2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布學(xué)案.doc
2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布學(xué)案最新考綱考情考向分析1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念2.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義3.會(huì)求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些簡單問題.以理解均值與方差的概念為主,經(jīng)常以頻率分布直方圖為載體,考查二項(xiàng)分布、正態(tài)分布的均值與方差掌握均值與方差、正態(tài)分布的性質(zhì)和求法是解題關(guān)鍵高考中常以解答題形式考查、難度為中等偏上.Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)方差稱D(X)(xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a,b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)p,D(X)p(1p)(2)若XB(n,p),則E(X)np,D(X)np(1p)4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線:函數(shù),(x),x(,),其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)(>0,R)我們稱函數(shù),(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;曲線是單峰的,它關(guān)于直線x對稱;曲線在x處達(dá)到峰值;曲線與x軸之間的面積為1;當(dāng)一定時(shí),曲線的位置由確定,曲線隨著的變化而沿x軸平移,如圖甲所示;當(dāng)一定時(shí),曲線的形狀由確定,越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示一般地,如果對于任何實(shí)數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X滿足P(a<Xb),(x)dx,則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記作XN(,2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(<X)0.682_6;P(2<X2)0.954_4;P(3<X3)0.997_4.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù),樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量,它不確定()(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離變量的平均程度越小()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)是正態(tài)分布的均值,是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差()(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和,它就服從或近似服從正態(tài)分布()(5)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無關(guān)()題組二教材改編2P68A組T1已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3,則E(Y)的值為()A. B4C1 D1答案A解析E(X),E(Y)E(2X3)2E(X)33.3P68A組T5甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y,其分布列分別為:X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等,則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是_答案乙解析E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9,E(Y)<E(X)乙技術(shù)好4P75B組T2已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(X>2c1)P(X<c3),則c_.答案解析XN(3,1),正態(tài)曲線關(guān)于x3對稱,且P(X>2c1)P(X<c3),2c1c332,c.題組三易錯(cuò)自糾5已知隨機(jī)變量X8,若XB(10,0.6),則E(),D()分別是()A6,2.4 B2,2.4C2,5.6 D6,5.6答案B解析由已知隨機(jī)變量X8,所以8X.因此,求得E()8E(X)8100.62,D()(1)2D(X)100.60.42.4.6設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,2),函數(shù)f(x)x24x沒有零點(diǎn)的概率是,則等于()A1 B2C4 D不能確定答案C解析當(dāng)函數(shù)f(x)x24x沒有零點(diǎn)時(shí),164<0,即>4,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,當(dāng)函數(shù)f(x)x24x沒有零點(diǎn)的概率是時(shí),4.題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差命題點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的均值、方差典例 某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定小王到該銀行取錢時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和均值解(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A).(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X1),P(X2),P(X3)1.所以X的分布列為X123P所以E(X)123.命題點(diǎn)2已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差,求參數(shù)值典例 設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)黃球,c個(gè)藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個(gè)紅球得1分,取出一個(gè)黃球得2分,取出一個(gè)藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3,b2,c1時(shí),從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球,記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求的分布列;(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球,記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E(),D(),求abc.解(1)由題意得2,3,4,5,6,故P(2),P(3),P(4),P(5),P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E(),D()222,化簡得解得a3c,b2c,故abc321.思維升華 離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解(2)由已知均值或方差求參數(shù)值可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)值(3)由已知條件,作出對兩種方案的判斷可依據(jù)均值、方差的意義,對實(shí)際問題作出判斷跟蹤訓(xùn)練 (xx青島一模)為迎接2022年北京冬奧會(huì),推廣滑雪運(yùn)動(dòng),某滑雪場開展滑雪促銷活動(dòng)該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi),超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動(dòng),設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為,;1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為,;兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率;(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列與均值E(),方差D()解(1)兩人所付費(fèi)用相同,相同的費(fèi)用可能為0,40,80元,甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過3小時(shí)離開的概率分別為,.兩人都付0元的概率為P1,兩人都付40元的概率為P2,兩人都付80元的概率為P3,則兩人所付費(fèi)用相同的概率為PP1P2P3.(2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為,的可能取值為0,40,80,120,160,則P(0),P(40),P(80),P(120),P(160).所以的分布列為04080120160PE()0408012016080.D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.題型二均值與方差在決策中的應(yīng)用典例 計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和單位:億立方米)都在40以上其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年,將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立(1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:年入流量X40<X<8080X120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤為5 000萬元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬元欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?解(1)依題意,得p1P(40<X<80)0.2,p2P(80X120)0.7,p3P(X>120)0.1.由二項(xiàng)分布可知,在未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率為pC(1p3)4C(1p3)3p34430.947 7.(2)記水電站年總利潤為Y(單位:萬元)安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形由于水庫年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對應(yīng)的年利潤Y5 000,E(Y)5 00015 000.安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y5 0008004 200,因此P(Y4 200)P(40<X<80)p10.2;當(dāng)X80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y5 000210 000,因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下:Y4 20010 000P0.20.8所以,E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y5 0001 6003 400,因此P(Y3 400)P(40<X<80)p10.2;當(dāng)80X120時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y5 00028009 200,因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7;當(dāng)X>120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y5 000315 000,因此P(Y15 000)P(X>120)p30.1,由此得Y的分布列如下:Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.綜上,欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái)思維升華 隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定跟蹤訓(xùn)練 (xx貴州調(diào)研)某投資公司在xx年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上,現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇:項(xiàng)目一:新能源汽車據(jù)市場調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和;項(xiàng)目二:通信設(shè)備據(jù)市場調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為,和.針對以上兩個(gè)投資項(xiàng)目,請你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目,并說明理由解若按“項(xiàng)目一”投資,設(shè)獲利為X1萬元,則X1的分布列為X1300150PE(X1)300(150)200.若按“項(xiàng)目二”投資,設(shè)獲利為X2萬元,則X2的分布列為X25003000PE(X2)500(300)0200.D(X1)(300200)2(150200)235 000,D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.E(X1)E(X2),D(X1)<D(X2),這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等,但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥綜上所述,建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資題型三正態(tài)分布的應(yīng)用典例 (xx全國)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測量其尺寸(單位:cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2)(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(3,3)之外的零件數(shù),求P(X1)及X的均值;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(3,3)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;()下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:99510.129.969.9610.019.929.9810.0410269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得i9.97,s0.212,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i1,2,16.用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值 ,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值 ,利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除( 3 , 3 )之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01)附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(,2),則P(3<Z<3)0.997 4,0.997 4160.959 2,0.09.解(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(3,3)之內(nèi)的概率為0.997 4,從而零件的尺寸在(3,3)之外的概率為0.002 6,故XB(16,0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.E(X)160.002 60.041 6.(2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.002 6,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.040 8,發(fā)生的概率很小,因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的()由9.97,s0.212,得的估計(jì)值為 9.97,的估計(jì)值為 0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在( 3 , 3 )之外,因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查剔除( 3 , 3 )之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(169.979.22)10.02.因此的估計(jì)值為10.02.160.2122169.9721 591.134.剔除( 3 , 3 )之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.1349.2221510.022)0.008,因此的估計(jì)值為0.09.思維升華 解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1)對稱軸x;(2)標(biāo)準(zhǔn)差;(3)分布區(qū)間利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值;由,分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間,從而求出所求概率注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x0.跟蹤訓(xùn)練 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù),2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2);某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用的結(jié)果,求E(X)附:12.2.若ZN(,2),則P(<Z<)0.682 6,P(2<Z<2)0.954 4.解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200,s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知,ZN(200,150),即ZN(200,12.22)從而P(187.8<Z<212.2)P(20012.2<Z<20012.2)0.682 6.由知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 6,依題意知XB(100,0.682 6),所以E(X)1000.682 668.26.離散型隨機(jī)變量的均值與方差問題典例 (12分)為回饋顧客,某商場擬通過模擬兌獎(jiǎng)的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求:顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率;顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及均值;(2)商場對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡,請對袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說明理由規(guī)范解答解(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.依題意,得P(X60),即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為.2分依題意,得X的所有可能取值為20,60.P(X60),P(X20),故X的分布列為X2060P4分所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值為E(X)206040.5分(2)根據(jù)商場的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元,所以,先尋找均值為60的可能方案對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以均值不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以均值也不可能為60元;因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對兩個(gè)方案的分析對于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1,則X1的分布列為X12060100P7分X1的均值為E(X1)206010060,X1的方差為D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.9分對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2,則X2的分布列為X2406080P10分X2的均值為E(X2)40608060,X2的方差為D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.12分求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟第一步:確定隨機(jī)變量的所有可能取值;第二步:求每一個(gè)可能取值所對應(yīng)的概率;第三步:列出離散型隨機(jī)變量的分布列;第四步:求均值和方差;第五步:根據(jù)均值、方差進(jìn)行判斷,并得出結(jié)論(適用于均值、方差的應(yīng)用問題);第六步:反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范性1(xx太原模擬)隨機(jī)變量X的分布列如下:X101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列若E(X),則D(X)的值是()A. B.C. D.答案B解析abc1.又2bac,故b,ac.由E(X),得ac,故a,c.D(X)222.故選B.2(xx浙江)已知隨機(jī)變量i滿足P(i1)pi,P(i0)1pi,i1,2.若0p1p2,則()AE(1)E(2),D(1)D(2)BE(1)E(2),D(1)D(2)CE(1)E(2),D(1)D(2)DE(1)E(2),D(1)D(2)答案A解析由題意可知i(i1,2)服從兩點(diǎn)分布,E(1)p1,E(2)p2,D(1)p1(1p1),D(2)p2(1p2),又0p1p2,E(1)E(2),把方差看作函數(shù)yx(1x),函數(shù)在上為增函數(shù),由題意可知,D(1)D(2)故選A.3.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()附:若XN(,2),則P(X)0.682 6,P(2X2)0.954 4.A2 386 B2 718C3 413 D4 772答案C解析由XN(0,1)知,P(1X1)0.682 6,P(0X1)0.682 60.341 3,故S0.341 3.落在陰影部分中點(diǎn)的個(gè)數(shù)x的估計(jì)值為(古典概型),x10 0000.341 33 413,故選C.4若XB(n,p),且E(X)6,D(X)3,則P(X1)的值為()A322 B24C3210 D28答案C解析由題意知解得P(X1)C113210.5設(shè)隨機(jī)變量XN(,2),且X落在區(qū)間(3,1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(1,3)內(nèi)的概率相等,若P(X>2)p,則P(0<X<2)等于()A.p B1pC12p D.p答案D解析由X落在(3,1)內(nèi)的概率和落在(1,3)內(nèi)的概率相等得0.又P(X>2)p,P(2<x<2)12p,P(0<X<2)p.6某班舉行了一次“心有靈犀”的活動(dòng),教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué),這個(gè)同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是0.4,同學(xué)乙猜對成語的概率是0.5,且規(guī)定猜對得1分,猜不對得0分,則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次,得分之和X(單位:分)的均值為()A0.9 B0.8 C1.2 D1.1答案A解析由題意得X0,1,2,則P(X0)0.60.50.3,P(X1)0.40.50.60.50.5,P(X2)0.40.50.2,E(X)10.520.20.9.7(xx全國)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)_.答案1.96解析由題意得XB(100,0.02),D(X)1000.02(10.02)1.96.8馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的分布列如下表:x123P(x)????請小牛同學(xué)計(jì)算的均值盡管“!”處完全無法看清,且兩個(gè)“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個(gè)“?”處的數(shù)值相同據(jù)此,小牛給出了正確答案E()_.答案2解析設(shè)“?”處的數(shù)值為x,則“!”處的數(shù)值為12x,則E()1x2(12x)3xx24x3x2.9已知當(dāng)XN(,2)時(shí),P(<X)0.682 6,P(2<X2)0.954 4,P(3<X3)0.997 4,則_.答案0.021 5解析由題意,1,1,P(3<X4)P(2<X4)P(1<X3)(0.997 40.954 4)0.021 5.10隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(0),E()1,則D()_.答案解析設(shè)P(1)a,P(2)b,則解得所以D()01.11(xx天津)從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為,.(1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和均值;(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率解(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,P(X0),P(X1),P(X2),P(X3).所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的均值E(X)0123.(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),則所求事件的概率為P(YZ1)P(Y0,Z1)P(Y1,Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以,這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為.12(xx全國名校名師原創(chuàng)聯(lián)考)汽車租賃公司為了調(diào)查A,B兩種車型的出租情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種車型各100輛汽車,分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:A型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)51030351532B型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)1420201615105(1)從出租天數(shù)為3天的汽車(僅限A,B兩種車型)中隨機(jī)抽取一輛,估計(jì)這輛汽車恰好是A型車的概率;(2)根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),估計(jì)該公司一輛A型車,一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率;(3)試寫出A,B兩種車型的出租天數(shù)的分布列及均值;如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同,該公司需要從A,B兩種車型中購買一輛,請你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),建議應(yīng)該購買哪一種車型,并說明你的理由解(1)這輛汽車是A型車的概率約為P0.6,故這輛汽車是A型車的概率為0.6.(2)設(shè)“事件Ai表示一輛A型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為i天”,“事件Bj表示一輛B型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為j天”,其中i,j1,2,3,7,則該公司一輛A型車,一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為P(A1B3A2B2A3B1)P(A1B3)P(A2B2)P(A3B1)P(A1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1),故該公司一輛A型車,一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為.(3)設(shè)X為A型車出租的天數(shù),則X的分布列為X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02設(shè)Y為B型車出租的天數(shù),則Y的分布列為X1234567P0.140.200.200.160.150.100.05E(X)10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.023.62,E(Y)10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.053.48.一輛A類車型的出租車一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.62天,B類車型的出租車一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.48天,故選擇A類型的出租車更加合理13某班有50名學(xué)生,一次考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(100,102),已知P(90100)0.3,估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為_答案10解析由題意知,P(>110)0.2,該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為0.25010.14一個(gè)不透明的盒子中關(guān)有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三種昆蟲共11只,現(xiàn)在盒子上開一小孔,每次只能飛出1只昆蟲(假設(shè)任意1只昆蟲等可能地飛出)若有2只昆蟲先后任意飛出(不考慮順序),則飛出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是.(1)求盒子中蜜蜂有幾只;(2)若從盒子中先后任意飛出3只昆蟲(不考慮順序),記飛出蜜蜂的只數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與均值E(X)解(1)設(shè)“2只昆蟲先后任意飛出,飛出的是蝴蝶或蜻蜓”為事件A,設(shè)盒子中蜜蜂為x只,則由題意,得P(A),所以(11x)(10x)42,解得x4或x17(舍去),故盒子中蜜蜂有4只(2)由(1)知,盒子中蜜蜂有4只,則X的取值為0,1,2,3,P(X0),P(X1),P(X2),P(X3).故X的分布列為X0123P均值E(X)0123.15(xx黃岡調(diào)研)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒,需要對6只小白鼠進(jìn)行病毒DNA化驗(yàn)來確定哪一只受到了感染下面是兩種化驗(yàn)方案:方案甲:逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定感染病毒的小白鼠為止方案乙:將6只小白鼠分為兩組,每組三只,將其中一組的三只小白鼠的待化驗(yàn)物質(zhì)混合在一起化驗(yàn),若化驗(yàn)結(jié)果顯示含有病毒DNA,則表明感染病毒的小白鼠在這三只當(dāng)中,然后逐個(gè)化驗(yàn),直到確定感染病毒的小白鼠為止;若化驗(yàn)結(jié)果顯示不含病毒DNA,則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)(1)求執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率;(2)若首次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為10元,第二次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為8元,第三次及以后每次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)都是6元,求方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)的分布列和均值解(1)執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的情況分兩種:第一種,先化驗(yàn)一組,結(jié)果顯示不含病毒DNA,再從另一組中任取一只進(jìn)行化驗(yàn),其恰好含有病毒DNA,此種情況的概率為;第二種,先化驗(yàn)一組,結(jié)果顯示含病毒DNA,再從中逐個(gè)化驗(yàn),恰好第一只含有病毒,此種情況的概率為.所以執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率為.(2)設(shè)用方案甲化驗(yàn)需要的化驗(yàn)費(fèi)為(單位:元),則的可能取值為10,18,24,30,36.P(10),P(18),P(24),P(30),P(36),則化驗(yàn)費(fèi)的分布列為1018243036P所以E()1018243036(元)16(xx江蘇)已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球,n個(gè)黑球(m,nN*,n2),這些球除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出,并放入如圖所示的編號為1,2,3,mn的抽屜內(nèi),其中第k次取球放入編號為k的抽屜(k1,2,3,mn).123mn(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),E(X)是X的均值,證明:E(X)<.(1)解編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為p.(2)證明隨機(jī)變量X的分布列為XP隨機(jī)變量X的均值為E(X).所以E(X)<(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC),即E(X)<.