高中數(shù)學(xué)《兩角和與差的余弦》教案蘇教版必修4

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1、 第 1 課時(shí): 3.1.1 兩角和與差的余弦 【三維目標(biāo)】: 一、知識與技能 1. 掌握用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式,進(jìn)一步體會向量方法的作用; 2. 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式,理解化歸思想在三角變換中的作用; 3. 能用余弦的和差角公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式的證明二、過程與方法 1. 經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程,體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程,體會向量和三角函數(shù)的聯(lián)系; 2. 通過向量的手段證明兩角差的余弦公式,讓學(xué)生進(jìn)一步體會向量法作為一種有效手段 的同時(shí)掌握兩角差的余弦函

2、數(shù);講解例題,總結(jié)方法,鞏固練習(xí) . 三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀 1. 創(chuàng)設(shè)問題情景,激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度,強(qiáng)化學(xué)生的參與意識 . 2. 通過本節(jié)的學(xué)習(xí),使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識;理解掌握 兩角和與差的三角的各種變形,提高逆用思維的能力. 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】 : 重點(diǎn) : 兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用 . 難點(diǎn) : 兩角差的余弦公式的推導(dǎo) . 【學(xué)法與教學(xué)用具】 : 1. 學(xué)法: (1) 自主性學(xué)習(xí)法:通過自學(xué)掌握兩角差的余弦公式. (2) 探究式學(xué)習(xí)法:通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的

3、過程 . (3) 反饋練習(xí)法:以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況,找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距 . 2. 教法:啟發(fā)式教學(xué) 3. 教學(xué)用具:多媒體、實(shí)物投影儀. 【授課類型】:新授課 【課時(shí)安排】: 1 課時(shí) 【教學(xué)思路】: 一、創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題 1 .?dāng)?shù)軸兩點(diǎn)間的距離公式: MN x1 x2 . 2.點(diǎn) P( x, y) 是 終邊與單位圓的交點(diǎn),則 sin y,cosx . 二、研探新知 兩角和的余弦公式的推導(dǎo)(向量法) : 把 cos( ) 看成兩個(gè)向量夾角的余弦,考

4、慮用向量的數(shù)量積來研究。 在 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中 , 以 Ox 軸為 始 邊分 別 作 角 , , 其 終邊 分別 與 單 位 圓 交 于 P1 (cos , sin ) , P2 (cos ,sin ) ,則 P1OP2 由于余弦函數(shù)是周期為 2 的偶函數(shù), 所以,我們只需考慮 0 的情況。 設(shè)向量 a = OP1 (cos ,sin ) , b = OP2 (cos , sin ) , 則 a b =| a || b | cos( ) = cos( )

5、 用心 愛心 專心 - 1 - 另一方面,由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有 a b =cos cos sin sin , 所以 cos() = cos cos sin sin 這就是兩角差的余弦公式。 【探究】: 如圖 3-1-2 ,在直角坐標(biāo)系 xOy 中,單位圓 O 與 x 軸交于 P0 ,以 Ox 為始邊分別作出角 , , ,其終邊分別和單位圓交于 P1 , P2 ,P3 ,由 P0 P3 P2 P1 ,你能否導(dǎo)出兩角差的余弦 公式? 在公式 C( ) 中用 代替 ,就得到 cos( )

6、cos cos sin sin .( C( ) ) 這就是兩角和的余弦公式 【說明】: 公式 C( ) 對于任意的 , 都成立。 【思考】: “用 代替 ”的換元方法體現(xiàn)在圖形上具有什么幾何意義?你能直接利用向量的數(shù)量 積推出兩角和的余弦公式嗎? 三、質(zhì)疑答辯,排難解惑,發(fā)展思維 例 1(教材 P92 例 1)利用兩角和(差)的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式: (1) cos( ) sin ; ( 2) sin( ) cos 2 2 例 2(教材 P93 例 2)利用兩角和(差)的余弦公式,求 cos7

7、50 , cos15 0 , sin150 ,tan 150 。 【舉一反三】: 1. 求值:( 1) cos1950 ( 2) cos540 cos360 sin 540 sin 360 (1) cos195 cos(180 15 )cos15 (cos45 cos30 sin 45 sin30 ) 6 2 4 ( ) cos54 cos36 sin54 sin36 cos(54 36 ) 0 . 2 【 點(diǎn) 評 】: 把 一 個(gè) 具 體 角 構(gòu) 造 成 兩 個(gè) 角 的 和 、 差 形

8、式 , 有 很 多 種 構(gòu) 造 方 法 , 例 如 : cos15 cos 60 45 ,要學(xué)會靈活運(yùn)用 . 【思考】:你會求① cos105 、② sin 750 、③ cos 150 、④ cos cos 3 sin 5 sin 3 的值嗎 ? 5 10 10 例 3(教材 P 例 3)已知 2 3 3 ,求 cos( ) 的 sin , ( , ),cos , ( , ) 93 2

9、 3 2 5 值 用心 愛心 專心 - 2 - 【思考】:在上例中,你能求出 sin( ) 的值嗎? 【舉一反三】: 1. 已知 cos 3 , ( , ) , 求 cos ( ) 的值 . 5 2 4 2. 已知 sin 4 , , ,cos 5 , 是第三象限角,求 cos 的值 . 5 2 13 提示:注意角 、 的象限,也就是

10、符號問題 . 3. 已知 cos(2 α- β )=- 11 ,sin ( α -2 β )= 4 3 , 且 <α < ,0< β< , 求 cos( α +β ) 的值 14 7 4 2 4 四、鞏固深化,反饋矯正 教材 P94 練習(xí)第 2 題,第 3 題 五、歸納整理,整體認(rèn)識 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦公式,要求同學(xué)們掌握公式 C( ) 的推導(dǎo),能熟練運(yùn) 用 C( ) 公式,注意 C( ) 公式的逆用。在解題過程中注意角 、 的象限,也就是符號問 題,學(xué)會靈活運(yùn)用 . 六、承上啟下,留下懸念 1. 用兩點(diǎn)距離公式推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式。 2. 預(yù)習(xí)兩角和與差的正弦 七、板書設(shè)計(jì) (略) 八、課后記: 用心 愛心 專心 - 3 -

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