（統考版）高考數學二輪復習 專題限時集訓9 三角函數與解三角形（含解析）（理）-人教版高三數學試題

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1、專題限時集訓(九)　三角函數與解三角形 1．(2019·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C． (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sin C． [解]　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝. 因為0°＜A＜180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由題設及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(

2、C＋60°)＝－. 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝， 故sin C＝sin(C＋60°－60°) ＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° ＝. 2．(2018·全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝2，求BC． [解]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝， 即＝，所以sin∠ADB＝. 由題設知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝. (2)由題設及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得

3、BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×2× ＝25. 所以BC＝5. 3．(2017·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為. (1)求sin Bsin C； (2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周長． [解]　(1)由題設得acsin B＝， 即csin B＝. 由正弦定理得sin Csin B＝. 故sin Bsin C＝. (2)由題設及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－， 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝. 由題意得bcsin A＝

4、，a＝3，所以bc＝8. 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝. 故△ABC的周長為3＋. 4．(2020·全國卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C． (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周長的最大值． [解]　(1)由正弦定理和已知條件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB．① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．② 由①②得cos A＝－. 因為0

5、－B)＝3cos B－sin B． 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin. 又0

6、1)知b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－15＝(15－b)2－15，所以b＝7， 所以a＋c＝8.解得a＝3，c＝5，或者a＝5，c＝3. 所以a＝3，b＝7，c＝5，或者a＝5，b＝7，c＝3. 2．(2020·昆明模擬)在△ABC中，D為BC邊上一點，AD⊥AC，AB＝，BD＝，AD＝2. (1)求∠ADB； (2)求△ABC的面積． [解]　(1)因為AB＝，BD＝，AD＝2， 所以在△ABD中，由余弦定理可得： cos∠ADB＝＝－， 又因為∠ADB∈(0，π)， 所以∠ADB＝. (2)因為∠ADB＋∠ADC＝π， 所以∠ADC＝. 因為AD⊥AC，

7、所以△ADC為等腰直角三角形，可得AC＝2， 所以S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝××2×＋×2×2＝3. 3．(2020·寶雞二模)已知函數f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－1，x∈R. (1)求f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f＝1且A為銳角，a＝3，sin C＝2sin B，求△ABC的面積． [解]　(1)由于函數f(x)＝2sin2 x＋2sin xcosx －1＝1－cos 2x＋sin 2x－1＝2sin， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 可得函數f(x)的

8、單調遞增區(qū)間為，k∈Z. (2)∵f＝1且A為銳角，可得 2sin＝1，解得sin＝， ∴由A－∈，可得A－＝， 可得A＝. ∵sin C＝2sin B, ∴由正弦定理可得c＝2b， 又∵a＝3，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得9＝b2＋c2－bc＝b2＋4b2－2b2＝3b2， ∴b＝，c＝2， ∴S△ABC＝bcsin A＝××2×＝. 4．(2020·南開區(qū)模擬)在△ABC中，a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，若△ABC的面積為，a－b＝1，acos C－csin A＝0. (1)求c及cos A； (2)求cos(2A－C)的值．

9、[解]　(1)在△ABC中，∵acos C－csin A＝0， ∴sin Acos C－sin Csin A＝0， ∵sin A≠0, ∴cos C－sin C＝0，即tan C＝， ∵C∈(0，π), ∴C＝， ∴S△ABC＝ab＝，解得ab＝6， 又a－b＝1，解得a＝3，b＝2， 又由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝7， 解得c＝， ∴cos A＝＝. (2)由(1)可得sin A＝， ∴sin 2A＝2sin Acos A＝， cos 2A＝2cos2 A－1＝－， ∴cos(2A－C)＝cos 2Acos C＋sin 2Asin C ＝×＋×

10、＝－. 1．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設bsin A＝a(2＋cos B)． (1)求B； (2)若△ABC的面積等于，求△ABC的周長的最小值． [解]　(1)因為bsin A＝a(2＋cos B)， 由正弦定理得sin Bsin A＝sin A(2＋cos B)． 顯然sin A>0，所以sin B－cos B＝2. 所以2sin＝2，∵B∈(0，π)． 所以B－＝，所以B＝. (2)依題意得＝，所以ac＝4. 所以a＋c≥2＝4，當且僅當a＝c＝2時取等號． 又由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac≥3ac＝1

11、2. ∴b≥2，當且僅當a＝c＝2時取等號． 所以△ABC的周長最小值為4＋2. 2．[結構不良試題]已知銳角△ABC，同時滿足下列四個條件中的三個： ①A＝；②a＝13；③c＝15；④sin C＝. (1)請指出這三個條件，并說明理由； (2)求△ABC的面積． [解]　(1)△ABC同時滿足①②③. 理由：若△ABC同時滿足①④， 因為是銳角三角形，所以sin C＝<＝sin ，∴C<，結合A＝，∴B>. 與題設矛盾．故△ABC同時滿足①④不成立． 所以△ABC同時滿足②③. 因為c>a，所以C>A．若滿足④，則A，與題設矛盾，故此時不滿足④. ∴△

12、ABC同時滿足①②③. (2)因為a2＝b2＋c2－2bccosA， 所以132＝b2＋152－2×b×15×. 解得b＝8或7. 當b＝7時，cos C＝<0，C為鈍角，與題設矛盾．所以b＝8，S△ABC＝bcsin A＝30. 3.如圖，在△ABC中，C＝，∠ABC的平分線BD交AC于點D，且tan∠CBD＝. (1)求sin A； (2)若·＝28，求AB的長． [解]　(1)設∠CBD＝θ，因為tan θ＝，又θ∈，故sin θ＝，cos θ＝. 則sin∠ABC＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝， cos∠ABC＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝

13、2×－1＝， 故sin A＝sin＝sin ＝(sin 2θ＋cos 2θ)＝×＝. (2)由正弦定理＝，即＝， 所以BC＝AC． 又·＝||||＝28， 所以||||＝28， 所以AC＝4，又由＝，得＝， 所以AB＝5. 4．已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＝. (1)若a＝2，b＝2，求c的大小； (2)若b＝2，且C是鈍角，求△ABC面積的取值范圍． [解]　(1)在△ABC中，＝， 由正弦定理，得sin Asin B＝sin Bcos A． ∵04， ∴S△ABC＞2. 即△ABC面積的取值范圍是(2，＋∞)．