∠BAC的平分線AG上， 又△ABC為正三角形，所以AG⊥BC. 因?yàn)锳1A在底面ABC上的射影在AG上，所以BC⊥A1A. 又A1A∥B1B，所以B1B⊥BC，即側(cè)面B1BCC1為矩形． 所以SB1BCC1＝B1B·BC＝ab. 又側(cè)面A1ABB1和側(cè)面A1ACC1都是平行四邊形，且全等， 所以SA1ABB1＝SA1ACC1＝A1A·AB·sin 45°＝ab， 故S側(cè)＝(＋1)ab. B級(jí)　綜合創(chuàng)新備

9、選 (時(shí)間：30分鐘　滿分：60分) 一、填空題(每小題5分，共30分) 1．(2011·南京模擬)用半徑為R的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐桶，那么這個(gè)圓錐的高是________． 解析　底面圓的周長(zhǎng)為πR，底面圓的半徑為，所以圓錐高為h＝＝R. 答案　R 2．(2011·南京調(diào)研)如圖，已知正三棱柱ABC -A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為5 cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為________cm. 解析　根據(jù)題意，利用分割法將原

10、三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實(shí)線部分，則可知所求最短路線的長(zhǎng)為＝13 cm. 答案　13 3．正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PM＝2，P到直線A1D1的距離為，則點(diǎn)P的軌跡是________． 解析　由PM＝2，知點(diǎn)P在以M為圓心，2為半徑的圓上．又由P到直線A1D1的距離為，知點(diǎn)P在與BC平行且過AB中點(diǎn)的直線上，故點(diǎn)P的軌跡是它們的交點(diǎn)，即為兩點(diǎn)． 答案　兩個(gè)點(diǎn) 4．(2011·揚(yáng)州中學(xué)沖刺)在120°的二面角內(nèi)放置一個(gè)小球，它與二面角的兩個(gè)面相切于A、B兩點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的距離AB

11、＝5，則小球的半徑為________． 解析　如圖，在△ABC中，AC＝BC，AB＝5，∠ACB＝120°，所以∠AOB＝60°，所以△AOB是等邊三角形，OA＝OB＝AB＝5. 答案　5 5．(2011·南京模擬)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M為線段B1B上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM＋MC1最小時(shí)，△AMC1的面積為________． 解析　如圖，當(dāng)AM＋MC1最小時(shí)，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，AC＝14，于是由余弦定理，得cos∠AMC1＝＝－， 所以sin∠AMC1＝，S△AMC1＝××2×＝. 答案　 6．如圖，在

12、透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法： ①水的部分始終呈棱柱狀； ②水面四邊形EFGH的面積不改變； ③棱A1D1始終與水面EFGH平行； ④當(dāng)E∈AA1時(shí)，AE＋BF是定值． 其中所有正確的命題的序號(hào)是________． 解析　觀察圖形并試驗(yàn)可知①正確，②不正確；③正確．④中AE＝B1F，BF＝A1E，所以AE＋BF＝AA1為定值，故正確命題是①③④. 答案?、佗邰? 二、解答題(每小題15分，共30分) 7．給出一塊邊長(zhǎng)為2的正三角形紙片，

13、把它折成一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等的三棱錐，并使它的全面積與原三角形面積相等，設(shè)計(jì)一種折疊方法，用虛線標(biāo)在圖中，并求該三棱錐的體積． 解　取等邊三角形三邊的中點(diǎn)A、B、C，連結(jié)AB、BC、CA得正三角形的三條中位線，以中位線為折線折起三角形，使三角形三頂點(diǎn)重合，則得側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于1的三棱 錐S-ABC，作SO⊥平面ABC，連結(jié)并延長(zhǎng)CO交AB于E，則E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)SE. 因?yàn)镺是△ABC的內(nèi)心， 所以O(shè)C＝CE＝×＝ 在Rt△SOC中，SC＝1， SO＝＝＝， 故VS-ABC＝S△ABC×SO＝×CE×AB×SO ＝××1×＝. 8．如圖所示，在平行四邊形ABC

14、D中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD. (1)求證：AB⊥DE； (2)求三棱錐E-ABD的側(cè)面積． (1)證明　在△ABD中，因?yàn)锳B＝2，AD＝4，∠DAB＝60°， 所以BD＝＝2， 所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD. 又因?yàn)槠矫鍱BD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，所以AB⊥平面EBD. 又因?yàn)镈E?平面EBD，所以AB⊥DE. (2)解　由(1)知AB⊥BD，因?yàn)镃D∥AB， 所以CD⊥BD，從而DE⊥BD， 在Rt△DBE中，由DB＝2，DE＝DC＝AB＝2， 得S△BDE＝DB·DE＝2. 又因?yàn)锳B⊥平面EBD，BE?平面EBD， 所以AB⊥BE.因?yàn)锽E＝BC＝AD＝4， 所以S△ABE＝AB·BE＝4， 因?yàn)镈E⊥BD，平面EBD⊥平面ABD， 所以ED⊥平面ABD，而AD?平面ABD，所以ED⊥AD， 所以S△ADE＝AD·DE＝4. 綜上，三棱錐E-ABD的側(cè)面積S＝8＋2.