大學數(shù)學 導數(shù)

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1、導 數(shù) 一 、 引 例二 、 導 數(shù) 的 定 義三 、 導 數(shù) 的 幾 何 意 義四 、 函 數(shù) 可 導 性 與 連 續(xù) 性 的 關(guān) 系 導 數(shù) 概 念 的 物 理 背 景 變 速 直 線 運 動 的 即 時 速 度 極 限 思 想 ： 令 t t 0， 取 平 均 速 度 的 極 限 ， 則 可 得 到 在 t0時 刻 的 即 時 速 度 即 0 00 0 ( ) ( )( ) limt S t t S tV t t 直 觀 想 法 ： 時 間 間 隔 越 小 ， 平 均 速 度 越 接 近 即 時 速 度 。 如 果 質(zhì) 點 做 勻 速 直 線 運 動 ， 則 任 意 時 刻 的 速 度

2、也 就 是 平 均速 度 ;如 果 質(zhì) 點 做 變 速 直 線 運 動 ， 該 如 何 確 定 某 一 時 刻 的 即 時速 度 呢 ？0( )V t 問 題 ： 設 某 質(zhì) 點 做 直 線 運 動 ， 運 動 方 程 為 S=S(t),我 們 可用 一 段 時 間 內(nèi) ,質(zhì) 點 所 發(fā) 生 的 位 移 除 以 所花 的 時 間 t, 得 到 平 均 速 度 ， 即 0 0( ) ( )S t t S tSV t t 0 0( ) ( )S S t t S t 導 數(shù) 概 念 的 幾 何 背 景 曲 線 的 切 線 問 題問 題 ： 如 右 圖 所 示 ， 已 知 曲 線 及 曲 線 上 的

3、一 點M , 如 何 確 定 曲 線 在 點 M 處 的 切 線 ？ 過 點 M 作 曲 線 的 割 線 MN， 當 動 點 N 沿 曲 線 向 定 點 M 靠攏 時 ， 割 線 MN 則 繞 定 點 M 旋 轉(zhuǎn) 而 趨 于 極 限 位 置 MT , 得 到曲 線 在 點 M 的 切 線 。 0 ,N M x xMN MT 即 當 時 ，割 線 切 線 M NTM N xyo 0 x ( )y f x T0( )f x0( )f x x 0 x xx y0 0 00lim ( ) ( ) limxxK Kf x x f xx 切 線 割 線（ ）切 線 ： 割 線 的 極 限 位 置 。上 述

4、 過 程 可 用 極 限 式 表 示 如 下 ： 導 數(shù) Derivative的 概 念也 可 記 作 0 x xdydx 0( ) x xdf xdx ox xy 若 這 個 極限 不 存 在 ， 則稱 在 點 x0 處 不可 導 。 設 函 數(shù) y = f(x) 在 點 x=x0 的 某 個 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 ， 當 自 變量 x 在 x0 處 取 得 增 量 x ( 點 x0 + x 仍 在 該 鄰 域 內(nèi) ） 時 ， 相 應 地 函 數(shù) y 取 得 增 量 y = f (x0 + x)- f (x0 )， 若 y與 x之 比 當 x 0的 極 限 存 在 ， 則 稱 函 數(shù) y

5、= f(x)在 點 x0 處 可 導 (derivable)， 并 稱 這 個 極 限 為 函 數(shù) y = f(x)在 點 x0 處 的 導 數(shù) (deriva 記 為 0( )f x0 00 0 0 ( ) ( )( ) lim limx x f x x f xyf x x x 即在 引 例 中 有 0 0( ) ( ),V t S t 0( )K f x切 0 00 0( ) ( )( ) limx x f x f xf x x x 0 00 0 ( ) ( )( ) limh f x h f xf x h 導 數(shù) 定 義 的 不 同 形 式lim 自 變 量 之 差 0函 數(shù) 值 之 差

6、導 數(shù) 自 變 量 之 差 導 數(shù) 是 函 數(shù) 變化 率 的 精 確 描述 ， 從 數(shù) 量 方面 刻 畫 了 變 化率 的 本 質(zhì)0 0 00 ( ) ( )lim ( )h f x h f x f xh 與 有 什 么 關(guān) 系 ？0 0 0 00 0( ) ( ) ( ) ( )lim limh hf x h f x f x h f xh h (-1) 0( )f x= h x用 代 替差 商解 答 變 化 率 問 題設 某 個 變 量 Q 隨 時 間 t 的 變 化 而 變 化 ， 時 刻 t 取 值 Q (t), 0limt Qt 0 ( ) ( )limt Q t t Q tt 從 時

7、 刻 t 經(jīng) 過 t 時 間 ， 量 Q 的 改 變 量 為( ) ( )Q Q t t Q t 量 Q 的 平 均 變 化 率 為( ) ( )Q Q t t Q tt t 0t Q t 令 ， 則 得 到 在 時 刻 的 （ 瞬 時 ） 變 化 率 ：(1)求 增 量(2)求 增 量 比(3)取 極 限導 數(shù) 是 平 均 變 化 率 的 極 限 導 數(shù) 的 力 學 意 義 是 變 速 直 線 運 動 物 體 的 瞬 時 速 度 。 導 數(shù) 的 幾 何 意 義M xyo 0 x ( )y f x T 0 00 0( ) ( )( ) ( , ( )y f x x f xy f x M x f

8、 x 函 數(shù) 在 點 處 的 導 數(shù) 在 幾 何 上 表 示曲 線 在 點 處 的 切 線 的 斜 率 。 0tan ( )MTk f x 法 線 是 過 切 點且 與 切 線 垂 直的 直 線0 0( ) ( , ( )y f x M x f x曲 線 在 點 處0 0 0( )( )y y f x x x 的 切 線 方 程 為 0 001 ( )( )y y x xf x 法 線 方 程 為 0( ( ) 0)f x 求 導 數(shù) 步 驟 ： 0 0( ) ( );y f x x f x (1)求 增 量 0 0( ) ( ) ;f x x f xyx x (2)算 比 值 0 0lim

9、.x x x yy x (3)求 極 限例 題 設 ， 求 2y x 2xy 解 2 222 2 4y x x x 4y xx 0lim 4x yx 所 以 2 4xy 如 果 將 式 中 的 定 點 x=2改 為 任 意 點 x,則 有 如 下 結(jié) 果 2 2 0 0 0lim lim lim 2 2x x xx x xy x x xx x 其 結(jié) 果 表 示 是 x的 函 數(shù) ， 稱 之 為 導 函 數(shù) 。 若 函 數(shù) y=f (x) 在 開 區(qū) 間 I 內(nèi) 的 每 點 處 都 可 導 ， 就 稱 函 數(shù) y=f (x) 在 開 區(qū) 間 I 內(nèi) 可 導 。 這 時 ， 對 于 任 意 x

10、I , 都 對 應著 一 個 確 定 的 導 數(shù) 值 ， 這 樣 構(gòu) 成 了 一 個 新 的 函 數(shù) ， 這 個 函 數(shù) 稱 為原 來 函 數(shù) y=f (x) 的 導 函 數(shù) （ 簡 稱 導 數(shù) derivative） ， 記 作 ：( )f x dydx ( )df xdxy 0 ( ) ( )( ) limh f x h f xf x h 0 ( ) ( )limx f x x f xy x 把 x0 換 成 x , 可 得 或 導 函 數(shù) 的 概 念 00( ) ( ) |x xf x f x 點 導 數(shù) 與 導函 數(shù) 的 關(guān) 系如 上 例 中 2 2x x 2 2 4xx 0 0 0(

11、 ) ( )( ) lim lim lim0 0h h hf x h f x C Cf x h h 0 1lim 2cos( )sin2 2h h hxh 0 0 sin 2lim cos( ) lim2 2h h hhx h cosx 利 用 定 義 求 導 數(shù) 舉 例( ) (f x C C 為 常 數(shù) ）例 1 求 常 值 函 數(shù) 的 導 數(shù) 。解 所 以 常 數(shù) 的 導 數(shù) 等 于 零 ， 即 0C( ) sinf x x例 2 求 正 弦 函 數(shù) 的 導 數(shù) 。 (sin ) cosx x所 以 (cos ) sinx x同 理 可 求 得00 ( ) ( )( ) limsin(

12、) sinlim hh f x h f xf x hx h xh 解 0 ( )lim n nh x h xh 1 2 2 1 10 lim( )n n n nnh nx C x h h nx 1( ) ( )x x R 對 一 般 的 冪 函 數(shù) 有 1 2 2 20 l im n n nnh nx h C x h hh 1( ) nn i n i inia b C a b ( ) nf x x n （ 為 正 整 數(shù) ）例 3 求 冪 函 數(shù) 的 導 數(shù) 。0 ( ) ( )( ) limh f x h f xf x h 解所 以 1( )n nx n x 10(1) x 54 1(2)

13、x (4) x 1(3 ) x 例 如 2(5) x 910 x 5 94 45( ) 4x x 1 21( )x x 1 12 21 12 2x x x 2 12 x 0 log ( ) loglim a ah x h xh 0 1 li log m ah x hh x 10lim log (1 ) hah hx 1 0lim log (1 ) xh xah hx 1 log a ex 1 l n x a ( ) log 0, 0af x x a a （ ）例 4 求 對 數(shù) 函 數(shù) 的 導 數(shù) 。0 ( ) ( )( ) limh f x h f xf x h 解 1(log ) lna

14、x x a所 以 (ln )x 特 別 (lg )x 1x 1ln10 x 解 根 據(jù) 導 數(shù) 的 幾 何 意 義 ， 所 求 切 線 的 斜 率 為1 1 122 21 4x xk y x 所 以 ， 所 求 切 線 方 程 為 12 4( )2y x 所 求 法 線 的 斜 率 為 2 11 14k k 所 求 法 線 方 程 為 1 12 ( )4 2y x 例 5 求 雙 曲 線 在 點 處 的 切 線 的 斜 率 ， 并 寫 出 曲 線 在 該 點 處 的 切 線 方 程 和 法 線 方 程 。1y x 1 ,22 4 4 0 x y 即 2 8 15 0 x y 即 單 側(cè) 導 數(shù)

15、 0 00 0 ( ) ( )( ) limh f x h f xf x h 0 00 0 ( ) ( )( ) limh f x h f xf x h 左 導 數(shù) （ derivative on the left） 右 導 數(shù) （ derivative on the right）函 數(shù) 在 點 x0處 可 導 左 導 數(shù) 和 右 導 數(shù) 都 存 在 ， 并 且 相 等 。0 00( ) ( )limx x f x f xx x 0 00( ) ( )limx x f x f xx x 0 ( ) (0)(0) lim 0 x f x ff x 0 sin sin 0lim 0 x xx 0

16、sinlim 1x xx 0 tan 0lim 0 x xx 0 tanlim 1x xx sin ( 0)2( ) , (0).tan ( 0 )2x xf x fx x 求 例 6 已 知 0 ( ) (0)(0) lim 0 x f x ff x 解 因 為 (0) (0) 1f f 所 以 (0) 1f ， 從 而 函 數(shù) 的 可 導 性 與 連 續(xù) 性 的 關(guān) 系 函 數(shù) f (x) 在 某 點 可 導 ， 則 在 該 點 連 續(xù) 。證 明 設 函 數(shù) 在 點 可 導( )f x 0 x 0)(limlim 000 xxxfy xx .)( 0連 續(xù)在 點函 數(shù) xxf )(lim

17、00 xfxyx )( 0 xfxy xxxfy )( 0)0(0 x注 意 : 該 定 理 的 逆 定 理 不 成 立 . 例 7 討 論 函 數(shù) f (x)= |x| 在 點 x=0 的 連 續(xù) 性 和 可 導 性 。 xyO y x0 0lim ( ) lim ( ) 0 x xf x x (0) 0f 故 函 數(shù) f (x)= |x| 在 點 x=0 連 續(xù)0 0lim ( ) lim ( ) (0)x xf x f x f 即 0 ( ) (0)lim 0 x f x fx 0lim 1x xx 0 ( ) (0)lim 0 x f x fx 0lim 1x xx (0)f(0)f故

18、 函 數(shù) f (x)= |x| 在 點 x=0 不 可 導 連 續(xù) 是 可導 的 必 要 非充 分 條 件 0 0lim ( ) lim 0 x xf x x 解 函 數(shù) f (x) 在 某 點 連 續(xù) ， 卻 不 一 定 在 該 點 可 導 。 解 ,是 有 界 函 數(shù)x1sin 01sinlim0 xxx處 有但 在 0 x x xxxy 00 1sin)0( x 1sin.不 存 在1和 1之 間 振 蕩 而 極 限在時 ,當 xyx 0 .0)( 處 連 續(xù)在 xxf0)(lim)0( 0 xff x .0 ,0,0 0,1sin)(處 的 連 續(xù) 性 與 可 導 性在討 論 函 數(shù)

19、x xxxxxf例 8 )(xf 在 x=0處 不 可 導 例 9 求 曲 線 的 通 過 點 （ 0， 4） 的 切 線 方 程23xy解 設 切 點 為 ， 則 切 線 的 斜 率 為 00 2323)( 0 xxxf xx ),( 00 yx于 是 所 求 切 線 方 程 可 設 為 )(23 000 xxxyy ),( 00 yx切 點 在 曲 線 上 ， 故 有23xy 2300 xy 切 線 通 過 點 （ 0， 4） ， 故 有 )0(234 000 xxy 解 由 上 述 兩 個 方 程 組 成 的 方 程 組 得 8,4 00 yx即 得 所 求 切 線 方 程 為 3x-y-4=0