高中數學 第2章 解三角形 1 正弦定理與余弦定理 第2課時 余弦定理同步課件 北師大版必修5.ppt

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成才之路 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 必修5,解三角形,第二章,1 正弦定理與余弦定理,第二章,第2課時 余弦定理,1.余弦定理 (1)語言敘述： 三角形任何一邊的平方等于___________________減去____________________________的積的________．,其他兩邊的平方和,這兩邊與它們夾角的余弦,兩倍,(2)公式表達： a2＝_______________________； b2＝____________________； c2＝_______________________. (3)變形： cosA＝_______________________； cosB＝________________； cosC＝________________.,b2＋c2－2bccosA,a2＋c2－2accosB,a2＋b2－2abcosC,2．余弦定理及其變形的應用 應用余弦定理及其變形可解決兩類解三角形的問題，一類是已知兩邊及其________解三角形，另一類是已知________解三角形． 3．余弦定理與勾股定理的關系 在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90，則cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2ab0＝a2＋b2，這說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．,夾角,三邊,規(guī)律：設c是△ABC中最大的邊(或C是△ABC中最大的角)，則 a2＋b2c2?△ABC是________三角形，且角C為________．,鈍角,鈍角,直角,直角,銳角,銳角,[答案] D,[答案] C,[答案] C,4．已知三角形的兩邊長分別為4和5，它們的夾角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，則第三邊的長是________．,在△ABC中，abc＝357，求其最大內角． [分析] 由條件知角C為最大角，然后利用余弦定理求解．,已知三邊解三角形,[方法總結] 在解三角形時，有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理． 用正弦定理求角時，要注意根據大邊對大角的原理，確定角的大小，以防增解或漏解．,[分析] 由題目可知以下信息： ①已知兩邊和其中一邊的對角． ②求另外的兩角和另一邊． 解答本題可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的邊和角，也可由余弦定理列出關于邊長a的方程，求出邊a，再由正弦定理求角A，角C.,已知兩邊及一角解三角形,[方法總結] 已知兩邊和一角解三角形時有兩種方法： (1)利用余弦定理列出關于第三邊的等量關系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長． (2)直接用正弦定理，先求角再求邊． 用方法(2)時要注意解的情況，用方法(1)就避免了取舍解的麻煩． 規(guī)律總結：利用正弦、余弦定理求角的區(qū)別,在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，確定△ABC的形狀． [分析] 解答時可先把角的關系轉化為邊的關系，通過邊來判斷三角形的形狀，也可由邊的關系轉化為角的關系，通過角來判斷三角形的形狀．,判斷三角形的形狀,[解析] 解法一：利用角的關系來判斷． ∵A＋B＋C＝180，∴sinC＝sin(A＋B)． 又∵2cosAsinB＝sinC， ∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB， ∴sin(A－B)＝0. ∵A與B均為△ABC的內角，∴A＝B. 又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab.,[方法總結] 判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別．依據已知條件中的邊角關系判斷時，主要有如下兩條途徑： (1)利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀；,(2)利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論，在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解．,在△ABC中，若B＝60，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀．,