8.2--消元——二元一次方程組的解法

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1、,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,8.2.2,消元,解二元一次方程組,(加減消元法),主要步驟:,基本思路,:,4,、寫解,3,、求解,2,、代入,把變形后的方程代入到另一個(gè)方程中,消去一個(gè),元,分別求出,兩個(gè),未知數(shù)的值,寫出,方程組,的解,1,、變形,用含有,一個(gè)未知數(shù),的代數(shù)式表示,另一個(gè)未知數(shù),寫成,y=ax+b,或,x=ay+b,消元,:,二元,1,、解二元一次方程組的基本思路是什么?,2,、用代入法解方程的步驟是什么?,一元,復(fù)習(xí):,解法一:設(shè)勝,x,場(chǎng),負(fù),y,場(chǎng),則有,x+y=10,2x+y=16,籃球聯(lián)賽中,每場(chǎng)都要分出

2、勝負(fù),每隊(duì)勝一場(chǎng)得,2,分,負(fù)一場(chǎng)得,1,分,某隊(duì)為了爭(zhēng)取較好的名次,想在全部的,10,場(chǎng)比賽中得到,16,分,那么這個(gè)隊(duì)勝負(fù)應(yīng)該分別是多少?,新課導(dǎo)入,x+y=10,2x+y=16,這兩個(gè)方程中未知數(shù),y,的系數(shù)相同,-,可消去未知數(shù),y,得,把,x=6,代入,得,y=4.,-,也能消去,未知數(shù),y,求得,x,嗎,?,像這樣,通過對(duì)方程組中的兩個(gè)方程進(jìn)行加或減的運(yùn)算就,可以消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元一次方程,這種方法叫做,加減消元法,簡(jiǎn)稱,加減法,.,x=6,(,-,等式性質(zhì)),聯(lián)系上面的方法,想一想應(yīng)怎樣解方程組,4x+10y=3.6,15x-10y=8,解,:+,得,19x=11.6,

3、x=,二元一次方程組,4x+10y=3.6,15x-10y=8,一元一次方程,19x=11.6,x=,y=,把,x=,代入,得,y=,這個(gè)方程組的解為,x=,y=,+,同減異加,歸納,:,我們發(fā)現(xiàn),如果二元一次方程組的兩個(gè)方程中,某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù),就可以直接用,加減法顯得非常簡(jiǎn)便,.,例,1.,用加減法解下列方程組,:,(1),4x+y=2,4x-3y=-6,解,:(1)-,得,4y=8,y=2,把,y=2,代入方程,得,x=0,3x +7y =27,4x -7y =,13,(2),解:,+,,得,7x =14,把,x =2,代入,得,3 2+7y =27,y=3,所以原方程組

4、的解是,x =2,y =3,所以原方程組的解是,x =0,y =2,(1)2-,得,4x=5,x=1.25,把,x=1.25,代入,得,y=-2.375,3x+2y=-1,2x+4y=-7,(1),所以,原方程組的解為,x =1.25,y =-2.375,例,2:,(3),7x+3y=36,2x+9y=51,系數(shù)的絕對(duì)值成倍數(shù)關(guān)系:,歸納:當(dāng)兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的,系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí),我們也可以用加,減法,只不過在加或減之前,可先將一,個(gè)方程變形成與另一個(gè)方程中相同,未知數(shù)的系數(shù)相同,這樣就可以達(dá)到,消元的目的,.,看一看下面這個(gè)例子,我們又該如何解決呢,?,3x+4y=16,5x-6y=33,

5、能用加減法做嗎,?,怎么做呢,?,試試看,!,解:,3,,得:,9x+12y=48,2,,得:,10 x-12y=66,十,得:,19x=11,x=6,把,x=6,代入,得,3x6+4y=16,y=-1/2,所以原方程組的解為,x=6,y=-1/2,例,3:,例,4:,用加減法解方程組,4x,5y=23 ,5x,2y=4 ,解:,2,,得,8x,10y=46 ,5,,得,25x,10y=20 ,,得,33x=66 x=2,把,x=2,代入,得,52,2y=4,,,y=3,所以這個(gè)方程組的解是,x=2,y=3,(,1,),(2),加減法歸納:,用加減法解同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值不相等,且不成整數(shù)

6、倍的二元一次方程組時(shí),把一個(gè)(或兩個(gè))方程的兩邊乘以適當(dāng)?shù)臄?shù),使兩個(gè)方程中某一未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等,從而化為第一類型方程組求解,解:原方程組變形為,,得:,2y=2 y=1,把,y=1,代入,得,x=2,例,5,用加減法解方程組,2,(,2x+1,),=15,5y,3,(,y+1,),=14-4x,4x+5y=13,4x+3y=11,x=2,y=1,所以原方程組的解是,解:由,6,,得,3x+2y=9,由,15,,得,5x-3y=15,例,6,用加減法解方程組,組成一個(gè)新的方程組:,3x+2y=9 ,5x-3y=15 ,3,,得,9x,6y=27 ,2,,得,10 x,6y=30,,得,19

7、x=57 x=3,把,x=3,代入,得,33,2y=9,y=0,所以原方程組的解是,x=3,y=0,對(duì)于,較復(fù)雜的二元一次方程組,,,應(yīng)先化簡(jiǎn),(,去分母,去括號(hào),合并同類項(xiàng)等,),,通常要把每個(gè)方程整理成,含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊,,,常數(shù)項(xiàng)在方程的右邊,的形式,再作加減消元的考慮。,注意:,復(fù)雜方程先化簡(jiǎn),基本思路,:,主要步驟:,加減消元,:,二元,一元,加減消元法解方程組基本思路是什么?主要步驟有哪些?,處理系數(shù),同一個(gè)未知數(shù)的系,數(shù)變成相同或相反的數(shù),代入,求值,2,寫解,寫出方程組的解,加,/,減,求值,1,解方程組,:,解:原方程組可化為:,2x+3y=4,2x,-,y=8,由,

8、-,得,:y=,-,1,所以原方程組,的解是,把,y=,-,1,代入,,,解得,:,方法,1,:,由,得,:y=,2x-8,把,代入,,得,:,2x+3(,2x-8),=4,x=7/2,把,x=7/2,代入,得,y=-1,方法,2,:,主要步驟:,基本思路:,寫解,求解,加減,二元變一元,加減消元:,消去一個(gè)元,求出兩個(gè)未知數(shù)的值,寫出方程組的解,加減消元法解方程組基本思路和主要步驟:,變形,同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù),每個(gè)二元一次方程組均可采用代入法和加減法求解,但在解題中,要根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選用最恰當(dāng)?shù)姆椒?,使?jì)算過程更簡(jiǎn)便。,當(dāng)化簡(jiǎn)后的方程組存在一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)

9、值是,1,或,有一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)是,0,時(shí),用代入法;當(dāng)兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù),的絕對(duì)值相等或整數(shù)倍時(shí),用加減法。,例,7,:,2,臺(tái)大收割機(jī)和,5,臺(tái)小收割機(jī)工作,2,小時(shí)收割小麥,3.6,公頃,,3,臺(tái)大收割機(jī)和,2,臺(tái)小收割機(jī)工作,5,小時(shí)收割小麥,8,公頃,,1,臺(tái)大收割機(jī)和,1,臺(tái)小收割機(jī),1,小時(shí)各收割小麥多少公頃?,解:設(shè),1,臺(tái)大收割機(jī)和,1,臺(tái)小收割機(jī),1,小時(shí)各收割小麥,x,公頃和,y,公頃,化簡(jiǎn),得:,,得:,11,x,=4.4,,,解得,x,=0.4,把,x,=0.4,代入中,得:,y,=0.2,所以原方程組的解是,答:,1,臺(tái)大收割機(jī)和,1,臺(tái)小收割機(jī),1,小時(shí)各收割小

10、麥,0.4,公頃和,0.2,公頃。,例,8,:兩個(gè)完全相同的紙杯中盛有相同重量的水,現(xiàn)將第一個(gè)紙杯中的若干重量的水倒入第二個(gè)紙杯中,稱得第一個(gè)紙杯重,50,克,第二個(gè)紙杯重,90,克(紙杯本身的重量忽略不計(jì)),問原來紙杯中各盛有多少克水?從第一個(gè)紙杯中倒了多少克水到第二個(gè)紙杯中?,解:設(shè)原來紙杯中盛有,x,克水,從第一個(gè)紙杯中倒入第二個(gè)紙杯中的水為,y,克,根據(jù)題意,得,x,y=50 ,x,y=90 ,得:(,x,y,)(,x,y,),50,90,,,則有,2x,50,90,所以,x=70,或者:,得:(,x+y,),(,x,y,),90,50,,,則有,2y,40,所以,y=20,x,y=5

11、0 ,x,y=90 ,上述方程的另一種解法是:,例,9,已知方程組,與方程組,的解相同,求,a,,,b,的值,ax-by=4,ax+by=2,4x+3y=11,4x-5y=3,解方程組,得,解:,4x+3y=11,4x-5y=3,把,x=2,,,y=1,代入 得,,ax-by=4,ax+by=2,x=2,y=1,2a,b=4,2a,b=2,解得,a=1.5,b=,1,例,10,解關(guān)于,x,,,y,的方程組,4x+3ky+1=0 ,6y-4x=1 ,解,:,+,得(,3k+6,),y=0,即(,2+k,),y=0,(,1,)當(dāng),k,2,時(shí),,y=0,(,2,)當(dāng),k=-2,時(shí),則,k+2=0,,

12、(,2+k,),y=0,恒成立,原方程組有無數(shù)組解,把,y=0,代入,得,-4x=1,y=0,例,11,已知,4|5x,3y,23|,5,(,x,4y,8,),2,=0,,求,x,y,的值,解:由題知,,5x+3y-23=0 ,x+4y,8=0 ,解這個(gè)方程組,得,x=4,y=1,所以,x,y=4,1=3,例,12,已知,4x,3a+b,3,+3y,2a-b,=2,,是關(guān)于,x,、,y,的二元一次方程,試求,a,、,b,的值,解:根據(jù)題意:得,3a+b,3=1,2a-b=1,解,得,a=1,b=1,解:由已知得,3x-2y-8z=0 ,2x+y-10z=0 ,例,13,已知:,3x-2y-8z

13、=0,,,2x+y-10z=0,,且,x,,,y,,,z,均不為零,求 的值,解得,x=4z,y=2z,把,x=4z,,,y=2z,代入所求代數(shù)式,解得,例,13,當(dāng),x=2,與,x=,3,時(shí),代數(shù)式,2x,2,+ax,b,的值都是,9,,求,a,,,b,的值,解:把,x=2,,,x=,3,代入,2x,2,+ax-b,,得,8,2a,b=9,18,3a,b=9,即,2a,b=1,3a,b=9,解,得,a=2,b=3,例,14 a,為何值時(shí),方程組 的解互為相反數(shù),并求它的值,2x-7y=9a,3x+4y=a-6,解:若方程組的解互為相反數(shù),則有,y=-x,,將,y=-x,代入原方程組,得,2x

14、+7x=9a,3x-4x=a-6,解,得,x=3,a=3,當(dāng),a=3,時(shí),原方程組中的解互為相反數(shù),,即,x=3,y=-3,例,15 m,,,n,為何值時(shí),,5x,4m-n,y,3m+2n,與,3x,5,y,6m,是同類項(xiàng),解:根據(jù)同類項(xiàng)的定義,有,4m-n=5,3m+2n=6m,解,得,m=2,n=3,1,代入消元法解二元一次方程組,對(duì)于用代入法解未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值不是,1,的二元一次方程組,解題時(shí)應(yīng)選擇未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值比較小的一個(gè)方程進(jìn)行變形,這樣運(yùn)算簡(jiǎn)便,課堂小結(jié),用加減法解二元一次方程組的思想:“二元”消元轉(zhuǎn)化為“一元”條件:某一未知數(shù)系數(shù)絕對(duì)值相等,2,用加減消元法解二元一次方程組

15、,2,若(,x-2y,3,),2,+,(,2x,y-3,),2,=0,,則,x,、,y,的,值是,x=_,,,y=_,1,1,1,二元一次方程組 的解是,_,4x-y=5,5x+2y=10,x=0,y=,5,3,已知,x,y,5,(,2x,3y,10,),2,=0,,則,x=_,,,y=_,1,4,隨堂練習(xí),4,己知:,則方程組,的解是,_,x=2,,,y=3,5,已知(,3m+2n-16,),2,與,|3m-n-1|,互為相反數(shù),,則,m+2n=_,12,6,若方程(,a,2,-9,),x,2,+,(,2-4a,),x+,(,a+4,),y+,3a,5=0,是二元一次方程,則,a,的值為,3

16、,7,已知,5a,3x,b,2x-y,和,-9a,8-y,b,7,是同類項(xiàng),則,2xy=_,6,2,3,8,若方程組 與 方程組,同解,則,m=_,,,n=_,9,下列方程組中,,x=_,,,y=_,4,2,10,已知方程組 ,且,x+y=2,,,則,m,2,-2m+5,的值是,_,11,當(dāng),m,時(shí),方程組 有一組解,8,12,已知方程組 ,且,y=3x,,則,m=_,1,13,己知 ,則,的值是,_,2,14,己知 ,則 的值是,_,2,15.,如果二元一次方程組,ax-by=1,3ax+2by=23,的解是,x=5,y=4.,求,a-b,的值,.,1,、若方程組 的解滿足,2x-5y=-1,,則,m,為多少?,2,、若,(3x+2y-5),2,+|5x+3y-8|=0,求,x,2,+y-1,的值。,x+y=8m,x-y=2m,

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