2019-2020年高中數學 第一章 集合與函數概念 第2節(jié) 函數及其表示（1）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數學 第一章 集合與函數概念 第2節(jié) 函數及其表示（1）教案 新人教A版必修1 教學分析　　　　　 函數是中學數學中最重要的基本概念之一．在中學，函數的學習大致可分為三個階段．第一階段是在義務教育階段，學習了函數的描述性概念，接觸了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等最簡單的函數，了解了它們的圖象、性質等．本節(jié)學習的函數概念與后續(xù)將要學習的函數的基本性質、基本初等函數(Ⅰ)和基本初等函數(Ⅱ)是學習函數的第二階段，這是對函數概念的再認識階段．第三階段是在選修系列的導數及其應用的學習，這是函數學習的進一步深化和提高． 在學生學習用集合與對應的語言刻畫函數之前，學生已經把函數看成變量之間的依賴關系；同時，雖然函數概念比較抽象，但函數現象大量存在于學生周圍．因此，課本采用了從實際例子中抽象出用集合與對應的語言定義函數的方式介紹函數概念． 三維目標　　　　　 1．會用集合與對應的語言來刻畫函數，理解函數符號y＝f(x)的含義；通過學習函數的概念，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題的探究能力，進一步培養(yǎng)學習數學的興趣和抽象概括能力；啟發(fā)學生運用函數模型表述思考和解決現實世界中蘊涵的規(guī)律，逐漸形成善于提出問題的習慣，學會數學表達和交流，發(fā)展數學應用意識． 2．掌握構成函數的三要素，會求一些簡單函數的定義域，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用，使學生感受到學習函數的必要性和重要性，激發(fā)學生學習的積極性． 重點難點　　　　　 教學重點：理解函數的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數． 教學難點：符號“y＝f(x)”的含義，不容易認識到函數概念的整體性，而將函數單一地理解成對應關系，甚至認為函數就是函數值． 課時安排　　　　　 2課時 第1課時 作者：高建勇 導入新課　　　　　 思路1.北京時間2005年10月12日9時整，萬眾矚目的“神舟”六號飛船勝利發(fā)射升空，5天后圓滿完成各項任務并順利返回．在“神舟”六號飛行期間，我們時刻關注“神舟”六號離我們的距離y隨時間t是如何變化的，本節(jié)課就對這種變量關系進行定量描述和研究．引出課題． 思路2.問題：已知函數y＝請用初中所學函數的定義來解釋y與x的函數關系？先讓學生回答后，教師指出：這樣解釋會顯得十分勉強，本節(jié)將用新的觀點來解釋，引出課題． 推進新課　　　　　 (1)給出下列三種對應：(幻燈片) ①一枚炮彈發(fā)射后，經過26 s落到地面擊中目標．炮彈的射高為845 m，且炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時間t(單位：s)變化的規(guī)律是h＝130t－5t2. 時間t的變化范圍是數集A＝{t|0≤t≤26}，h的變化范圍是數集B＝{h|0≤h≤845}．則有對應f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B. ②近幾十年來，大氣層的臭氧迅速減少，因而出現了臭氧洞問題．圖1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積S(單位：106 km2)隨時間t(單位：年)從1979～xx年的變化情況． 圖1 根據圖1中的曲線，可知時間t的變化范圍是數集A＝{t|1979≤t≤xx}，臭氧層空洞面積S的變化范圍是數集B＝{S|0≤S≤26}，則有對應： f：t→S，t∈A，S∈B. ③國際上常用恩格爾系數反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高．下表中的恩格爾系數y隨時間t(年)變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質量發(fā)生了顯著變化． “八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數變化情況 時間(t) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 xx xx xx xx 恩格爾 系數(y) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 根據上表，可知時間t的變化范圍是數集A＝{t|1991≤t≤xx}，恩格爾系數y的變化范圍是數集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.則有對應：f：t→y，t∈A，y∈B. 以上三個對應有什么共同特點？ (2)我們把這樣的對應稱為函數，請用集合的觀點給出函數的定義. (3)函數的定義域是自變量的取值范圍，那么你是如何理解這個“取值范圍”的？ (4)函數有意義又指什么？ (5)函數f：A→B的值域為C，那么集合B＝C嗎？ 活動：讓學生認真思考以上三個對應，也可以分組討論交流，引導學生找出這三個對應的本質共性． 解：(1)共同特點是：集合A，B都是數集，并且對于數集A中的每一個元素x，在對應關系f：A→B下，在數集B中都有唯一確定的元素y與之對應． (2)一般地，設A，B都是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域． 在研究函數時常會用到區(qū)間的概念，設a，b是兩個實數，且aa} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x0時，求f(a)，f(a－1)的值． 活動：(1)讓學生回想函數的定義域指的是什么？函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，故轉化為求使和有意義的自變量的取值范圍.有意義，則x＋3≥0，有意義，則x＋2≠0，轉化為解由x＋3≥0和x＋2≠0組成的不等式組． (2)讓學生回想f(－3)，f()表示什么含義？f(－3)表示自變量x＝－3時對應的函數值，f()表示自變量x＝時對應的函數值．分別將－3，代入函數的對應法則中得f(－3)，f()的值． (3)f(a)表示自變量x＝a時對應的函數值，f(a－1)表示自變量x＝a－1時對應的函數值．分別將a，a－1代入函數的對應法則中得f(a)，f(a－1)的值． 解：(1)要使函數有意義，自變量x的取值需滿足解得－3≤x<－2或x>－2，即函數的定義域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)． (2)f(－3)＝＋＝－1；f()＝＋＝＋. (3)∵a>0，∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f(a)，f(a－1)有意義． 則f(a)＝＋；f(a－1)＝＋＝＋. 點評：本題主要考查函數的定義域以及對符號f(x)的理解．求使函數有意義的自變量的取值范圍，通常轉化為解不等式組． f(x)是表示關于變量x的函數，又可以表示自變量x對應的函數值，是一個整體符號，分開符號f(x)沒有什么意義．符號f可以看作是對“x”施加的某種法則或運算．例如f(x)＝x2－x＋5，當x＝2時，看作“2”施加了這樣的運算法則：先平方，再減去2，再加上5；當x為某一代數式(或某一個函數記號時)，則左右兩邊的所有x都用同一個代數式(或某一個函數)來代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5等等． 符號y＝f(x)表示變量y是變量x的函數，它僅僅是函數符號，并不表示y等于f與x的乘積．符號f(x)與f(m)既有區(qū)別又有聯系：當m是變量時，函數f(x)與函數f(m)是同一個函數；當m是常數時，f(m)表示自變量x＝m對應的函數值，是一個常量． 已知函數的解析式，求函數的定義域，就是求使得函數解析式有意義的自變量的取值范圍，即 (1)如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R. (2)如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合． (3)如果f(x)是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合． (4)如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合(即求各部分定義域的交集)． (5)對于由實際問題的背景確定的函數，其定義域還要受實際問題的制約. 變式訓練 1．函數y＝－的定義域為__________． 答案：{x|x≤1，且x≠－1}． 點評：本題容易錯解：化簡函數的解析式為y＝x＋1－，得函數的定義域為{x|x≤1}．其原因是這樣做違背了討論函數問題要保持定義域優(yōu)先的原則．化簡函數的解析式容易引起函數的定義域發(fā)生變化，因此求函數的定義域之前時，不要化簡解析式． 2．若f(x)＝的定義域為M，g(x)＝|x|的定義域為N，令全集U＝R，則M∩N等于(　　) A．M　　　　　　 　　　　　　　B．N C．?UM D．?UN 解析：由題意得M＝{x|x>0}，N＝R，則M∩N＝{x|x>0}＝M. 答案：A 3．已知函數f(x)的定義域是[－1,1]，則函數f(2x－1)的定義域是________． 解析：要使函數f(2x－1)有意義，自變量x的取值需滿足－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1. 答案：[0,1] 本節(jié)課學習了：函數的概念、函數定義域的求法和對函數符號f(x)的理解． 課本習題1.2，A組，1,5. 本節(jié)教學中，在歸納函數的概念時，本節(jié)設計運用了大量的實例，如果不借助于信息技術，那么會把時間浪費在實例的書寫上，會造成課時不足即拖堂現象．本節(jié)重點設計了函數定義域的求法，而函數值域的求法將放在函數的表示法中學習．由于函數是高中數學的重點內容之一，也是高考的重點和熱點，因此對函數的概念等知識進行了適當的拓展，以滿足高考的需要． 第2課時 作者：劉玉亭 復習　　　　　　　 1．函數的概念． 2．函數的定義域的求法． 導入新課　　　　　 思路1.當實數a，b的符號相同，絕對值相等時，實數a＝b；當集合A，B中元素完全相同時，集合A＝B；那么兩個函數滿足什么條件才相等呢？引出課題：函數相等． 思路2.我們學習了函數的概念，y＝x與y＝是同一個函數嗎？這就是本節(jié)課學習的內容，引出課題：函數相等． 推進新課　　　　　 ①指出函數y＝x＋1的構成要素有幾部分？ ②一個函數的構成要素有幾部分？ ③分別寫出函數y＝x＋1和函數y＝t＋1的定義域和對應關系，并比較異同. ④函數y＝x＋1和函數y＝t＋1的值域相同嗎？由此可見兩個函數的定義域和對應關系分別相同，值域相同嗎？ ⑤由此你對函數的三要素有什么新的認識？ 討論結果：①函數y＝x＋1的構成要素為：定義域R，對應關系x→x＋1，值域是R. ②一個函數的構成要素為：定義域、對應關系和值域，簡稱為函數的三要素．其中定義域是函數的靈魂，對應關系是函數的核心．當且僅當兩個函數的三要素都相同時，這兩個函數才相同． ③定義域和對應關系分別相同． ④值域相同． ⑤如果兩個函數的定義域和對應關系分別相同，那么它們的值域一定相等．因此只要兩個函數的定義域和對應關系分別相同，那么這兩個函數就相等． 例題 下列函數中哪個與函數y＝x相等？ (1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝. 活動：讓學生思考兩個函數相等的條件后，引導學生求出各個函數的定義域，化簡函數關系式為最簡形式．只要它們定義域和對應關系分別相同，那么這兩個函數就相等． 解：函數y＝x的定義域是R，對應關系是x→x. (1)∵函數y＝()2的定義域是[0，＋∞)， ∴函數y＝()2與函數y＝x的定義域不相同． ∴函數y＝()2與函數y＝x不相等． (2)∵函數y＝的定義域是R， ∴函數y＝與函數y＝x的定義域相同． 又∵y＝＝x， ∴函數y＝與函數y＝x的對應關系也相同． ∴函數y＝與函數y＝x相等． (3)∵函數y＝的定義域是R， ∴函數y＝與函數y＝x的定義域相同． 又∵y＝＝|x|， ∴函數y＝與函數y＝x的對應關系不相同． ∴函數y＝與函數y＝x不相等． (4)∵函數y＝的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴函數y＝與函數y＝x的定義域不相同， ∴函數y＝與函數y＝x不相等． 點評：本題主要考查函數相等的含義．討論函數問題時，要保持定義域優(yōu)先的原則．對于判斷兩個函數是否是同一個函數，要先求定義域，若定義域不同，則不是同一個函數；若定義域相同，再化簡函數的解析式，若解析式相同(即對應關系相同)，則是同一個函數，否則不是同一個函數.  變式訓練 判斷下列各組的兩個函數是否相同，并說明理由． ①y＝x－1，x∈R與y＝x－1，x∈N； ②y＝與y＝； ③y＝1＋與u＝1＋； ④y＝x2與y＝x； ⑤y＝2|x|與y＝是同一個函數的是________．(把是同一個函數的序號填上即可) 解析：只需判斷函數的定義域和對應法則是否均相同即可． ①前者的定義域是R，后者的定義域是N，由于它們的定義域不同，故不是同一個函數； ②前者的定義域是{x|x≥2或x≤－2}，后者的定義域是{x|x≥2}，它們的定義域不同，故不是同一個函數； ③定義域相同均為非零實數，對應法則相同都是自變量取倒數后加1，那么值域必相同，故是同一個函數； ④定義域是相同的，但對應法則不同，故不是同一個函數； ⑤函數y＝2|x|＝則定義域和對應法則均相同，那么值域必相同，故是同一個函數． 故填③⑤. 答案：③⑤ 1．下列給出的四個圖形中，是函數圖象的是(　　) 圖2 A．① B．①③④ C．①②③ D．③④ 答案：B 2．函數y＝f(x)的定義域是R，值域是[1,2]，則函數y＝f(2x－1)的值域是________． 答案：[1,2] 3．下列各組函數是同一個函數的有________． ①f(x)＝，g(x)＝x；②f(x)＝x0，g(x)＝； ③f(x)＝，g(u)＝；④f(x)＝－x2＋2x，g(u)＝－u2＋2u. 答案：②③④ 問題：函數y＝f(x)的圖象與直線x＝m有幾個交點？ 探究：設函數y＝f(x)定義域是D， 當m∈D時，根據函數的定義知f(m)唯一， 則函數y＝f(x)的圖象上橫坐標為m的點僅有一個(m，f(m))， 即此時函數y＝f(x)的圖象與直線x＝m僅有一個交點； 當m?D時，根據函數的定義知f(m)不存在， 則函數y＝f(x)的圖象上橫坐標為m的點不存在， 即此時函數y＝f(x)的圖象與直線x＝m沒有交點． 綜上所得，函數y＝f(x)的圖象與直線x＝m有交點時僅有一個，或沒有交點． (1)復習了函數的概念，總結了函數的三要素； (2)判斷兩個函數是否是同一個函數． 1．設M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列4個圖形，其中能表示以集合M為定義域，N為值域的函數關系的是(　　) 圖3 答案：B 2．某公司生產某種產品的成本為1 000元，以1 100元的價格批發(fā)出去，隨生產產品數量的增加，公司收入________，它們之間是________關系． 解析：由題意，多生產一單位產品則多收入100元．生產產品數量看成是自變量，公司收入看成是因變量，容易得出對于自變量的每一個確定值，因變量都有唯一確定的值與之對應，從而判斷兩者是函數關系． 答案：增加　函數 3．函數y＝x2與S＝t2是同一函數嗎？ 答：函數的確定只與定義域與對應關系有關，而與所表示的字母無關，因此y＝x2與S＝t2表示的是同一個函數．因此并非字母不同便是不同的函數，這是由函數的本質決定的． 本節(jié)教學內容主要是依據高考說明，對課本內容適當拓展，重點對函數的相等問題進行了引申，設計時對拓展的內容采取漸進式，設計時本著逐步提高、拓展，不能急于求成，否則事倍功半． 備選例題　　　　　 【例1】 已知函數f(x)＝，則函數f[f(x)]的定義域是________． 解析：∵f(x)＝，∴x≠－1.∴f[f(x)]＝f()＝. ∴1＋≠0，即≠0.∴x≠－2. ∴f(x)的定義域為{x|x≠－2且x≠－1}． 答案：{x|x≠－2且x≠－1} 【例2】 已知函數f(2x＋3)的定義域是[－4,5)，求函數f(2x－3)的定義域． 解：由函數f(2x＋3)的定義域得函數f(x)的定義域，從而求得函數f(2x－3)的定義域．設2x＋3＝t，當x∈[－4,5)時，有t∈[－5,13)，則函數f(t)的定義域是[－5,13)，解不等式－5≤2x－3<13，得－1≤x<8，即函數f(2x－3)的定義域是[－1,8)． 函數的傳統(tǒng)定義和近代定義的比較 函數的傳統(tǒng)定義(初中學過的函數定義)與它的近代定義(用集合定義函數)在實質上是一致的．兩個定義中的定義域和值域的意義完全相同；兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同．傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，其中對應法則是將自變量x的每一個取值與唯一確定的函數值對應起來；近代定義則是從集合、對應的觀點出發(fā)，其中的對應法則是將原象集合中任一元素與象集合中的唯一確定的元素對應起來． 至于函數的傳統(tǒng)定義向近代定義過渡的原因，從歷史上看，函數的傳統(tǒng)定義來源于物理公式，最初的函數概念幾乎等同于解析式，要說清楚變量以及兩個變量的依賴關系，往往先要弄清各個變量的物理意義，這就使研究受到了不必要的限制．后來，人們認識到了定義域和值域的重要性，如果只根據變量的觀點來解析，會顯得十分勉強，如：符號函數sgn x＝用集合與對應的觀點來解釋，就顯得十分自然了，用傳統(tǒng)定義幾乎無法解釋，于是就有了函數的近代定義．由于傳統(tǒng)的定義比較生動、直觀，有時仍然會使用這一定義．