2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章《生活中的優(yōu)化問題舉例》教案新人教A版選修1-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章《生活中的優(yōu)化問題舉例》教案新人教A版選修1-1 教學(xué)目標(biāo): 1. 使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題,體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用 2. 提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力 教學(xué)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題. 教學(xué)難點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題. 教學(xué)過程: 一.創(chuàng)設(shè)情景 生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學(xué)習(xí),我們知道,導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大(?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié),我們利用導(dǎo)數(shù),解決一些生活中的優(yōu)化問題. 二.新課講授 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題,主要有以下幾個(gè)方面: 1、與幾何有關(guān)的最值問題; 2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題 3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問題; 4、效率最值問題。 解決優(yōu)化問題的方法:首先是需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系,并確定函數(shù)的定義域,通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境,即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),提出優(yōu)化方案,使問題得以解決,在這個(gè)過程中,導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具. 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路: 建立數(shù)學(xué)模型 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題的答案 三.典例分析 例1.海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng),通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳。現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報(bào),要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸,才能使四周空心面積最??? 解:設(shè)版心的高為xdm,則版心的寬為dm,此時(shí)四周空白面積為 。 求導(dǎo)數(shù),得 。 令,解得舍去)。 于是寬為。 當(dāng)時(shí),<0;當(dāng)時(shí),>0. 因此,是函數(shù)的極小值,也是最小值點(diǎn)。所以,當(dāng)版心高為16dm,寬為8dm時(shí),能使四周空白面積最小。 答:當(dāng)版心高為16dm,寬為8dm時(shí),海報(bào)四周空白面積最小。 例2.飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響 (1)你是否注意過,市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些? (2)是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤(rùn)越大? 【背景知識(shí)】:某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是 分,其中 是瓶子的半徑,單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料,制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm 問題:(1)瓶子的半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大? (2)瓶子的半徑多大時(shí),每瓶的利潤(rùn)最小? 解:由于瓶子的半徑為,所以每瓶飲料的利潤(rùn)是 令 解得 (舍去) 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. 當(dāng)半徑時(shí),它表示單調(diào)遞增,即半徑越大,利潤(rùn)越高; 當(dāng)半徑時(shí), 它表示單調(diào)遞減,即半徑越大,利潤(rùn)越低. (1)半徑為cm 時(shí),利潤(rùn)最小,這時(shí),表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本,此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值. (2)半徑為cm時(shí),利潤(rùn)最大. 換一個(gè)角度:如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具,直接從函數(shù)的圖像上觀察,會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)? 有圖像知:當(dāng)時(shí),,即瓶子的半徑為3cm時(shí),飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等;當(dāng)時(shí),利潤(rùn)才為正值. 當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),其實(shí)際意義為:瓶子的半徑小于2cm時(shí),瓶子的半徑越大,利潤(rùn)越小,半徑為cm 時(shí),利潤(rùn)最?。? 例3.磁盤的最大存儲(chǔ)量問題 計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤,并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道,扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元,根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1,這個(gè)基本單元通常被稱為比特(bit)。 為了保障磁盤的分辨率,磁道之間的寬度必需大于,每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利,磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。 問題:現(xiàn)有一張半徑為的磁盤,它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域. (1) 是不是越小,磁盤的存儲(chǔ)量越大? (2) 為多少時(shí),磁盤具有最大存儲(chǔ)量(最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息)? 解:由題意知:存儲(chǔ)量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)。 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于與R之間,由于磁道之間的寬度必需大于,且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息,故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同,為獲得最大存儲(chǔ)量,最內(nèi)一條磁道必須裝滿,即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以,磁盤總存儲(chǔ)量 (1)它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù),從函數(shù)解析式上可以判斷,不是越小,磁盤的存儲(chǔ)量越大. (2)為求的最大值,計(jì)算. 令,解得 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. 因此時(shí),磁盤具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為 例4.圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí),它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取,才能使所用的材料最省? 解:設(shè)圓柱的高為h,底半徑為R,則表面積 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h,得,則 S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 +4πR=0 解得,R=,從而h====2 即h=2R 因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值,所以它是最小值 答:當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí),所用材料最省 變式:當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí),它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取,才能使所用材料最??? 提示:S=2+h= V(R)=R= )=0 . 四.課堂練習(xí) 1.用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架,如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積.(高為1.2 m,最大容積) 5.課本 練習(xí)課本P104 五.回顧總結(jié) 建立數(shù)學(xué)模型 1.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路: 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題的答案 2.解決優(yōu)化問題的方法:通過搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),提出優(yōu)化方案,使問題得到解決.在這個(gè)過程中,導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有利的工具。 例4.汽油的使用效率何時(shí)最高 我們知道,汽油的消耗量(單位:L)與汽車的速度(單位:km/h)之間有一定的關(guān)系,汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù).根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn),思考下面兩個(gè)問題: (1)是不是汽車的速度越快,汽車的消耗量越大? (2)“汽油的使用率最高”的含義是什么? 分析:研究汽油的使用效率(單位:L/m)就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值.如果用表示每千米平均的汽油消耗量,那么,其中,表示汽油消耗量(單位:L),表示汽油行駛的路程(單位:km).這樣,求“每千米路程的汽油消耗量最少”,就是求的最小值的問題. 通過大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究,人們發(fā)現(xiàn),汽車在行駛過程中,汽油平均消耗率(即每小時(shí)的汽油消耗量,單位:L/h)與汽車行駛的平均速度(單位:km/h)之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系. 從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題.因此,我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率(即每小時(shí)的汽油消耗量,單位:L/h)與汽車行駛的平均速度(單位:km/h)之間關(guān)系的問題,然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息,解決汽油使用效率最高的問題. 解:因?yàn)? 這樣,問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值.從圖象上看,表示經(jīng)過原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直線的斜率.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),當(dāng)直線與曲線相切時(shí),其斜率最小.在此切點(diǎn)處速度約為90 因此,當(dāng)汽車行駛距離一定時(shí),要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小,此時(shí)的車速約為90.從數(shù)值上看,每千米的耗油量就是圖中切線的斜率,即,約為 L. _ x _ x _ 60 _ 60 x x 例5.在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個(gè)無蓋的方底箱子,箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí),箱底的容積最大?最大容積是多少? 解法一:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm,則箱高cm,得箱子容積 . 令 =0,解得 x=0(舍去),x=40, 并求得V(40)=16 000 由題意可知,當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時(shí),箱子容積很小,因此,16 000是最大值 答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16 000cm3 解法二:設(shè)箱高為xcm,則箱底長(zhǎng)為(60-2x)cm,則得箱子容積 .(后面同解法一,略) 由題意可知,當(dāng)x過小或過大時(shí)箱子容積很小,所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處. 事實(shí)上,可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn),從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰,是單峰的,因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn),不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值 例6.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同,記為C(x),出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù),記為R(x),R(x)-C(x)稱為利潤(rùn)函數(shù),記為P(x)。 (1)、如果C(x)=,那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí),邊際最低?(邊際成本:生產(chǎn)規(guī)模增加一個(gè)單位時(shí)成本的增加量) (2)、如果C(x)=50x+10000,產(chǎn)品的單價(jià)P=100-0.01x,那么怎樣定價(jià),可使利潤(rùn)最大? 變式:已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為.求產(chǎn)量q為何值時(shí),利潤(rùn)L最大? 分析:利潤(rùn)L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格.由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式,再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn). 解:收入, 利潤(rùn) 令,即,求得唯一的極值點(diǎn) 答:產(chǎn)量為84時(shí),利潤(rùn)L最大 例7.一條水渠,斷面為等腰梯形,如圖所示,在確定斷面尺寸時(shí),希望在斷面ABCD的面積為定值S時(shí),使得濕周l=AB+BC+CD最小,這樣可使水流阻力小,滲透少,求此時(shí)的高h(yuǎn)和下底邊長(zhǎng)b. 解:由梯形面積公式,得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC,DE=h,BC=b ∴AD=h+b, ∴S= ① ∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=2+b ② 由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)= l′==0,∴h=, 當(dāng)h<時(shí),l′<0,h>時(shí),l′>0. ∴h=時(shí),l取最小值,此時(shí)b= 例8.已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上,另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y =4-x2在x軸上方的曲線上,求這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng). 【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為(x,y),且x >0,y >0, 則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為(-x,y), 在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為(-x,0)、(x,0),其中0< x <2. 設(shè)矩形的面積為S,則S =2 x(4-x2),0< x <2. 由S′(x)=8-6 x2=0,得x =,易知 x =是S在(0,2)上的極值點(diǎn), 即是最大值點(diǎn), 所以這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)為和. 【點(diǎn)評(píng)】 應(yīng)用題求解,要正確寫出目標(biāo)函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件.應(yīng)用題的分析中如確定有最小值,且極小值唯一,即可確定極小值就是最小值. 練習(xí):1:一書店預(yù)計(jì)一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊(cè),欲分幾次訂貨,如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元,每千冊(cè)書存放一年要耗庫(kù)費(fèi)40元,并假設(shè)該書均勻投放市場(chǎng),問此書店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊(cè),可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少? 【解】假設(shè)每次進(jìn)書x千冊(cè),手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為y元, 由于該書均勻投放市場(chǎng),則平均庫(kù)存量為批量之半,即,故有 y =30+40,y′=-+20, 令y′=0,得x =15,且y″=,f″(15)>0, 所以當(dāng)x =15時(shí),y取得極小值,且極小值唯一, 故 當(dāng)x =15時(shí),y取得最小值,此時(shí)進(jìn)貨次數(shù)為=10(次). 即該書店分10次進(jìn)貨,每次進(jìn)15000冊(cè)書,所付手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少. 2:有甲、乙兩城,甲城位于一直線形河岸,乙城離岸40千米,乙城到岸的垂足與甲城相距50千米,兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水,從水廠到甲城和乙城的水管費(fèi)用分別為每千米500元和700元,問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處,才能使水管費(fèi)用最??? 【解】設(shè)水廠D點(diǎn)與乙城到岸的垂足B點(diǎn)之間的距離為x千米,總費(fèi)用為y元, 則CD =. y =500(50-x)+700 =25000-500 x +700, y′=-500+700 (x 2+1600) 2 x =-500+, 令y′=0,解得x =. 答:水廠距甲距離為50-千米時(shí),總費(fèi)用最?。? 【點(diǎn)評(píng)】 當(dāng)要求的最大(小)值的變量y與幾個(gè)變量相關(guān)時(shí),我們總是先設(shè)幾個(gè)變量中的一個(gè)為x,然后再根據(jù)條件x來表示其他變量,并寫出y的函數(shù)表達(dá)式f(x).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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