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1、對于,線性系統(tǒng),，各變量是關(guān)于系統(tǒng)的線性函數(shù)。,,則其,解可以線性疊加,。,P,2,A,,B,,P,1,A,,B,,P,1,P,2,A,,B,,=,+,1,、疊加法（,superposition method,）,的基本概念,如果方程,和,均為,線性,則：,§,6-4,用,疊加法求彎曲變形,基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結(jié)果這兩個重要概念，以及在小變形條件下的力的獨立作用原理，采用疊加法（,superposition method,）,由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復雜情形下梁的位移。,2,、疊加法求彎曲變形,當梁上受有幾種不同的載荷作用時，都可以將其分解為各種載荷單
2、獨作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角，再將所得結(jié)果疊加后，便得到幾種載荷同時作用的結(jié)果。,解：,例,1,求梁的撓度和轉(zhuǎn)角，,y,c,,,?,A,。,,a,a,P =,q a,A,B,q,C,,a,a,A,B,,q,C,,,a,a,A,B,,C,,P,=,+,例,2,求圖示懸臂梁的,y,c,組合方法一：,增減載荷法,C,A,B,C,B,A,C,（,1,）,C,B,（,2,）,將桿件系統(tǒng)分解為,n,段，分,n,次變形。假設每次只有一段變形，其它段均作為剛性處理（可以使用剛性體的力學原理），然后進行疊加，求得變形量。,組合方法二：,逐段剛化法,方法：,先假設,BC,段,剛性,，,只有,A
3、B,段變形,再考慮,BC,段的變形,( AB,段剛性,),A,B,C,B,A,C,C,A,B,=,+,牽帶,位移,例,3,求圖示懸臂梁的,y,c,組合方法三：,等價積分法,積分,A,B,C,C,x,,dx,例,4,求圖示懸臂梁的,y,c,先取微分長度，形成微集中力,dP,=,qdx,，,代換后知：,B,A,P,例,5,求圖示簡支梁的,y,C,P,A,B,C,EI,2EI,解：,P,A,B,C,組合方法四：,等價懸臂梁法,(,僅適合簡支梁受到對稱荷載,),由于對稱：梁在,C,點的轉(zhuǎn)角為,0,，可以視為一懸臂梁在,C,點固定，在,A,點受集中力作用。,A,點所產(chǎn)生的位移恰好與,C,點,的位移數(shù)值相
4、同。,A,注意：一般已經(jīng)給出懸臂梁法受集中力,(,力偶,),作用所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角，即：,B,A,P,=,+,B,A,M,A,a,a,A,a,a,M=a*P/2,A,a,a,A,,B,,A,,B,,P,=,+,組合方法五：,利用對稱性,(,僅適合求簡支梁中點位移,),從數(shù)學知識，任何實矩陣都可以分解為對稱矩陣和反對稱矩陣之和的形式,: [ F ]= [ F ],symm,,+ [ F ],antisymm,,,對于軸對稱的結(jié)構(gòu),,,力也可以同樣分解,.,例如,P/2,P/2,P/2,P/2,例,6,：已知,懸臂梁受集中力作用所產(chǎn)生的端部位移和轉(zhuǎn)角。,求圖示梁在中點的撓度，,f,c,=,
5、+,A,,B,,P/2,P/2,P/2,P/2,a,A,,B,,P,a,a/2,C,,在對稱力,P/2,和支座反力,P/2,作用下，中截面的的撓度,f,c,可以用端部的撓度,f,B,表示,B,C,D,B,A,P,§,6-5,簡單的靜不定梁,與桿件,靜不定問題的解題方法類似，,除了平衡方程外，還需要建立變形協(xié)調(diào)方程（,compatibility equation,）,,,并建立力與位移或變形之間的物理關(guān)系，即物理方程或稱本構(gòu)方程（,constitutive equations,）。,解靜不定梁,基本步驟：,2,、建立,平衡方程,3,、針對原,冗余約束條件，,建立變形協(xié)調(diào)方程,4,、按照彎曲變形的
6、公式建立,物理方程,1,、選定并解除冗余約束，代之以多余約束反力，形成,基本靜定基,。（注意：,基本靜定基的形式并不唯一。,）,5,、聯(lián)立求解,平衡方程、,物理方程和,變形協(xié)調(diào)方程。解得,多余約束反力,例8,求,:,梁的約束力,已知：,A,端固定、,B,端鉸支梁的彎曲剛度為,EI,、,長度為,l,。,B,A,l,q,解：,1,、平衡方程,:,Y,A,+Y,B,-,ql,=,0,X,A,=,0,B,M,A,Y,A,X,A,Y,B,A,l,q,3,、物理方程：,2,、變形協(xié)調(diào)方程：,,,y,B,=,y,B,(,q,)+,y,B,(,F,By,)=0,y,B,(,q,)=,ql,4,/,（,8,EI
7、,）,,y,B,(,F,By,)= -,Y,b,l,,3,/,（,3,EI,）,l,y,B,(,Y,B,),B,Y,B,A,B,M,A,Y,A,X,A,Y,B,,A,l,q,y,B,(,q,),B,l,q,=,+,解：,4,、綜合求解,Y,A,+Y,B,-,ql,=,0,X,A,=,0,y,B,=,y,B,(,q,)+,y,B,(,Y,B,)=0,由平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物性關(guān)系聯(lián)立解出,:,y,B,(,q,)=,ql,4,/,（,8,EI,）,,y,B,(Y,B,)= -,Y,b,l,,3,/,（,3,EI,）,Y,B,=,3,ql /,8 ,,X,A,=,0 ,,M,A,=,ql,2
8、,/,8,Y,A,=,5,ql /,8 ,,B,M,A,Y,A,X,A,Y,B,,A,l,q,強度：正應力：,剪應力：,剛度：,穩(wěn)定性：,都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。,§,6-6,提高彎曲剛度的一些措施,一、選擇梁的合理截面,矩形木梁的合理高寬比,北宋李誡于,1100,年著,?,營造法式,,?,一書中指出,:,,矩形木梁的合理高寬比,(,h,/,b,= ),1.5,英,(,T.Young,),于,1807,年著,?,自然哲學與機械技術(shù)講義,,?,一書中指出,:,,矩形木梁的合理高寬比 為,R,b,h,請記?。寒斄荷舷聦ΨQ時，,,強度與抗彎截面模量,W,z,相關(guān)；剛度與慣性矩,I,z,相關(guān),。,合
9、理截面,1,、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面,z,D,z,a,a,例如：以圓形截面為基準，在面積相等的情況下，比較其它截面,對于正方形,z,D,0.8,D,圓環(huán)形,截面,a,1,2,a,1,z,矩形,截面,工字形截面與框形截面類似。,0.8,a,2,a,2,1.6,a,2,2,a,2,z,框形截面,顯然：,工字形、槽形截面比矩形截面合理，,,矩形截面比圓形截面合理。,對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關(guān)于中性軸不對稱的截面,2,、根據(jù)材料特性選擇截面,二、采用變截面梁,最好是等強度梁，即,若為等強度矩形截面，則高為：,同時,P,x,在工程應用中則廣泛采用變截面梁，如：在機械工廠中
10、，行車多采用魚腹梁形狀。,三、合理布置外力（包括支座），使,M,,max,,盡可能小,,P,,L/,2,L/,2,M,x,+,PL/,4,,P,,L/,4,3,L/,4,M,x,3,PL/,16,,P=qL,,L/,5,4,L/,5,,對稱,M,x,qL,2,/,10,M,x,q,,L,L,/5,q,,L,/5,40,2,qL,50,2,qL,-,M,x,q,,L,/2,L,/2,x,32,2,qL,-,M,四、防止薄壁梁的側(cè)向屈曲,1.,矩形純彎梁的臨界載荷,L,M,M,x,y,z,2.,工字鋼形截面純彎梁的臨界載荷,L,M,M,x,y,z,h,,由上可見，,I,y,過小時，,雖然強度和剛度
11、較高，但側(cè)向失穩(wěn)的可能性卻增大了，,這點應引起注意。,五、選用高強度材料，提高許用應力值,同類,材料,，,如,鋼材,“,E,”,值相差不多,，,“,?,s,”,相差較大,，,故換用同類材料只能提高強度，不能提高剛度和穩(wěn)定性,。,,,,不同類材料，,E,和,G,都相差很多（鋼,E,=,200GPa,,,銅,E,=,100GPa,），,故可選用不同的材料以達到提高剛度和穩(wěn)定性的目的,。,但是，改換材料，其,原料費用,也會隨之發(fā)生很大的改變！,?,剛度設計舉例,,對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設計就是根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角,(,或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角,),限制在一定
12、范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度設計準則,(criterion for stiffness design),：,上述二式中,?,w,?,和,?,?,?,分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。,已知：鋼制圓軸，左端受力為,F,P,，,F,P,＝,20,kN,，,a,＝,l m,，,l,＝,2 m,，,E,=206,GPa,，,其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承,B,處的許用轉(zhuǎn)角,?,θ,?,=0.5°,。,試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑,d,。,解：根據(jù)要求，所設計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承,B,處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。,B,解：根據(jù)要求，所設計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承,B,處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。,1,．查表確定,B,處的轉(zhuǎn)角,,由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁,B,處的轉(zhuǎn)角為,B,1,．查表確定,B,處的轉(zhuǎn)角,,由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁,B,處的轉(zhuǎn)角為,B,2,．根據(jù)剛度設計準則確定軸的直徑根據(jù)設計要求,B,2,．根據(jù)剛度設計準則確定軸的直徑根據(jù)設計要求，,其中，,?,的單位為,rad,（,弧度），而,?,θ,?,的單位為（,°,）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑,作業(yè),,,6-18(a), 6-21,，,6-24,本章結(jié)束,
用疊加法求彎曲變形
