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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明跟蹤演練練習(xí)
一、選擇題(65分＝30分)
1．(xx天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：f(1)＝12－41＋6＝3，當(dāng)x≥0時(shí)，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；當(dāng)x<0時(shí)，x＋6>3，解得－3
b>0，則下列不等式中總成立的是( )
A．a(chǎn)＋>b＋ B.>
C．a(chǎn)＋>b＋ D.>
解析：∵a>b>0，∴>.又∵a>b，∴a＋>b＋.
答案：A
3．(xx諸城模擬)若2m＋4n<2，則點(diǎn)(m，n)必在( )
A．直線x＋y＝1的左下方 B．直線x＋y＝1的右下方
C．直線x＋2y＝1的左下方 D．直線x＋2y＝1的右上方
解析：∵2m＋4n＝2m＋22n≥2，
∴2<2，
即m＋2n<1，
∴點(diǎn)(m，n)必在直線x＋2y＝1的左下方．
答案：C
4．(xx黃岡調(diào)研)設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，且＋＝1，則xy的最小值為( )
A．4 B．4
C．9 D．16
解析：由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.
∵x，y均為正實(shí)數(shù)，
∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立)，
即xy－2－8≥0，
可解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值為16.
答案：D
5．(xx湖北高考)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如：
他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析：根據(jù)圖形的規(guī)律可知第n個(gè)三角形數(shù)為an＝，第n個(gè)正方形數(shù)為bn＝n2，由此可排除D(1 378不是平方數(shù))．將A、B、C選項(xiàng)代入到三角形數(shù)表達(dá)式中檢驗(yàn)可知，符合題意的是C選項(xiàng)，故選C.
答案：C
6．(xx山東高考)設(shè)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，則＋的最小值為( )
A. B.
C. D．4
解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線ax＋by＝z(a>0，b>0)過直線x－y＋2＝0與直線3x－y－6＝0的交點(diǎn)A(4,6)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝(＋)＝＋(＋)≥＋2＝.
答案：A
二、填空題(35分＝15分)
7．(xx北京高考)若函數(shù)f(x)＝則不等式|f(x)|≥的解集為________．
解析：①當(dāng)x<0時(shí)，|f(x)|＝≥，
即≤－，∴－3≤x<0.
②當(dāng)x≥0時(shí)，≥，
即x≥，∴0≤x≤1.
由①②可得－3≤x≤1.
答案：{x|－3≤x≤1}
8．已知等差數(shù)列{an}中，有＝，則在等比數(shù)列{bn}中，會(huì)有類似的結(jié)論：________.
解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，
b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，
∴＝.
答案：＝
9．(xx南京模擬)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)．若a1>1，a4>3，S3≤9，則通項(xiàng)公式an＝________.
解析：由a1>1，a4>3，S3≤9，
得令x＝a1，y＝d得
在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域如圖所示．符合要求的整數(shù)點(diǎn)只有(2,1)，即a1＝2，d＝1，所以an＝2＋n－1＝n＋1.
答案：n＋1
三、解答題(共37分)
10．(12分)某學(xué)校擬建一塊周長(zhǎng)為400 m的操場(chǎng)如圖所示，操場(chǎng)的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大，試問如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)和寬？
解析：設(shè)中間矩形區(qū)域的長(zhǎng)，寬分別為x m，y m，
中間的矩形區(qū)域面積為S，
則半圓的周長(zhǎng)為，
因?yàn)椴賵?chǎng)周長(zhǎng)為400，
所以2x＋2＝400，
即2x＋πy＝400(00，
解得a1＝1.
由S2＝a1＋a2＝(a2＋)且a2>0，
解得a2＝－1.
由S3＝a1＋a2＋a3＝(a3＋)且a3>0，
解得a3＝－.
推測(cè)an＝－.
證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，
即ak＝－.
這時(shí)，Sk＝(ak＋)
＝[(－)＋]＝.
則由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝(ak＋1＋)，
即＋ak＋1＝(ak＋1＋)，得
ak＋12＋2ak＋1－1＝0.
∵ak＋1>0，
解得ak＋1＝－，
即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立，
由(1)，(2)可知an＝－對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
(文)(12分)(xx遼寧沈陽)制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可能出現(xiàn)的最大盈利率分別為100%和50%，可能出現(xiàn)的最大的虧損率分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資的金額不超過10萬元．
(1)為了確保資金虧損不超過1.8萬元，請(qǐng)你給投資人設(shè)計(jì)一個(gè)投資方案，使得投資人獲得的利潤(rùn)最大；
(2)求投資人資金虧損不超過1萬元的概率．
解析：(1)設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，z代表盈利金額．
則z＝x＋0.5y，
由題意知作出可行域，如圖①，
易知B點(diǎn)為最優(yōu)解，解方程組
得B(4,6)．
故zmax＝4＋0.56＝7，即甲項(xiàng)目投資4萬元，乙項(xiàng)目投資6萬元能使資金虧損不超過1.8萬元的情況下盈利最大．
① ②
(2)由題意可知，此題為幾何概型問題，如圖②.
P＝＝＝.
12．(13分)(xx廣東六校聯(lián)考)設(shè)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，求證：
(1)a>0且－2<<－1；
(2)方程f(x)＝0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．
證明：(1)因?yàn)閒(0)>0，f(1)>0，
所以c>0,3a＋2b＋c>0.
由條件a＋b＋c＝0，消去b，得a>c>0；
由條件a＋b＋c＝0，消去c，得
a＋b<0,2a＋b>0.
故－2<<－1.
(2)拋物線f(x)＝3ax2＋2bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)，在－2<<－1的兩邊乘以－，
得<－<.
又因?yàn)閒(0)>0，f(1)>0，
而f(－)＝－<0，
所以方程f(x)＝0在區(qū)間(0，－)與(－，1)內(nèi)分別有一實(shí)根．
故方程f(x)＝0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．
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