《若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型課件（31頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,*,第八章,λ─,矩陣,,§2 λ,－矩陣,,的標(biāo)準(zhǔn)形,§3,不變因子,§1,λ,－矩陣,§4,矩陣相似的條件,,§6,若當(dāng),(Jordan),標(biāo)準(zhǔn)形,§5,,初等因子,§,7,最小多項(xiàng)式,,主要內(nèi)容,第六節(jié),Jordon,形矩陣的定義,若爾當(dāng),(Jordan),標(biāo)準(zhǔn)形,矩陣的,Jordon,標(biāo)準(zhǔn)形,矩陣相似的條件,,從前面第七章的討論可以知道，并不是對(duì)于每,一個(gè)線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣,成為對(duì)角形,.,下面先介紹一下，在適當(dāng)選擇的基下,,,一般的一個(gè)線性變換能化簡(jiǎn)成什么形狀,.
2、,在這一節(jié)，我們的討論限制在復(fù)數(shù)域中,.,,定義,1,,形式為,的矩陣稱為,若爾當(dāng),(Jordan),塊,，其中,?,,是復(fù)數(shù),.,由若干個(gè)若爾當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣稱為,若爾當(dāng),形矩陣,，其一般形狀如,一、定義,,其中,并且,?,1,,,?,2,, …,?,s,,中有一些可以相等,.,,例如,都是若爾當(dāng)塊，,是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣,.,而,,1.,一級(jí)若爾當(dāng)塊就是一級(jí)矩陣，因此若爾當(dāng)形,矩陣中包括對(duì)角矩陣,.,,2.,在一個(gè)線性變換的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中，主對(duì)角,線上的元素正是特征多項(xiàng)式的全部根,(,重根按重?cái)?shù),計(jì)算,) .,注 意,,二、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子,我們用初等因子的理論來(lái)解決若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形
3、的,計(jì)算問(wèn)題,.,首先計(jì)算若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子,.,設(shè)有若爾當(dāng)塊,引理,1,則其初等因子為,(,?,-,?,0,),n,,.,,證明,考慮它的特征矩陣,顯然,|,?,E,-,J,0,| = (,?,-,?,0,),n,,，,這就是,?,E,-,J,0,的,n,,級(jí),行列式因子,.,由于,?,E,-,J,0,有一個(gè),n,- 1,級(jí)子式,,所以它的,n,- 1,級(jí)行列式因子是,1,，從而它以下各,級(jí)的行列式因子全是,1 .,因此，它的不變因子為,d,1,(,?,) = … =,d,n,-1,(,?,) = 1 ,,d,n,(,?,) = (,?,-,?,0,),n,,.,由此即得，,?,E,-,
4、J,0,的初等因子為,(,?,-,?,0,),n,,.,證畢,,設(shè),是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣，,引理,2,其中,則,J,的初等因子為,,既然,J,i,,的初等因子是,所以,?,E,-,J,i,,與,證明,等價(jià),.,于是,,與,等價(jià),.,因此，,J,,的全部初等因子是：,,,2.,每個(gè)若爾當(dāng)形矩陣由若爾當(dāng)塊個(gè)數(shù)、各個(gè)若爾,,當(dāng)塊的級(jí)數(shù)及對(duì)角線上元素決定，即它的全部初等,,因子,是由它的全部若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的,.,1.,每個(gè)若爾當(dāng)塊完全被它的級(jí)數(shù),n,,與主對(duì)角線上,元素,?,0,所刻劃，而這兩個(gè)數(shù)都反映在它的初等因子,(,?,-,?,0,),n,,中.,因此，若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一,決定,.
5、,由此可見(jiàn)，若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng),塊排列的次序外是被它的初等因子唯一決定,.,注 意,,定理,1,(1),每個(gè),n,,級(jí)的復(fù)數(shù)矩陣,A,,都與一個(gè),若爾當(dāng)形矩陣相似；,(2),這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中,若爾當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣,A,,唯一決定的,;,(3),稱若爾當(dāng)形矩陣為,A,,的,若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,.,證明,設(shè),n,,級(jí)矩陣,A,,的初等因子為,其中,?,1,,,?,2,, … ,,?,s,,可能有相同的，指數(shù),k,1,,,k,2,, …,,k,s,,也可能有相同的,.,,每一初等因子,對(duì)應(yīng),于一個(gè)若爾當(dāng)塊,這些若爾當(dāng)塊構(gòu)成一若爾當(dāng)形矩陣,,根據(jù)以上的計(jì)算，,J,,的初等因子也是,
6、因?yàn)?J,,與,A,,有相同的初等因子，所以它們相似,.,如果另一若爾當(dāng)形矩陣,J,?,,與,A,,相似，那么,J,?,,與,A,,就有相同的初等因子，因此,J,?,,與,J,除了其中,若爾當(dāng)塊排列的次序外是相同的,,,由此即得唯一性,.,證畢,,步驟,3,得出矩陣,A,的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,.,求矩陣,A,的,Jordan,標(biāo)準(zhǔn)形的步驟,步驟,1,求,?,E,-,A,,,的初等因子；,步驟,2,寫出每一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊；,說(shuō) 明,,例,1,,設(shè),12,級(jí)矩陣,A,的不變因子是,(,?,- 1,),2,(,?,+ 1,)(,?,2,+ 1,),2,.,1, 1, … , 1 , (,?,-
7、 1,),2,, (,?,- 1,),2,(,?,+ 1,) ,,9 個(gè),按定義，它的初等因子有,7,個(gè)，即,(,?,- 1,),2,, (,?,- 1,),2,, (,?,- 1,),2,, (,?,+ 1,) , (,?,+ 1,) ,,(,?,- i,),2,, (,?,+ i,),2,.,于是其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為,求矩陣,A,的,Jordan,標(biāo)準(zhǔn)形,.,解,,,例,2,,求矩陣,A,的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,.,,解：,,,的初等因子為,,故,A,的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為,,,換成線性變換的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是：,定理,2,,設(shè),A,,是復(fù)數(shù)域上,n,,維線性空間,V,,的線性變換，,組基下的矩陣是若爾當(dāng)形，,陣除去
8、其中若爾當(dāng)塊的排列次序外是被,A,唯一決,定的,.,在,V,,中必定存在一組基，使,A,在這,并且這個(gè)若爾當(dāng)形矩,,證明,在,V,,中任取一組基,?,1,,,?,2,, … ,,?,n,,,設(shè),,A,在這組基下的矩陣是,A,.,由,存在可,逆矩陣,T,，,使,T,-1,AT,,成若爾當(dāng)形矩陣,.,于是在由,(,?,1,,,?,2,, … ,,?,n,,) = (,?,1,,,?,2,, … ,,?,n,,),T,確定的基,?,1,,,?,2,, … ,,?,n,下，線性變換,,A,的矩陣,就是,T,-1,AT,.,由定理,1,，唯一性是顯然的,.,證畢,,應(yīng)該指出，若爾當(dāng)形矩陣包括對(duì)角矩陣作為
9、特,殊情形，那就是由一級(jí)若爾當(dāng)塊構(gòu)成的若爾當(dāng)形矩,陣，由此即得,定理,3,,復(fù)數(shù)矩陣,A,,與對(duì)角矩陣相似的充分,必要條件是，,A,,的初等因子全為一次的,.,三、矩陣相似的條件,,例,3,,證明矩陣,,,,,,與對(duì)角陣相似,,.,,,,小 結(jié),1.Jordon,形矩陣的定義,2.,矩陣的,Jordon,標(biāo)準(zhǔn)形,3.,矩陣相似的條件,,,,Smith,標(biāo)準(zhǔn)形,Jordan,標(biāo)準(zhǔn)形,行列式因子,不變因子,初等因子,Jordan,塊,,求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,,練 習(xí),,,,,作 業(yè),,求,（,1,）矩陣,A,的初等因子；,,（,2,）矩陣,A,的不變因子；,,（,3,）矩陣,A,的,Smith,標(biāo)準(zhǔn)形；,,（,4,）矩陣,A,的,Jordan,標(biāo)準(zhǔn)形,.,設(shè),,
若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型課件
