2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義 導(dǎo)數(shù)（無答案） 北師大版選修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義 導(dǎo)數(shù)（無答案） 北師大版選修2 一．要點(diǎn)精講 1．導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù)y=f(x)，如果自變量x在x0處有增量Δx，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f(x0+Δx)－f(x0)，比值叫做函數(shù)y=f(x)在x0到x0+Δx之間的平均變化率，即=。 如果當(dāng)Δx→0時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f’(x0)或y’|。即f(x0)= =。 說明： (1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是指Δx→0時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。 (2) Δx是自變量x在x0處的改變量，Δx≠0時，而Δy是函數(shù)值的改變量，可以是零。 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)p(x0,f(x0))處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f(x)在點(diǎn)p(x0,f(x0))處的切線的斜率是f’(x0)。相應(yīng)地，切線方程為y－y0= f’(x0)(x－x0)。 3．常見函數(shù)的導(dǎo)出公式． (1)(C)’=0 (C為常數(shù))　　(2) (xn)’=n?xn-1 (3)(ex)’=ex (4)(sinx)’=cosx (5)(cosx)’=-sinx (6)(lnx)’= 4．兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則 法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： (uv)’=u’v’。 法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(u?v)’=u’?v+ u?v’。 若C為常數(shù)，則(Cu)’=C’u+Cu’=Cu’。即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(Cu)’ =Cu’。 法則3：兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：=(v0)。 形如y=f[φ(x)]的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解——求導(dǎo)——回代。法則：y’|x= y’|φφ’|x 5．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (1)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果f’(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；如果f’(x)<0，則f(x)為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f’(x)=0，則f(x)為常數(shù)； (2)曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正； (3)一般地，在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值。①求函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的極值； ②求函數(shù)f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的值?(a)、?(b)； ③將函數(shù)f(x)的各極值與?(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 二．典例解析 題型1：導(dǎo)數(shù)的概念 例1．已知s=，(1)計(jì)算t從3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段內(nèi)平均速度；(2)求t=3秒是瞬時速度。 例2．求函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)。 題型2：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算 例3．(1)求的導(dǎo)數(shù)；(2)求的導(dǎo)數(shù)； (3)求的導(dǎo)數(shù)；(4)求y=的導(dǎo)數(shù)； (5)求y＝的導(dǎo)數(shù)。 例4．寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)： (1)y=cosu，u=1+x2 (2)y=lnu，u=lnx (3)y=e2x (4) y=eu，u=x2 題型3：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例5．(1)若曲線y=x4的一條切線與直線x+4y-8=0垂直，則l的方程為 A．4x-y-3=0 B．x+4y-5=0 C．4x-y+3=0 D．x+4y+3=0 (2)過點(diǎn)(－1,0)作拋物線y=x2+x+1的切線，則其中一條切線為( ) (A)2x+y+2=0 (B)3x-y+3=0 (C) x+y+1=0 (D) x-y+1=0 例6．(1)半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2,周長C(r)=2πr，若將r看作(0,＋∞)上的變量，則(πr2)’＝2πr ①，①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0,＋∞)上的變量，請你寫出類似于①的式子： ②；②式可以用語言敘述為： 。 (2)曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 。 題型4：借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值 例7．(1)對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1) f’(x)0，則必有( ) A. f(0)＋f(2)<2f(1) B. f(0)＋f(2)2f(1) C. f(0)＋f(2)2f(1) D. f(0)＋f(2)>2f(1) (2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f’(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)(　 ) A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個 (3)已知函數(shù)。(I)設(shè)，討論y=f(x)的單調(diào)性；(II)若對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范圍。 例8．(1)在區(qū)間上的最大值是( ) (A)－2 (B)0 (C)2 (D)4 (2)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，其中a≥1。(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)討論f(x)的極值。 題型5：導(dǎo)數(shù)綜合題 例9．設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+3x+2分別在x1、x2處取得極小值、極大值。xoy平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,f(x1))、(x2,f(x2))，該平面上動點(diǎn)P滿足,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點(diǎn).求 (I)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)； (II)求動點(diǎn)Q的軌跡方程. 例10．設(shè)函數(shù)f(x)=，x∈(0,1]，a∈R+。 (1) 若f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)求f(x)在(0,1]上的最大值。 作業(yè) 一、選擇題 1、函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為( ) (Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ) 2. 在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個數(shù)( ) A．3 B．2 C．1 D．0 3． 對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)0，則必有( ) A.f(0)＋f(2)<2f(1) B. f(0)＋f(2)2f(1) C.f(0)＋f(2)2f(1) D. f(0)＋f(2)>2f(1) 4.設(shè)，曲線在點(diǎn)處切處的傾斜角的取值范圍為，則P到曲線對稱軸距離的取值范圍( ) A． B． C． D． 5．與直線的平行的拋物線的切線方程是 ( ) A．B． C．D． 6．設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，當(dāng)時，且則不等式的解集是 ( ) A.B.C.D. 7．函數(shù)f(x)=x(x－1)(x－2)…(x－100)在處的導(dǎo)數(shù)值為 ( ) A.0 B. C.200 D.100！ 8．過點(diǎn)(－1，0)作拋物線的切線，則其中一條切線為 ( ) (A) (B) (C) (D) 9．設(shè)函數(shù)，(、、 是兩兩不等的常數(shù))，則 ． A.0 B.-1 C.2 D.-2 10.過曲線和交點(diǎn)的切線與坐標(biāo)軸圍成的在它們的三角形的面積是( ) A. B.. C. D. 二、填空題 1、曲線在點(diǎn)處的切線方程是________________； 2、函數(shù)，已知在時取得極值，則=_______ __； 3、設(shè)曲線在點(diǎn)(1,)處的切線與直線平行,則____________； 4、已知曲線的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_____________； 5、曲線在點(diǎn)處的切線與x軸、直線所圍成的三角形的面積為 ； 三、解答題 1.已知拋物線C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段. (Ⅰ)a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程； (Ⅱ)若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分. 2．已知f(x)=x2+ax+b, g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且，f(5)=30,則求g(4)。 3．已知向量=(1，0)，=(0，1)，函數(shù)的圖象在軸上的截距為1，在=2處切線的方向向量為，并且函數(shù)當(dāng)時取得極值。 (1)求的解析式；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求的極值。 4.設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù) (Ⅰ)求的極值. (Ⅱ)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時,曲線軸僅有一個交點(diǎn). 5．設(shè)，點(diǎn)P(，0)是函數(shù)的圖象的一個公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.；(Ⅰ)用表示a，b，c； (Ⅱ)若函數(shù)在(－1，3)上單調(diào)遞減，求的取值范圍. 6.已知函數(shù)。 (1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； (2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值； (3)設(shè)，若存在，使得成立， 求實(shí)數(shù)的取值范圍。