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1、《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》線性代數(shù)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)及典型例題解析
第1-2章 行列式和矩陣
?、绷私饩仃嚨母拍?，熟練掌握矩陣的運(yùn)算。
矩陣的運(yùn)算滿足以下性質(zhì)
⒉了解矩陣行列式的遞歸定義，掌握計(jì)算行列式（三、四階）的方法；掌握方陣乘積行列式定理。
是同階方陣，則有：
若 是 階行列式， 為常數(shù)，則有：
?、沉私饬憔仃嚕瑔挝痪仃?，數(shù)量矩陣，對(duì)角矩陣，上（下）三角矩陣，對(duì)稱矩陣，初等矩陣的定義及性質(zhì)。
⒋理解可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質(zhì)，掌握矩陣可逆的充分必要條件。
若 為 階方陣，則下列結(jié)論等價(jià)
可逆 滿秩 存在 階方
2、陣 使得
⒌熟練掌握求逆矩陣的初等行變換法，會(huì)用伴隨矩陣法求逆矩陣，會(huì)解簡(jiǎn)單的矩陣方程。
用初等行變換法求逆矩陣：
用伴隨矩陣法求逆矩陣： （其中 是 的伴隨矩陣）
可逆矩陣具有以下性質(zhì)：
?、读私饩仃囍鹊母拍睿瑫?huì)求矩陣的秩。
將矩陣用初等行變換化為階梯形后，所含有的非零行的個(gè)數(shù)稱為矩陣的秩。
典型例題解析
例1 設(shè) 均為3階矩陣，且 ，則 。
解：答案：72
因?yàn)?，且
所以
例2 設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，則矩陣運(yùn)算（ ）有意義。
解：答案：A
因?yàn)?，所以A可進(jìn)行。
關(guān)于B，因?yàn)榫仃?的列數(shù)不等于矩陣 的行數(shù)，所
3、以錯(cuò)誤。
關(guān)于C，因?yàn)榫仃?與矩陣 不是同形矩陣，所以錯(cuò)誤。
關(guān)于D，因?yàn)榫仃?與矩陣 不是同形矩陣，所以錯(cuò)誤。
例3 已知
求 。
分析：利用矩陣相乘和矩陣相等求解。
解：因?yàn)?
得 。
例4 設(shè)矩陣
求 。
解：方法一：伴隨矩陣法
可逆。
且由
得伴隨矩陣
則 =
方法二：初等行變換法
注意：矩陣的逆矩陣是唯一的，若兩種結(jié)果不相同，則必有一個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的或兩個(gè)都是錯(cuò)誤的。
例4 設(shè)矩陣
求 的秩。
分析：利用矩陣初等行變換求矩陣的秩。
解：
。
例5若 是 階矩陣，且
4、，試證
證明：
注意：在證明中用到了已知條件和轉(zhuǎn)置行列式相等的結(jié)論。
第三章 線性方程組
一、本章主要內(nèi)容
主要概念：齊次線性方程組 非齊次線性方程組 方程組的矩陣表示 系數(shù)矩陣 增廣矩陣 一般解 通解（全部解） 特解 基礎(chǔ)解系 自由元（自由未知量）
維向量 線性組合（線性表出）線性相關(guān) 線性無(wú)關(guān) 極大線性無(wú)關(guān)組 向量組的秩 向量空間 向量空間的基和維數(shù)
主要性質(zhì)：齊次線性方程組解的性質(zhì) 非齊次線性方程組解的性質(zhì)
主要定理：
線性方程組的理論
齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)
非齊次線性方程組有解的充分必要條件 非齊次
5、線性方程組解的結(jié)構(gòu)
向量組線性相關(guān)性的有關(guān)定理（教材中第三章第三節(jié)）定理1、2、3及有關(guān)推論；
極大無(wú)關(guān)向量組的有關(guān)定理（教材中第三章第四節(jié)）定理1、2、3
主要方法：高斯消元法
齊次線性方程組解的情況判別
非齊次線性方程組解的情況判別
基礎(chǔ)解系的求法
通解的求法
向量組線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的判別法
極大線性無(wú)關(guān)組的求法
二、本章重點(diǎn)：向量組相關(guān)性的概念及判別，線性方程組相容性定理，齊次線性方程組基礎(chǔ)解系幾通解的求法，非齊次線性方程組特解和全部解的求法。
6、
三、典型例題解析
例1 向量組，若向量組線性相關(guān)則=
。
解：答案：2
因?yàn)橛捎嘘P(guān)定理，向量組線性相關(guān)的充要條件是向量組的秩數(shù)小于向量組向量個(gè)數(shù)，所以
求向量組的秩，決定的取值，使其秩數(shù)小于3。具體解法是
當(dāng)時(shí)，，故向量組線性相關(guān)。
例2 設(shè)向量組為
求它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并判斷向量組的相關(guān)性。
分析：
解：
是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，，此向量組線性相關(guān)。
例3 線性方程組
當(dāng)為何值時(shí)方程組有解，有解時(shí)解的情況如何？
分析：因?yàn)樵鰪V矩陣的秩與的取值有關(guān)，所以選擇的值，使
解 時(shí)，有，方程組有解且有無(wú)窮多解。
例4 設(shè)線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換后化為
求方程組的通解。
分析：將階梯形矩陣?yán)^續(xù)化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，求出方程組的一般解，然后求特解，相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，寫(xiě)出方程組的通解。
解：
得到方程組的一般解為
（其中是自由元）
令，得的一個(gè)特解
再由相應(yīng)齊次方程組的一般解
（其中是自由元）
令，得的一個(gè)解向量
令，得的另一個(gè)解向量
是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是方程組的通解為
其中為任意常數(shù)。
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