《(課標(biāo)通用版)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第4講 直接證明與間接證明檢測 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(課標(biāo)通用版)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第4講 直接證明與間接證明檢測 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題(6頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第4講 直接證明與間接證明
[基礎(chǔ)題組練]
1.(2019·衡陽示范高中聯(lián)考(二))用反證法證明某命題時(shí),對結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”的正確假設(shè)為( )
A.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)
B.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)
C.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)
D.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)
解析:選B.“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”說明有且只有一個(gè)是偶數(shù),其否定是“自然數(shù)a,b,c均為奇數(shù)或自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)”.
2.分析法又稱執(zhí)果索因法,已知x>0,用分析法證明<1+時(shí),索的因是( )
A.x2>2 B.x
2、2>4
C.x2>0 D.x2>1
解析:選C.因?yàn)閤>0,所以要證<1+,只需證()2<,即證0<,即證x2>0,顯然x2>0成立,故原不等式成立.
3.設(shè)a=-,b=-,c=-,則a、b、c的大小順序是( )
A.a(chǎn)>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.a(chǎn)>c>b
解析:選A.因?yàn)閍=-=,b=-=,c=-=,
且+>+>+>0,
所以a>b>c.
4.在△ABC中,sin Asin C<cos Acos C,則△ABC一定是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.不確定
解析:選C.由sin Asin C<cos
3、 Acos C得
cos Acos C-sin Asin C>0,
即cos(A+C)>0,所以A+C是銳角,
從而B>,故△ABC必是鈍角三角形.
5.用反證法證明命題“若x2-(a+b)x+ab≠0,則x≠a且x≠b”時(shí),應(yīng)假設(shè)為________.
解析:“x≠a且x≠b”的否定是“x=a或x=b”,因此應(yīng)假設(shè)為x=a或x=b.
答案:x=a或x=b
6.(2019·福州模擬)如果a+b>a+b,則a,b應(yīng)滿足的條件是__________.
解析:a+b>a+b,即(-)2(+)>0,需滿足a≥0,b≥0且a≠b.
答案:a≥0,b≥0且a≠b
7.已知a≥b>0,求證
4、:2a3-b3≥2ab2-a2b.
證明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)
=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).
因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a3-b3≥2ab2-a2b.
8.已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長為1的正方形,又SB=SD=,SA=1.
(1)求證:SA⊥平面ABCD;
(2)在棱SC上是否存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF∥平面SAD?若存在,確定F點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.
解:(1)證明:由已知得SA2+AD
5、2=SD2,
所以SA⊥AD.
同理SA⊥AB.
又AB∩AD=A,AB?平面ABCD,
AD?平面ABCD,
所以SA⊥平面ABCD.
(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點(diǎn)F,
使得BF∥平面SAD.
因?yàn)锽C∥AD,BC?平面SAD.
所以BC∥平面SAD,而BC∩BF=B,
所以平面FBC∥平面SAD.
這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾,
所以假設(shè)不成立.
所以不存在這樣的點(diǎn)F,
使得BF∥平面SAD.
[綜合題組練]
1.對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定:(a,b)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d;運(yùn)算“?”為:(a,b)?
6、(c,d)=(ac-bd,bc+ad);運(yùn)算“⊕”為:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),則(1,2)⊕(p,q)=( )
A.(4,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(0,-4)
解析:選B.由(1,2)?(p,q)=(5,0)得
?
所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0).
2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值( )
A.恒為負(fù)值 B.恒等于零
C.恒為正值 D.無法確定正負(fù)
解析:
7、選A.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),
由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)
8、故滿足條件的p的取值范圍是.
答案:
4.sin α與sin β分別是sin θ與cos θ的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng),則cos 4β-4cos 4α=________.
解析:由題意得2sin α=sin θ+cos θ,
sin2β=sin θcos θ,
所以cos 4β-4cos 4α
=2cos22β-1-4(2cos22α-1)
=2(1-2sin2β)2-8(1-2sin2α)2+3
=2(1-2sin θcos θ)2-8+3
=2(sin θ-cos θ)4-2(sin θ-cos θ)4+3=3.
答案:3
5.設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的
9、前n項(xiàng)和.
(1)求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列;
(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么?
解:(1)證明:假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,則S=S1S3,
即a(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),
因?yàn)閍1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,
即q=0,這與公比q≠0矛盾,所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.
(2)當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1,故{Sn}是等差數(shù)列;
當(dāng)q≠1時(shí),{Sn}不是等差數(shù)列,否則2S2=S1+S3,
即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),
得q=0,這與公比q≠0矛盾.
綜上,當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列;
當(dāng)q≠1時(shí),數(shù)列{
10、Sn}不是等差數(shù)列.
6.(綜合型)若f(x)的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇a,b](a<b),則稱函數(shù)f(x)是[a,b]上的“四維光軍”函數(shù).
(1)設(shè)g(x)=x2-x+是[1,b]上的“四維光軍”函數(shù),求常數(shù)b的值;
(2)是否存在常數(shù)a,b(a>-2),使函數(shù)h(x)=是區(qū)間[a,b]上的“四維光軍”函數(shù)?若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
解:(1)由已知得g(x)=(x-1)2+1,其圖象的對稱軸為x=1,
所以函數(shù)在區(qū)間[1,b]上單調(diào)遞增,由“四維光軍”函數(shù)的定義可知 ,g(1)=1,g(b)=b,
即b2-b+=b,解得b=1或b=3.
因?yàn)閎>1,所以b=3.
(2)假設(shè)函數(shù)h(x)=在區(qū)間[a,b](a>-2)上是“四維光軍”函數(shù),
因?yàn)閔(x)=在區(qū)間(-2,+∞)上單調(diào)遞減,
所以有即
解得a=b,這與已知矛盾.故不存在.