（江蘇專用）高考數(shù)學總復(fù)習 第十二篇 系列4選考部分《第77講　不等式選講》理（含解析） 蘇教版

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1、 (時間：50分鐘　滿分：80分) 解答題(每小題10分，共80分) 1．(2011·遼寧卷)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)證明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． (1)證明　f(x)＝|x－2|－|x－5|＝　 當2＜x＜5時，－3＜2x－7＜3. 所以－3≤f(x)≤3. (2)解　由(1)可知， 當x≤2時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為空集； 當2＜x＜5時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x＜5}； 當x≥5時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5≤x≤6}． 綜上，不等式f

2、(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x≤6}． 2．(2011·福建卷)設(shè)不等式|2x－1|＜1的解集為M. (1)求集合M； (2)若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大小． 解　(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}． (2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0，故ab＋1＞a＋b. 3．(2011·南通調(diào)研)已知x，y，z均為正數(shù)．求證：＋＋≥＋＋. 證明　因為x，y，z都是為正數(shù)，所以＋＝≥. 同理，可得＋≥，＋≥. 將上述三個不等式兩邊分別相

3、加，并除以2，得＋＋≥＋＋. 4．(2011·鹽城調(diào)研)已知m＞0，a，b∈R，求證：2≤. 證明　因為m＞0，所以1＋m＞0，所以要證2≤，即證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，故2≤. 5．(2011·南京模擬)已知a，b都是正實數(shù)，且a＋b＝2，求證：＋≥1. 證明　法一　左邊－右邊＝＋－1 ＝ ＝ 因為a＋b＝2，所以左邊－右邊＝. 因為a，b都是正實數(shù)，所以ab≤＝1. 所以左邊－右邊≥0，即＋≥1. 法二　由柯西不等式，得 [()2＋()2]≥(a＋b)2. 因

4、為a＋b＝2，所以上式即為×4≥4. 即＋≥1. 法三　因為a，b都是正實數(shù)，所以＋≥2a，＋≥2b. 兩式相加，得＋＋＋≥2a＋2b， 因為a＋b＝2，所以＋≥1. 6．(2011·宿遷聯(lián)考)設(shè)x，y，z為正數(shù)，證明：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)． 證明　因為x2＋y2≥2xy≥0， 所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)． 同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)． 三式相加，即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)． 又xy(x＋y)＋yz(y＋z)

5、＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)． 所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)． 7．(2011·鎮(zhèn)江調(diào)研)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足acos2θ＋bsin2θ＜c. 求證：cos2θ＋sin2θ＜. 證明　由柯西不等式，可得 cos2θ＋sin2θ ≤[(cos θ)2＋(sin θ)2](cos2θ＋sin2θ) ＝(acos2θ＋bsin2θ)＜. 8．(2011·南通調(diào)研)若正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值． 證明　因為正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2， 即＋＋≥1， 當且僅當3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝時，原式取最小值1.