2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 第2節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用（1）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 第2節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用（1）教案 新人教A版必修1 教學(xué)分析　　　　　 函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)描述．本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸與對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的不同，應(yīng)用函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單問(wèn)題．課本對(duì)幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用，都是通過(guò)實(shí)例來(lái)實(shí)現(xiàn)的．通過(guò)教學(xué)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中是有用的． 三維目標(biāo)　　　　　 1．借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異． 2．恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的三種表示方法(解析式、表格、圖象)并借助信息技術(shù)解決一些實(shí)際問(wèn)題． 3．讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸與對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的不同． 教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單問(wèn)題． 課時(shí)安排　　　　　 2課時(shí) 第1課時(shí) 作者：林大華 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.(事例導(dǎo)入) 一張紙的厚度大約為0.01 cm，一塊磚的厚度大約為10 cm，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算將一張紙對(duì)折n次的厚度和n塊磚的厚度，列出函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算n＝20時(shí)它們的厚度．你的直覺(jué)與結(jié)果一致嗎？ 解：紙對(duì)折n次的厚度：f(n)＝0.012n(cm)，n塊磚的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m. 也許同學(xué)們感到意外，通過(guò)對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)大家對(duì)這些問(wèn)題會(huì)有更深的了解． 思路2.(直接導(dǎo)入) 請(qǐng)同學(xué)們回憶指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本節(jié)我們將通過(guò)實(shí)例比較它們的增長(zhǎng)差異． 推進(jìn)新課　　　　　 ①如果張紅購(gòu)買了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示為x的函數(shù). ②正方形的邊長(zhǎng)為x，面積為y，把y表示為x的函數(shù). ③某保護(hù)區(qū)有1單位面積的濕地，由于保護(hù)區(qū)的努力，使?jié)竦孛娣e每年以5%的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)x年后濕地的面積為y，把y表示為x的函數(shù). ④分別用表格、圖象表示上述函數(shù).,⑤指出它們屬于哪種函數(shù)模型. ⑥討論它們的單調(diào)性. ⑦比較它們的增長(zhǎng)差異. ⑧另外還有哪種函數(shù)模型與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān). 活動(dòng)：先讓學(xué)生動(dòng)手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路． ①總價(jià)等于單價(jià)與數(shù)量的積． ②面積等于邊長(zhǎng)的平方． ③由特殊到一般，先求出經(jīng)過(guò)1年、2年… ④列表畫出函數(shù)圖象． ⑤引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的函數(shù)模型． ⑥結(jié)合函數(shù)表格與圖象討論它們的單調(diào)性． ⑦讓學(xué)生自己比較并體會(huì)． ⑧其他與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型． 討論結(jié)果：①y＝x. ②y＝x2. ③y＝(1＋5%)x. ④如下表 x 1 2 3 4 5 6 Y＝x 1 2 3 4 5 6 Y＝x2 1 4 9 16 25 36 y＝(1＋5%)x 1.05 1.10 1.16 1.22 1.28 1.34 它們的圖象分別為圖1，圖2，圖3. 圖1 　　　圖2 　　　圖3 ⑤它們分別屬于：y＝kx＋b(直線型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，拋物線型)，y＝kax＋b(指數(shù)型)． ⑥從表格和圖象得出它們都為增函數(shù)． ⑦在不同區(qū)間增長(zhǎng)速度不同，隨著x的增大y＝(1＋5%)x的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于另外兩個(gè)函數(shù)． ⑧另外還有與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型，形如y＝logax＋b，我們把它叫做對(duì)數(shù)型函數(shù)． 例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下： 方案一：每天回報(bào)40元； 方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元； 方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番． 請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？ 活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過(guò)比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù)． 解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.42x－1(x∈N*)進(jìn)行描述．三個(gè)模型中，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，后兩個(gè)都是遞增函數(shù)模型．要對(duì)三個(gè)方案做出選擇，就要對(duì)它的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析．我們先用計(jì)算機(jī)計(jì)算一下三種所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況．  x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 … … … … … … … 30 40 0 300 10 214 748 364.8 107 374 182.4 再作出三個(gè)函數(shù)的圖象(圖4)． 圖4 由表和圖4可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案二與方案三的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7天開(kāi)始，方案三比其他兩方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一、方案二無(wú)法企及的．從每天所得回報(bào)看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天開(kāi)始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過(guò)2億元． 下面再看累積的回報(bào)數(shù)．通過(guò)計(jì)算機(jī)或計(jì)算器列表如下： 　天數(shù) 回報(bào)/元 方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 因此，投資1～6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天(含11天)以上，則應(yīng)選擇方案三． 針對(duì)上例可以思考下面問(wèn)題： ①選擇哪種方案是依據(jù)一天的回報(bào)數(shù)還是累積回報(bào)數(shù)． ②課本把兩種回報(bào)數(shù)都列表給出的意義何在？ ③由此得出怎樣的結(jié)論． 答案：①選擇哪種方案依據(jù)的是累積回報(bào)數(shù)． ②讓我們體會(huì)每天回報(bào)數(shù)的增長(zhǎng)變化． ③上述例子只是一種假想情況，但從中我們可以體會(huì)到，不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型，其增長(zhǎng)變化存在很大差異.  變式訓(xùn)練 某市移動(dòng)通訊公司開(kāi)設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先繳50元月基礎(chǔ)費(fèi)，然后每通話1分鐘付話費(fèi)0.4元；“神州行”不繳月基礎(chǔ)費(fèi)，每通話1分鐘付話費(fèi)0.6元，若設(shè)一個(gè)月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊業(yè)務(wù)的費(fèi)用分別為y1元和y2元，那么 (1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象； (3)求出一個(gè)月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊業(yè)務(wù)費(fèi)用相同； (4)若某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，應(yīng)選擇哪種通訊業(yè)務(wù)較合算． 思路分析：我們可以先建立兩種通訊業(yè)務(wù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過(guò)比較它們的變化情況，為選擇哪種通訊提供依據(jù)．(1)全球通的費(fèi)用應(yīng)為兩種費(fèi)用的和，即月基礎(chǔ)費(fèi)和通話費(fèi)，神州行的費(fèi)用應(yīng)為通話費(fèi)用；(2)運(yùn)用描點(diǎn)法畫圖，但應(yīng)注意自變量的取值范圍；(3)可利用方程組求解，也可以根據(jù)圖象回答；(4)求出當(dāng)函數(shù)值為200元時(shí)，哪個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的自變量的值較大． 解：(1)y1＝50＋0.4x(x≥0)，y2＝0.6x(x≥0)． (2)圖象如圖5所示． 圖5 (3)根據(jù)圖中兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為250，所以在一個(gè)月內(nèi)通話250分鐘時(shí)，兩種通訊業(yè)務(wù)的收費(fèi)相同． (4)當(dāng)通話費(fèi)為200元時(shí)，由圖象可知，y1所對(duì)應(yīng)的自變量的值大于y2所對(duì)應(yīng)的自變量的值，即選取全球通更合算． 另解：當(dāng)y1＝200時(shí)有0.4x＋50＝200，∴x1＝375； 當(dāng)y2＝200時(shí)有0.6x＝200，x2＝.顯然375>， ∴選用“全球通”更合算． 點(diǎn)評(píng)：在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力．另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要模型. 例2某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨著利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？ 活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%，由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1 000萬(wàn)元，所以人員銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的利潤(rùn)．于是只需在區(qū)間[10,1 000]上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，得到初步結(jié)論，再通過(guò)具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果． 解：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(圖6)． 圖6 觀察函數(shù)的圖象，在區(qū)間[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5的下方，這說(shuō)明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求． 下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷． 首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)． 對(duì)于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1 000]上遞增，而且當(dāng)x＝20時(shí)，y＝5，因此，當(dāng)x>20時(shí)，y>5，所以該模型不符合要求； 對(duì)于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002x0＝5，由于它在區(qū)間[10,1 000]上遞增，因此當(dāng)x>x0時(shí)，y>5，所以該模型也不符合要求； 對(duì)于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1 000]上遞增，而且當(dāng)x＝1 000時(shí)，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求． 再計(jì)算按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí)，是否有＝≤0.25成立． 令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1 000]．利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象(圖7)，由函數(shù)圖象可知它是遞減的，因此 圖7 f(x)0)，銷售數(shù)量就減少kx%(其中k為正實(shí)數(shù))．目前，該商品定價(jià)為a元，統(tǒng)計(jì)其銷售數(shù)量為b個(gè)． (1)當(dāng)k＝時(shí)，該商品的價(jià)格上漲多少，就能使銷售的總金額達(dá)到最大？ (2)在適當(dāng)?shù)臐q價(jià)過(guò)程中，求使銷售總金額不斷增加時(shí)k的取值范圍． 解：依題意，價(jià)格上漲x%后，銷售總金額為 y＝a(1＋x%)b(1－kx%)＝[－kx2＋100(1－k)x＋10 000]． (1)取k＝，y＝(－x2＋50x＋10 000)， 所以x＝50， 即商品價(jià)格上漲50%，y最大為ab. (2)因?yàn)閥＝[－kx2＋100(1－k)x＋10 000]， 此二次函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x＝，在適當(dāng)漲價(jià)過(guò)程后，銷售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當(dāng)自變量x在{x|x>0}的一個(gè)子集內(nèi)增大時(shí)，y也增大． 所以>0，解得00且a≠1)．∴由圖知2＝a1. ∴a＝2，即底數(shù)為2. ②∵25＝32>30，∴說(shuō)法正確． ③∵指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快， ∴說(shuō)法不正確． ④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴說(shuō)法正確． ⑤∵指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，∴說(shuō)法不正確． 活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答．教師提示、點(diǎn)撥，及時(shí)評(píng)價(jià)． 引導(dǎo)方法：從基本知識(shí)和基本技能兩方面來(lái)總結(jié)． 答案：(1)建立函數(shù)模型；(2)利用函數(shù)圖象性質(zhì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題． 課本習(xí)題3.2A組1、2. 本節(jié)設(shè)計(jì)由學(xué)生熟悉的素材入手，結(jié)果卻出乎學(xué)生的意料，由此使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣．課本中兩個(gè)例題不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了函數(shù)模型的應(yīng)用，而且體會(huì)到它們之間的差異；我們補(bǔ)充的例題與之相映生輝，其難度適中，是各地高考模擬經(jīng)常選用的素材．其中拓展提升中的問(wèn)題緊貼本節(jié)主題，很好地體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，是不可多得的素材．