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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,*,第三章、關(guān)于實(shí)數(shù)根本定理及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明,其次局部、極限續(xù)論,10/22/2024,1,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,確界原理,單調(diào)有界性定理,區(qū)間套定理,聚點(diǎn)原理與致密性定理,柯西收斂準(zhǔn)則,有限掩蓋定理,第一節(jié) 關(guān)于實(shí)數(shù)的根本定理,10/22/2024,2,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,一 子列,10/22/2024,3,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,定理1,假設(shè)數(shù)列xn收斂于a,則它的任何子列,a,也收斂于,a,即,證明：,由 可知，,取,K,=,N,于是當(dāng),kK,時(shí)，有,
2、因而成立,推論,：若存在數(shù)列,x,n,的兩個(gè)子列 分別,收斂于不同的極限，則數(shù)列,x,n,必定發(fā)散,.,10/22/2024,4,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,例1,證明數(shù)列 發(fā)散.,證明：取,則,由上述推論,子列,推論即函數(shù)極限并歸原則的必要性(已證明).,10/22/2024,5,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,定義1,當(dāng)S既有上界又有下界,稱S是,有界集,否則稱S,無(wú)界,.,二 上確界和下確界,10/22/2024,6,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,M,M2,M1,上確界,上界,m,2,m,m,1,下確界,下界,確界,先給出確界的直觀定義:假設(shè)數(shù)集S有上界,則明顯它有無(wú)窮多個(gè)上界,其中最小的一個(gè)上界,
3、我們稱它為數(shù)集S的上確界,記作supS;,的一個(gè)下界，稱為該數(shù)集的下確界,記作infS,同樣,假設(shè)數(shù)集S有下界,有無(wú)窮多個(gè)下界,其中最大,10/22/2024,7,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,定義2,假設(shè)是數(shù)集S 的上界:,確界的準(zhǔn)確定義,10/22/2024,8,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,例2 考察以下數(shù)集的上確界與下確界,10/22/2024,9,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,事實(shí)上:是I的一個(gè)上界：,，有,）任何小于的數(shù),不是I的上界，,使得,因此,b,a,x,同理可證,證,例3 數(shù)集,I,=,x,a,x,b,即,I,=(,a,b,),a,與,10/22/2024,10,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)
4、院,定理3(確界原理),非空有上界的數(shù)集必有上確界；,非空有下界的數(shù)集必有下確界.,數(shù)集有上下確界,則上下確界是唯一的.,定理2,10/22/2024,11,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,不妨設(shè)數(shù)列 單調(diào)增加且有上界，根據(jù)確,1,2,界存在定理，由 構(gòu)成的數(shù)集必有上確界,滿足：,定理4,單調(diào)有界數(shù)列必有極限,.,證明,:(應(yīng)用確界原理證明),10/22/2024,12,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,因而,于是,幾何解釋:,10/22/2024,13,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,定義(區(qū)間套),:,具有如下性質(zhì),設(shè)閉區(qū)間列,三 區(qū)間套定理,則稱該閉區(qū)間列為閉區(qū)間套,或簡(jiǎn)稱區(qū)間套.,10/22/2024,1
5、4,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,定義說(shuō)明構(gòu)成區(qū)間套的閉區(qū)間列是前一個(gè)套著后一個(gè),即閉區(qū)間的端點(diǎn)滿足不等式:,.,1,2,2,1,b,b,b,a,a,a,n,n,L,L,L,說(shuō)明:,10/22/2024,15,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,定理5(區(qū)間套定理),或假設(shè)有,且,則,10/22/2024,16,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,留意:1.區(qū)間套定理中各個(gè)區(qū)間應(yīng)是閉區(qū)間,假設(shè)是開區(qū)間定理不肯定成立,例如(1,1/n)明顯一個(gè)套一個(gè)，且,但不存在一個(gè)公共點(diǎn)屬于全部開區(qū)間,由條件1可知,證明:應(yīng)用單調(diào)有界定理,明顯，,10/22/2024,17,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,由定理,4,設(shè),10/22/20
6、24,18,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,則有,.,x,x,=,故有,證畢,.,下面證明滿足題設(shè)條件的是唯一的,設(shè)也滿足:,推論,10/22/2024,19,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,四 聚點(diǎn)定理與致密性定理,定義,設(shè)S為數(shù)軸上的無(wú)窮點(diǎn)集,假設(shè)的任何鄰域內(nèi)都含有S 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),為定點(diǎn),(,它可以屬于S,也可以不屬于S),則稱,為S的一個(gè)聚點(diǎn),.,10/22/2024,20,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,說(shuō)明:聚點(diǎn)概念與以下兩個(gè)說(shuō)法等價(jià).,10/22/2024,21,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,定理 (Weierstrass聚點(diǎn)定理),實(shí)軸上任一有界無(wú)限點(diǎn)集,至少有一個(gè)聚點(diǎn),.,證明:(應(yīng)用區(qū)間套定理證
7、明),10/22/2024,22,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,10/22/2024,23,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,證畢,.,10/22/2024,24,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,證明：,于是存在實(shí)數(shù),a,1,b,1,成立,定理6(致密性定理),任一有界數(shù)列必有收斂子列.,致密性定理,10/22/2024,25,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,將閉區(qū)間 等分為兩個(gè)小區(qū)間,則其中至少有一個(gè)含有數(shù)列,x,n,中的,與,無(wú)窮多項(xiàng)，,把它記為 ，再將閉區(qū)間,等分,為兩個(gè)小區(qū)間 與 ，,同樣其中至少有一個(gè)區(qū)間含有,數(shù)列,x,n,中的無(wú)窮多項(xiàng)，把它們記為,10/22/2024,26,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,都含
8、有數(shù)列xn中的無(wú)窮多項(xiàng).依據(jù)閉區(qū)間套定理，,存在實(shí)數(shù)滿足,現(xiàn)在我們證明數(shù)列,x,n,必有一子列收斂于實(shí)數(shù) .,個(gè)閉區(qū)間套 ，其中每一個(gè)閉區(qū)間 中,這樣的步驟可以始終做下去.于是得到一,10/22/2024,27,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,首先在 中選取,x,n,中的某一項(xiàng),記它為,然后，因?yàn)樵?中含有數(shù)列,x,n,中的無(wú)窮多項(xiàng)，,可以選取位于 后的某一項(xiàng)，記它為 ，繼續(xù),這樣做下去，在選取,后，因?yàn)樵?中仍含有,x,n,中的無(wú)窮多項(xiàng),可以選取位于 后的某,因?yàn)樵?中含有數(shù)列,x,n,中的無(wú)窮多項(xiàng)，,10/22/2024,28,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,一項(xiàng)，記它為 ，這樣就得到了數(shù)列,x,n,
9、的一個(gè)子列 ，滿足,由,利用極限的夾逼性得,10/22/2024,29,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,10/22/2024,30,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,具有以下特性：,Cauchy列：,如果數(shù)列,則稱數(shù)列,是一個(gè)基本數(shù)列.,五 柯西收斂原理,10/22/2024,31,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,10/22/2024,32,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,柯西收斂準(zhǔn)則的幾何解釋,柯西準(zhǔn)則說(shuō)明收斂數(shù)列各項(xiàng)的值越到后邊,彼此越是接近,以至充分后面的任何兩項(xiàng)之差確實(shí)定值可小于預(yù)先給定的任意小正數(shù).或形象地說(shuō),收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是擠在一起.,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,10/22/2024,
10、33,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,證明：,10/22/2024,34,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,由致密性定理，在數(shù)列,x,n,中,必有,收斂子列.,10/22/2024,35,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,由于xn是根本數(shù)列,在上式中取 ，其中k充分大,滿足 ，,并令 ,于是得到,即,x,n,收斂,.,10/22/2024,36,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,10/22/2024,37,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,10/22/2024,38,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,證明：取,，,對(duì)任意正整數(shù)n,取m=2n,有,例4設(shè),所以，原數(shù)列發(fā)散,10/22/2024,39,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,六 有限掩蓋定
11、理,10/22/2024,40,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,則H掩蓋E.,則H掩蓋E.,例如,E=(0,1),例如,E=0,2,10/22/2024,41,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,定理8(Heine-Borele 有限掩蓋定理),留意:1.假設(shè)被掩蓋的區(qū)間是開區(qū)間,定理不肯定成立;,2.用來(lái)掩蓋的區(qū)間族應(yīng)是開區(qū)間,否則定理不肯定成立.,10/22/2024,42,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,則H掩蓋E,但不存在有限個(gè)開區(qū)間掩蓋E.,例如,E=(0,1),10/22/2024,43,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,H1不能掩蓋E.,解:假設(shè)存在有限個(gè)開區(qū)間覆E=(0,1),令,則,10/22/2024,44,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,證明:(應(yīng)用區(qū)間套定理證明),10/22/2024,45,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,10/22/2024,46,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,10/22/2024,47,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,確界存在定理,單調(diào)有界數(shù)列收斂定理,BolzanoWeierstrass,定理,閉區(qū)間套定理,Cauchy,收斂原理,有限復(fù)蓋原理,上述六個(gè)定理是等價(jià)的，例如可證：,10/22/2024,48,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,
31關(guān)于實(shí)數(shù)的基本定理分析
