2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第九章 圓錐曲線.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第九章 圓錐曲線 定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 【知識(shí)圖解】 圓錐曲線 雙曲線 橢圓 拋物線 幾何性質(zhì) 定義 幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 定義 幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 圓錐曲線應(yīng)用 【方法點(diǎn)撥】 解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的紐帶。而圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，因而成為高考考查的重點(diǎn)。研究圓錐曲線，無(wú)外乎抓住其方程和曲線兩大特征。它的方程形式具有代數(shù)的特性，而它的圖像具有典型的幾何特性，因此，它是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合。高中階段所學(xué)習(xí)和研究的圓錐曲線主要包括三類：橢圓、雙曲線和拋物線。圓錐曲線問(wèn)題的基本特點(diǎn)是解題思路比較簡(jiǎn)單清晰，解題方法的規(guī)律性比較強(qiáng)，但是運(yùn)算過(guò)程往往比較復(fù)雜，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力，恒等變形能力，數(shù)形結(jié)合能力及綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的能力要求較高。 1. 一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì). 2.著力抓好運(yùn)算關(guān)，提高運(yùn)算與變形的能力，解析幾何問(wèn)題一般涉及的變量多，計(jì)算量大，解決問(wèn)題的思路分析出來(lái)以后，往往因?yàn)檫\(yùn)算不過(guò)關(guān)導(dǎo)致半途而廢，因此要尋求合理的運(yùn)算方案，探究簡(jiǎn)化運(yùn)算的基本途徑與方法，并在克服困難的過(guò)程中，增強(qiáng)解決復(fù)雜問(wèn)題的信心，提高運(yùn)算能力. 3.突出主體內(nèi)容，要緊緊圍繞解析幾何的兩大任務(wù)來(lái)學(xué)習(xí)：一是根據(jù)已知條件求曲線方程，其中待定系數(shù)法是重要方法，二是通過(guò)方程研究圓錐曲線的性質(zhì)，往往通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)體現(xiàn)，應(yīng)引起重視. 4.重視對(duì)數(shù)學(xué)思想如方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡(jiǎn)化解題過(guò)程 第1課　橢圓A 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1. 掌握橢圓的第一定義和幾何圖形,掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì); 2. 了解運(yùn)用曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的思想方法；能運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是 2.橢圓的離心率為 3.已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（－2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 4. 已知橢圓的離心率，則的值為 【范例導(dǎo)析】 例1.（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有共同焦點(diǎn)的橢圓方程。 （2）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，點(diǎn)P（3,0）在該橢圓上，求橢圓的方程。 【分析】由所給條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟是：①定位,即確定橢圓的焦點(diǎn)在哪軸上；②定量，即根據(jù)條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值;③寫出方程. 解：（1）∵橢圓焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）， 由橢圓的定義知， ， ∴，又∵，∴， 所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 （2）方法一：①若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為， ∵點(diǎn)P（3,0）在該橢圓上∴即又，∴∴橢圓的方程為. ②若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為， ∵點(diǎn)P（3,0）在該橢圓上∴即又，∴∴橢圓的方程為 方法二：設(shè)橢圓方程為.∵點(diǎn)P（3,0）在該橢圓上∴9A=1，即,又∴，∴橢圓的方程為或. 【點(diǎn)撥】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為，若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為，有時(shí)為了運(yùn)算方便，也可設(shè)為，其中 . 例2.點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，。 （1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值。 【分析】①列方程組求得P坐標(biāo)；②解幾中的最值問(wèn)題通?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)求解，要注意橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)的范圍. 解：（1）由已知可得點(diǎn)A(－6,0),F(0,4) 設(shè)點(diǎn)P(,),則=（+6, ）,=（－4, ）,由已知可得 則2+9－18=0, =或=－6. 由于>0,只能=,于是=. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,) (2) 直線AP的方程是－+6=0. 設(shè)點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是. 于是=,又－6≤≤6,解得=2. 橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離有 , 由于－6≤≤6, ∴當(dāng)=時(shí),d取得最小值 點(diǎn)撥:本題考查了二次曲線上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離范圍問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問(wèn)題. 【反饋練習(xí)】 1.如果表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1） 2.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 3.橢圓=1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的7倍 4.若橢圓的離心率,則的值為 5.．橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離為 6.與橢圓具有相同的離心率且過(guò)點(diǎn)（2，-）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或 7.橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是 8. 已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過(guò)點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程． 分析：討論橢圓方程的類型，根據(jù)題設(shè)求出和（或和）的值．從而求得橢圓方程． 解：設(shè)兩焦點(diǎn)為、，且，． 從橢圓定義知．即． 從知垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在中，， 可求出，，從而． ∴所求橢圓方程為或． 第2課　橢圓B 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1. 掌握橢圓的第二定義,能熟練運(yùn)用兩個(gè)定義解決橢圓的有關(guān)問(wèn)題; 2. 能解決橢圓有關(guān)的綜合性問(wèn)題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.曲線與曲線的（D） A 焦點(diǎn)相同 B 離心率相等 C準(zhǔn)線相同 D 焦距相等 2.如果橢圓上的點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離等于4,那么點(diǎn)A 到兩條準(zhǔn)線的距離分別是 3 離心率，一條準(zhǔn)線為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 【范例導(dǎo)析】 例1.橢圓（a>b>0）的二個(gè)焦點(diǎn)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M是橢圓上一點(diǎn)，且。 求離心率e的取值范圍. 分析:離心率與橢圓的基本量a、b、c有關(guān)，所以本題可以用基本量表示橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助橢圓橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于基本量的不等式，從而確定離心率的范圍. 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 ① 又由點(diǎn)M在橢圓上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。 ∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤≤1。 又∵0＜＜1，∵≤≤1. 例2.如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(－4，0)、F2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列. (1)求該弦橢圓的方程； (2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo). 例2 分析：第一問(wèn)直接可有第一定義得出基本量a，從而寫出方程；第二問(wèn)涉及到焦半徑問(wèn)題，可以考慮利用第二定義的得出焦半徑表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列的定義解決. 解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3. 故橢圓方程為=1. (2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)， 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(－x1)+(－x2)=2,由此得出：x1+x2=8. 設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0==4. 【反饋練習(xí)】 1.在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為 2．已知F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1作傾斜角為的弦AB，則△F2AB的面積為 3.已知正方形，則以為焦點(diǎn)，且過(guò)兩點(diǎn)的橢圓的離心率為 4.橢圓上的點(diǎn)P到它的左準(zhǔn)線的距離是10，那么點(diǎn)P 到它的右焦點(diǎn)的距離是 12 5.橢圓上不同三點(diǎn)，，與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列． 求證:； 證明：由橢圓方程知，，． 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，∴ ． 同理 ． ∵ ，且， ∴ ，即 ． 第3課　雙曲線 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1. 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,了解其幾何性質(zhì) 2. 能用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則 2. 方程表示雙曲線，則的范圍是 3．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為 4. 已知焦點(diǎn)，雙曲線上的一點(diǎn)到的距離差的絕對(duì)值等于，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【范例導(dǎo)析】 例1. (1) 已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程; （2）求與雙曲線共漸近線且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程及離心率． 分析：由所給條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟是：①定位,即確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪軸上；②定量，即根據(jù)條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值;③寫出方程. 解：（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為①； ∵點(diǎn)在雙曲線上，∴點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程①。 將分別代入方程①中，得方程組： 將和看著整體，解得， ∴即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 點(diǎn)評(píng)：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過(guò)程中也可以用換元思想，可能會(huì)看的更清楚。 （2）解法一：雙曲線的漸近線方程為： 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，設(shè)所求雙曲線方程為 ∵，∴ ① ∵在雙曲線上 ∴ ② 由①－②，得方程組無(wú)解 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，設(shè)雙曲線方程為 ∵，∴ ③ ∵在雙曲線上，∴ ④ 由③④得， ∴所求雙曲線方程為：且離心率 解法二：設(shè)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為： ∵點(diǎn)在雙曲線上，∴ ∴所求雙曲線方程為：，即． 點(diǎn)評(píng)：一般地，在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下，利用雙曲線系方程求雙曲線方程較為方便．通常是根據(jù)題設(shè)中的另一條件確定參數(shù)． 例2. 某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽到的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s. 已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上) 解：如圖: 以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020） 設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=3404=1360 由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上， 依題意得a=680, c=1020， y x o A B C P 用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|, 例2 答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心處. 例3.雙曲線的焦距為2c，直線過(guò)點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線的距離與點(diǎn)（－1，0）到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的取值范圍. 解：直線的方程為，即 由點(diǎn)到直線的距離公式，且，得到點(diǎn)（1，0）到直線的距離， 同理得到點(diǎn)（－1，0）到直線的距離 由 即 于是得 解不等式，得 由于所以的取值范圍是 點(diǎn)撥：本小題主要考查點(diǎn)到直線距離公式，雙曲線的基本性質(zhì)以及綜合運(yùn)算能力. 【反饋練習(xí)】 1.雙曲線的漸近線方程為 2.已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)是，，則雙曲線方程為 3.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且，，則該雙曲線的方程是 4. 設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若=3,則=7 5.與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程 6. （1）求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)且離心率為的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）求以曲線和的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線為漸近線，且實(shí)軸長(zhǎng)為12的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：（1）設(shè)所求雙曲線方程為：，則， ∴，∴，∴所求雙曲線方程為 （2）∵，∴或，∴漸近線方程為 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由且，得． ∴所求雙曲線方程為 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由，且，得． ∴所求雙曲線方程為 7.設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過(guò)、兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為，求雙曲線的離心率． 分析：由兩點(diǎn)式得直線的方程，再由雙曲線中、、的關(guān)系及原點(diǎn)到直線的距離建立等式，從而解出的值． 解：由過(guò)兩點(diǎn)，，得的方程為． 由點(diǎn)到的距離為，得． 將代入，平方后整理，得． 令，則．解得或． 而，有．故或． 因，故， 所以應(yīng)舍去．故所求離心率． 說(shuō)明：此題易得出錯(cuò)誤答案：或．其原因是未注意到題設(shè)條件，從而離心率．而，故應(yīng)舍去． 8.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)． （1）求雙曲線方程；（2）若點(diǎn)在雙曲線上，求證：； （3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)，求的面積． 解：（1）由題意，可設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，解得 ∴ 雙曲線方程為； （2）由（1）可知，，， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， 又點(diǎn)在雙曲線上， ∴ ， ∴ ， 即； （3） ∴的面積為6． 第4課　拋物線 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.了解拋物線的定義,掌握拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 2.會(huì)用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.焦點(diǎn)在直線x－2y－4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 2.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為 3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__(a,0)_ 4.拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)是 5．點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離和的最小值 【范例導(dǎo)析】 例1. 給定拋物線y2=2x，設(shè)A（a，0），a＞0，P是拋物線上的一點(diǎn)，且｜PA｜=d，試求d的最小值． 解：設(shè)P（x0，y0）（x0≥0），則y02=2x0， ∴d=｜PA｜= ==． ∵a＞0，x0≥0， ∴（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1－a＞0， 此時(shí)有x0=0時(shí)，dmin==a． （2）當(dāng)a≥1時(shí)，1－a≤0， 此時(shí)有x0=a－1時(shí)，dmin=． 例2.如圖所示，直線和相交于點(diǎn)M，⊥，點(diǎn)，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若△AMN為銳角三角形，，，且，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程． 分析：因?yàn)榍€段C上的任一點(diǎn)是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，所以本題關(guān)鍵是建立適當(dāng)坐標(biāo)系，確定C所滿足的拋物線方程． 例2 解：以為x軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系． 由題意，曲線段C是N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為曲線段的兩端點(diǎn)． ∴設(shè)曲線段C滿足的拋物線方程為：其中、為A、B的橫坐標(biāo) 令則， ∴由兩點(diǎn)間的距離公式，得方程組： 解得或 ∵△AMN為銳角三角形，∴，則， 又B在曲線段C上， 則曲線段C的方程為 【反饋練習(xí)】 1.拋物線的準(zhǔn)線方程是 2.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是 3.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A為拋物線上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 4.拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是 5.若直線l過(guò)拋物線(a>0)的焦點(diǎn)，并且與y軸垂直，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則a= 6.某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng). 解：以拱頂為原點(diǎn)，水平線為x軸，建立坐標(biāo)系， 如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標(biāo)分別為(－10，－4）、(10，－4） 設(shè)拋物線方程為x2=－2py,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得100=－2p(－4),解得p=12.5, 于是拋物線方程為x2=－25y. 第6題 由題意知E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－4)，E′點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將2代入得y=－0.16,從而|EE′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最長(zhǎng)支柱長(zhǎng)應(yīng)為3.84米. 7.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸，且過(guò)點(diǎn)P（2,2），過(guò)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程； （2）設(shè)直線l是拋物線的準(zhǔn)線，求證：以AB為直徑的圓與直線l相切． 分析：可設(shè)拋物線方程為．用待定系數(shù)法求得方程，對(duì)于第二問(wèn)的證明只須證明，則以AB為直徑的圓，必與拋物線準(zhǔn)線相切. 解：（1）設(shè)拋物線的方程，將（2，2）代入得∴所求拋物線方程為 （2）證明：作于于．M為AB中點(diǎn)，作于，則由拋物線的定義可知： 在直角梯形中： ，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切． 點(diǎn)撥：類似有：以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線相離，以雙曲線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交． 第5課　圓錐曲線的統(tǒng)一定義 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1. 了解圓錐曲線的第二定義. 2. 能用第二定義解決簡(jiǎn)單的圓錐曲線問(wèn)題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)是, 準(zhǔn)線方程是 2..如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是2 3.若雙曲線上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點(diǎn)距離的，則= 4.點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離比它到直線:的距離小1,則點(diǎn)的軌跡方程是 【范例導(dǎo)析】 例1.已知雙曲線的漸近線方程為，兩條準(zhǔn)線間的距離為，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：（可根據(jù)雙曲線方程與漸近線方程的關(guān)系，設(shè)出雙曲線方程，進(jìn)而求出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：∵雙曲線漸近線方程為，∴設(shè)雙曲線方程為 ①若，則， ∴準(zhǔn)線方程為：，∴，∴ ②若，則， ∴準(zhǔn)線方程為：，∴，∴ ∴所求雙曲線方程為：或 點(diǎn)撥：求圓錐曲線方程時(shí)，一般先由條件設(shè)出所求方程，然后再根據(jù)條件列出基本的方程組解方程組得出結(jié)果. 例2.已知點(diǎn)，，在雙曲線上求一點(diǎn)，使的值最?。? 解：∵，，∴，∴ 設(shè)點(diǎn)到與焦點(diǎn)相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為則 ∴，∴ 至此，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在雙曲線上求一點(diǎn)， 使到定點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離和最?。? 即到定點(diǎn)的距離與準(zhǔn)線距離和最小為直線垂直于準(zhǔn)線時(shí)， 解之得，點(diǎn)． 點(diǎn)撥：靈活巧妙地運(yùn)用雙曲線的比值定義于解題中，將會(huì)帶給我們意想不到的方便和簡(jiǎn)單．教學(xué)中應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力． 【反饋練習(xí)】 1.若雙曲線上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點(diǎn)距離的，則 2.在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為 3.已知雙曲線的一條準(zhǔn)線為，則該雙曲線的離心率為 4　雙曲線右支點(diǎn)上的一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為2，則P點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為 8 第6課　圓錐曲線綜合 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1. 在理解和掌握?qǐng)A錐曲線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上,把握有關(guān)圓錐曲線的知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系,靈活地運(yùn)用解析幾何的常用方法解決問(wèn)題. 2. 通過(guò)問(wèn)題的解決,理解函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想. 3. 能夠抓住實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)建立圓錐曲線的數(shù)學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,并運(yùn)用圓錐曲線知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. 給出下列四個(gè)結(jié)論： ①當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是； ②已知雙曲線的右焦點(diǎn)為（5，0），一條漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是； ③拋物線； ④已知雙曲線，其離心率，則m的取值范圍是（－12，0）。 其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4 2.設(shè)雙曲線以橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為 3.如果橢圓的弦被點(diǎn)(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是 【范例導(dǎo)析】 例1. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A、B是熱線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M。 （I）證明為定值； （II）設(shè)的面積為S，寫出的表達(dá)式，并求S的最小值。 解：（1）F點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為 B點(diǎn)的坐標(biāo)為 由可得 因此 過(guò)A點(diǎn)的切線方程為 (1) 過(guò)B點(diǎn)的切線方程為 (2) 解(1)( 2)構(gòu)成的方程組可得點(diǎn)M的坐標(biāo),從而得到=0 即為定值 （2）=0可得三角形面積 所以 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 點(diǎn)撥：本題主要考察共線向量的關(guān)系,曲線的切線方程,直線的交點(diǎn)以及向量的數(shù)量積等知識(shí)點(diǎn) 涉及均值不等式,計(jì)算較復(fù)雜.難度很大 【反饋練習(xí)】 1.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為.若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是 2.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)在雙曲線上，且，則 3.設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，、 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值是 4.已知以F1（2,0），F(xiàn)2（2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 5. 雙曲線C與橢圓的焦點(diǎn)相同，離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線的方程是 6.已知橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，則點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于__2 _ 7.如圖，點(diǎn)A是橢圓C：的短軸位于x軸下方的端點(diǎn)，過(guò)A作斜率為1的直線交橢圓于B點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上，且BP∥x軸，＝9,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)，求橢圓C的方程. 8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為．求圓的方程. 解：設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)（m<0，n>0）,則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則 =2 即=4 ① 又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)(0，0)代入得 m2+n2=8 ② 聯(lián)立方程①和②組成方程組解得 故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8 9.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中,求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程. 解：如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等 由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線 所以軌跡方程為； 第9題