(湖南專用)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)(二十三)配套作業(yè) 理

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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(二十三) [第23講 數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用問(wèn)題] (時(shí)間:30分鐘)                        1.某個(gè)體企業(yè)的一個(gè)車間有8名工人,以往每人年薪為1萬(wàn)元,從今年起,計(jì)劃每人的年薪都比上一年增加20%,另外,每年新招3名工人,每名新工人的第一年的年薪為8千元,第二年起與老工人的年薪相同.若以今年為第一年,如果將第n年企業(yè)付給工人的工資總額y(萬(wàn)元)表示成n的函數(shù),則其表達(dá)式為(  ) A.y=(3n+5)1.2n+2.4 B.y=8×1.2n+2.4n C.y=(3n+8)1.2n+2.4 D.y=(3n+5)1.2n-1+2.

2、4 2.如圖23-1所示,單位圓中AB的長(zhǎng)為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,則函數(shù)y=f(x)的圖象是(  ) 圖23-1 圖23-2 3.如圖23-3所示,有一圓錐形容器,其底面半徑等于圓錐的高,若以9π cm3/s的速度向該容器注水,當(dāng)水深10 cm時(shí),則水面上升的速度為_(kāi)_______. 圖23-3 4.一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬(wàn)元,此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬(wàn)元,年產(chǎn)量為x(x∈Z)件.當(dāng)x≤20時(shí),年銷售總收入為(33x-x2)萬(wàn)元;當(dāng)x>20時(shí),年銷售總收入為260萬(wàn)元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年

3、利潤(rùn)為y萬(wàn)元,則y(萬(wàn)元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______,該工廠的年產(chǎn)量為_(kāi)_______件時(shí),所得年利潤(rùn)最大.(年利潤(rùn)=年銷售總收入-年總投資) 5.如圖23-4,從山腳下P處經(jīng)過(guò)山腰N到山頂M拉一條電纜,PN的長(zhǎng)為a米,NM的長(zhǎng)為2a米,在P處測(cè)得M,N的仰角分別為45°,30°,在N處測(cè)得M的仰角為30°. (1)求此山的高度; (2)試求平面PMN與水平面所成角的余弦值. 圖23-4 6.如圖23-5是曲柄連桿機(jī)的示意圖,當(dāng)曲柄CB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí),通過(guò)連桿AB的傳遞,活塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng),當(dāng)曲柄在CB0位置時(shí),曲柄和連桿成

4、一條直線,連桿的端點(diǎn)A在A0處,設(shè)連桿AB長(zhǎng)為l mm,曲柄CB長(zhǎng)為r mm,l>r. (1)若l=300,r=80,當(dāng)曲柄CB按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角為θ時(shí),連桿的端點(diǎn)A此時(shí)離A0的距離為A0A=110 mm,求cosθ的值; (2)當(dāng)曲柄CB按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ為任意角時(shí),試用l、r和θ表示活塞移動(dòng)的距離(即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距離A0A). 圖23-5 7.提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時(shí)

5、)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/小時(shí),研究表明:當(dāng)20≤x≤200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù). (1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式; (2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))f(x)=x·v(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí)) 8.甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲(chóng),由于計(jì)算錯(cuò)誤,在A,B兩個(gè)噴霧器中分別配制成12%和6%的藥水各10千克

6、,實(shí)際要求兩個(gè)噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的,現(xiàn)在只有兩個(gè)容量為1千克的藥瓶,他們從A,B兩個(gè)噴霧器中分別取1千克的藥水,將A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,這樣操作進(jìn)行了n次后,A噴霧器中藥水的濃度為an%,B噴霧器中藥水的濃度為bn%. (1)證明an+bn是一個(gè)常數(shù); (2)求an與an-1的關(guān)系式; (3)求an的表達(dá)式.         專題限時(shí)集訓(xùn)(二十三) 【基礎(chǔ)演練】 1.A [解析] 方法1:(直接法)第一年企業(yè)付給工人的工資總額為: 1×1.2×8+0.8×3=1×1.2×8+2.4; 第二年企業(yè)付給工人的工資總額為:1×1.2

7、2×(8+3)+2.4; 第三年企業(yè)付給工人的工資總額為:1×1.23×(8+3×2)+2.4; 以此類推,第n年企業(yè)付給工人的工資總額為: y=1×1.2n×[8+3(n-1)]+2.4=(3n+5)1.2n+2.4.故選A. 方法2:(排除法)第一年企業(yè)付給工人的工資總額為:1×1.2×8+0.8×3=9.6+2.4=12(萬(wàn)元),而對(duì)4個(gè)選擇項(xiàng)來(lái)說(shuō),當(dāng)n=1時(shí),C,D項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不為12,故可排除C,D項(xiàng);A,B項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為12,再考慮第2年付給工人的工資總額為:1×1.22×11+0.8×3=18.24(萬(wàn)元),當(dāng)n=2時(shí),B項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均不為18.24,故又可

8、排除B項(xiàng);故選A. 2.D [解析] 當(dāng)弧AB的長(zhǎng)小于半圓時(shí),函數(shù)y=f(x)的值增加的越來(lái)越快,當(dāng)弧AB的長(zhǎng)大于半圓時(shí),函數(shù)y=f(x)的值增加的越來(lái)越慢,所以函數(shù)y=f(x)的圖象是D. 3. cm/s [解析] 設(shè)t時(shí)刻水面高度為h,半徑為r,則r=h,此時(shí)水的體積V=πr2h=πh3,又V=9π·t, 所以π·h3=9π·t,兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)得π·h2·=9π?=,當(dāng)h=10時(shí)=,即水面上升的速度為 cm/s. 4.y= 16 [解析] 只要把成本減去即可,成本為x+100,故得函數(shù)關(guān)系式為 y= 當(dāng)020時(shí)y<1

9、40,故年產(chǎn)量為16件時(shí),年利潤(rùn)最大. 【提升訓(xùn)練】 5.解:如圖過(guò)M作MA垂直過(guò)P的水平面于A, 過(guò)N作NB垂直過(guò)P的水平面于B,則MA∥NB, 連接AB,PA,PM,PB, 過(guò)N作NH⊥MA于H,依題意得: 四棱錐P-ABNM的底面ABNM為直角梯形, ∠NPB=30°,∠MPA=45°,∠MNH=30°, ∴NB=NPsin30°=a,MH=MN=a, 山高M(jìn)A=MH+HA=MH+NB=a+a=a(米), (2)解法1:設(shè)平面PMN與水平面所成角為θ,則 AP=MA=a,MP=a,AB=a,PB=a, 在△MNP中,cos∠MNP==, S△MNP=NP·N

10、M·=a2, △APB為直角三角形,S△ABP=AP·PB=a2, ∴cosθ==. 解法2:以A為原點(diǎn),AB,AM分別為y,z軸建立直角坐標(biāo)系, 不妨設(shè)a=1,則M,N,P, =,=, 設(shè)平面MNP的一個(gè)法向量n=(x,y,z),則 即 令x=1,解得n=, 又水平面PAB的一個(gè)法向量m==, 設(shè)平面PMN與水平面所成角為θ,則 |cosθ|===, 故平面PMN與水平面所成角的余弦值為. 解法3:設(shè)直線MN與AB交于點(diǎn)C,連PC, 過(guò)B作BD垂直于PC于點(diǎn)D,連ND, 則∠NDB為所求二面角的平面角. 由MA∥NB,MA=a,NB=a得 BC=a,

11、BD=a, tan∠NDB=,∴cos∠NDB=, 故平面PMN與水平面所成角的余弦值為. 6.解:(1)由已知A0A=110 mm時(shí),可得AC=300+80-110=270. 又AB=l=300 mm,BC=r=80 mm. ∴cosθ= ==-. (2)設(shè)AC=x,若θ=0,則A0A=0;若θ=π,則A0A=2r, 若0<θ<π,在△ABC中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC, 即x2-2(rcosθ)x-(l2-r2)=0. 解得x1=rcosθ+=rcosθ+. x2=rcosθ-<0(不合題意,舍去). ∴A0A=A0C-AC=l

12、+r-rcosθ-. 若π<θ<2π,則根據(jù)對(duì)稱性,將上式中的θ改成2π-θ即可,有 A0A=l+r-rcosθ-. ∴當(dāng)θ為任意角時(shí),有A0A=(l+r-rcosθ-)(mm). 7.解:(1)由題意當(dāng)0≤x≤20時(shí),v(x)=60; 且v(200)=0, 當(dāng)20≤x≤200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b, 則有解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)= (2)依題意并由(1)可得f(x)= 當(dāng)0≤x≤20時(shí),f(x)為增函數(shù),故當(dāng)x=20時(shí),其最大值為60×20=1 200; 當(dāng)20≤x≤200時(shí),f(x)=x(200-x)≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x,即x=100時(shí),等

13、號(hào)成立. 所以當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上,當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333. 即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí),車流量可以達(dá)到最大,最大值約為3 333輛/小時(shí). 8.解:(1)開(kāi)始時(shí),A中含有10×12%=1.2千克的農(nóng)藥,B中含有10×6%=0.6千克的農(nóng)藥,n次操作后,A中含有10×an%=0.1an千克的農(nóng)藥,B中含有10×bn%=0.1bn千克的農(nóng)藥,它們的和應(yīng)與開(kāi)始時(shí)農(nóng)藥的重量和相等,從而有0.1an+0.1bn=1.2+0.6,所以an+bn=18(常數(shù)). (2)第n次操作后,A中10千克藥水中農(nóng)藥的重量具有關(guān)系式:9×an-1+1×bn-1=10an, 由(1)知bn-1=18-an-1,代入化簡(jiǎn)得an=an-1+①. (3)令an+λ=(an-1+λ),利用待定系數(shù)法可求出λ=-9, 所以an-9=(an-1-9),可知數(shù)列{an-9}是以a1-9為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列, 由①知,a1=a0+=×12+==11.4, 由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知: an-9=(a1-9)=2.4==3,所以an=3+9.

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