2019年高考數(shù)學大一輪復習第十二章概率、隨機變量及其分布12.6離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布學案.doc

《2019年高考數(shù)學大一輪復習第十二章概率、隨機變量及其分布12.6離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布學案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019年高考數(shù)學大一輪復習第十二章概率、隨機變量及其分布12.6離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布學案.doc（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019年高考數(shù)學大一輪復習第十二章概率、隨機變量及其分布12.6離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布學案最新考綱考情考向分析1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念2.借助直觀直方圖認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義3.會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單問題.以理解均值與方差的概念為主，經(jīng)常以頻率分布直方圖為載體，考查二項分布、正態(tài)分布的均值與方差掌握均值與方差、正態(tài)分布的性質和求法是解題關鍵高考中常以解答題形式考查、難度為中等偏上.Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望它反映了離散型隨機變量取值的平均水平(2)方差稱D(X)(xiE(X)2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，并稱其算術平方根為隨機變量X的標準差2均值與方差的性質(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))3兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)，(x)，x(，)，其中實數(shù)和為參數(shù)(0，R)我們稱函數(shù)，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的特點曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關于直線x對稱；曲線在x處達到峰值；曲線與x軸之間的面積為1；當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(ab)，隨機變量X滿足P(aXb)，(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3X3)0.997_4.題組一思考辨析1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機變量，它不確定()(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)是正態(tài)分布的均值，是正態(tài)分布的標準差()(4)一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布()(5)均值是算術平均數(shù)概念的推廣，與概率無關()題組二教材改編2P68A組T1已知X的分布列為X101P設Y2X3，則E(Y)的值為()A. B4C1 D1答案A解析E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.3P68A組T5甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X，Y，其分布列分別為：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術較好的是_答案乙解析E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9，E(Y)2c1)P(X2c1)P(Xc3)，2c1c332，c.題組三易錯自糾5已知隨機變量X8，若XB(10,0.6)，則E()，D()分別是()A6,2.4 B2,2.4C2,5.6 D6,5.6答案B解析由已知隨機變量X8，所以8X.因此，求得E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4.6設隨機變量服從正態(tài)分布N(，2)，函數(shù)f(x)x24x沒有零點的概率是，則等于()A1 B2C4 D不能確定答案C解析當函數(shù)f(x)x24x沒有零點時，1644，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，當函數(shù)f(x)x24x沒有零點的概率是時，4.題型一離散型隨機變量的均值、方差命題點1求離散型隨機變量的均值、方差典例 某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定小王到該銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和均值解(1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則P(A).(2)依題意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X1)，P(X2)，P(X3)1.所以X的分布列為X123P所以E(X)123.命題點2已知離散型隨機變量的均值與方差，求參數(shù)值典例 設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分(1)當a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量為取出此球所得分數(shù)若E()，D()，求abc.解(1)由題意得2,3,4,5,6，故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E()，D()222，化簡得解得a3c，b2c，故abc321.思維升華 離散型隨機變量的均值與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機變量的均值與方差可依題設條件求出離散型隨機變量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解(2)由已知均值或方差求參數(shù)值可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值(3)由已知條件，作出對兩種方案的判斷可依據(jù)均值、方差的意義，對實際問題作出判斷跟蹤訓練 (xx青島一模)為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量，求的分布列與均值E()，方差D()解(1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為0,40,80元，甲、乙兩人2小時以上且不超過3小時離開的概率分別為，.兩人都付0元的概率為P1，兩人都付40元的概率為P2，兩人都付80元的概率為P3，則兩人所付費用相同的概率為PP1P2P3.(2)設甲、乙所付費用之和為，的可能取值為0,40,80,120,160，則P(0)，P(40)，P(80)，P(120)，P(160).所以的分布列為04080120160PE()0408012016080.D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.題型二均值與方差在決策中的應用典例 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和單位：億立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的入流量相互獨立(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關系：年入流量X40X120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺發(fā)電機年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺發(fā)電機年虧損800萬元欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？解(1)依題意，得p1P(40X120)0.1.由二項分布可知，在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為pC(1p3)4C(1p3)3p34430.947 7.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)安裝1臺發(fā)電機的情形由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤Y5 000，E(Y)5 00015 000.安裝2臺發(fā)電機的情形依題意，當40X80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；當X80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安裝3臺發(fā)電機的情形依題意，當40X80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺思維升華 隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定跟蹤訓練 (xx貴州調研)某投資公司在xx年初準備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車據(jù)市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項目二：通信設備據(jù)市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和.針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由解若按“項目一”投資，設獲利為X1萬元，則X1的分布列為X1300150PE(X1)300(150)200.若按“項目二”投資，設獲利為X2萬元，則X2的分布列為X25003000PE(X2)500(300)0200.D(X1)(300200)2(150200)235 000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資題型三正態(tài)分布的應用典例 (xx全國)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2)(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的均值；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；()下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：99510.129.969.9610.019.929.9810.0410269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得i9.97，s0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1,2，16.用樣本平均數(shù)作為的估計值 ，用樣本標準差s作為的估計值 ，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除( 3 ， 3 )之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0.01)附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3Z3)0.997 4,0.997 4160.959 2，0.09.解(1)抽取的一個零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 6，故XB(16,0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.E(X)160.002 60.041 6.(2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的()由9.97，s0.212，得的估計值為 9.97，的估計值為 0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在( 3 ， 3 )之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查剔除( 3 ， 3 )之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(169.979.22)10.02.因此的估計值為10.02.160.2122169.9721 591.134.剔除( 3 ， 3 )之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估計值為0.09.思維升華 解決正態(tài)分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸x；(2)標準差；(3)分布區(qū)間利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進行轉化，使分布區(qū)間轉化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x0.跟蹤訓練 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求P(187.8Z212.2)；某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，則P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解(1)抽取產(chǎn)品的質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，即ZN(200,12.22)從而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z2)p，則P(0X2)p，P(2x2)12p，P(0X2)p.6某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學若小組內(nèi)同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X(單位：分)的均值為()A0.9 B0.8 C1.2 D1.1答案A解析由題意得X0,1,2，則P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，E(X)10.520.20.9.7(xx全國)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)_.答案1.96解析由題意得XB(100,0.02)，D(X)1000.02(10.02)1.96.8馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的分布列如下表：x123P(x)？！？請小牛同學計算的均值盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.答案2解析設“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為12x，則E()1x2(12x)3xx24x3x2.9已知當XN(，2)時，P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4，則_.答案0.021 5解析由題意，1，1，P(3X4)P(2X4)P(1110)0.2，該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為0.25010.14一個不透明的盒子中關有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三種昆蟲共11只，現(xiàn)在盒子上開一小孔，每次只能飛出1只昆蟲(假設任意1只昆蟲等可能地飛出)若有2只昆蟲先后任意飛出(不考慮順序)，則飛出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是.(1)求盒子中蜜蜂有幾只；(2)若從盒子中先后任意飛出3只昆蟲(不考慮順序)，記飛出蜜蜂的只數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與均值E(X)解(1)設“2只昆蟲先后任意飛出，飛出的是蝴蝶或蜻蜓”為事件A，設盒子中蜜蜂為x只，則由題意，得P(A)，所以(11x)(10x)42，解得x4或x17(舍去)，故盒子中蜜蜂有4只(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，則X的取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列為X0123P均值E(X)0123.15(xx黃岡調研)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要對6只小白鼠進行病毒DNA化驗來確定哪一只受到了感染下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染病毒的小白鼠為止方案乙：將6只小白鼠分為兩組，每組三只，將其中一組的三只小白鼠的待化驗物質混合在一起化驗，若化驗結果顯示含有病毒DNA，則表明感染病毒的小白鼠在這三只當中，然后逐個化驗，直到確定感染病毒的小白鼠為止；若化驗結果顯示不含病毒DNA，則在另外一組中逐個進行化驗(1)求執(zhí)行方案乙化驗次數(shù)恰好為2次的概率；(2)若首次化驗的化驗費為10元，第二次化驗的化驗費為8元，第三次及以后每次化驗的化驗費都是6元，求方案甲所需化驗費的分布列和均值解(1)執(zhí)行方案乙化驗次數(shù)恰好為2次的情況分兩種：第一種，先化驗一組，結果顯示不含病毒DNA，再從另一組中任取一只進行化驗，其恰好含有病毒DNA，此種情況的概率為；第二種，先化驗一組，結果顯示含病毒DNA，再從中逐個化驗，恰好第一只含有病毒，此種情況的概率為.所以執(zhí)行方案乙化驗次數(shù)恰好為2次的概率為.(2)設用方案甲化驗需要的化驗費為(單位：元)，則的可能取值為10,18,24,30,36.P(10)，P(18)，P(24)，P(30)，P(36)，則化驗費的分布列為1018243036P所以E()1018243036(元)16(xx江蘇)已知一個口袋有m個白球，n個黑球(m，nN*，n2)，這些球除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，mn的抽屜內(nèi)，其中第k次取球放入編號為k的抽屜(k1,2,3，mn).123mn(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的均值，證明：E(X).(1)解編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為p.(2)證明隨機變量X的分布列為XP隨機變量X的均值為E(X).所以E(X)(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X).