蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件向量的概念及表.ppt

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1．了解向量的實際背景． 2．理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義． 3．理解向量的幾何表示． 4．掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義． 5．掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義． 6．了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義．,第四知識塊 平面向量,第1課時 向量的概念及表示、向量的線性運算,本部分知識是平面向量的基礎(chǔ)知識，考查的知識點主要有向量的有關(guān)概念、 運算法則，向量共線的條件和基本定理，多以填空題的形式出現(xiàn)，屬于簡單題型．,【命題預(yù)測】,【應(yīng)試對策】,1．平面向量內(nèi)容豐富，用途廣泛，可以與高中數(shù)學(xué)的各個知識點相結(jié)合，高考命題時非常重視向量的知識與其他知識的綜合應(yīng)用，而且常出常新．由于零向量的方向是任意的，而且規(guī)定零向量平行于任何向量，因此在向量的共線中，一定要看清是否是“非零向量”．與向量a同向的單位向量為 ，與向量a平行的單位向量為 .,2．由向量相等的定義可知，對于一個向量，只要不改變它的大小與方向，它是可以任意平移的，因此，用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點．運用向量加法平行四邊形法則時，兩向量的起點必須相同，向量加法的三角形法則要首尾相接，可以推廣到多個向量相加的情形．向量的化簡計算中，要充分利用向量的首尾字母． 3．注意向量共線與直線共線的區(qū)別：平行向量不一定都共線，但是所有的平行向量都可以平移到同一條直線上；所有共線的向量，方向要么相同要么相反，所以共線的向量都是平行向量．而兩直線共線是指兩直線重合． 判斷或證明A、B、C三點共線時，只需判斷或證明以A、B、C三點為起點或終點組成的任意兩個向量a，b滿足b＝λa即可(其中λ為實數(shù))． 數(shù)乘向量是刻畫平行向量性質(zhì)的運算，通過向量共線的條件可證向量共線以及多點共線問題，這是十分重要的技能，要注意兩向量平行與直線平行的區(qū)別,兩向量平行包括兩向量所在直線重合的情況．,1．用向量共線定理可以證明幾何中的三點共線和直線平行問題，但是向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況．也就是說，要證明三點共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式b＝λa，再結(jié)合條件或圖形有無公共點證明幾何位置． 2．用基本向量表示某一向量的技巧． ①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形； ③運用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果．,【知識拓展】,1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量 的大小叫做向量 的 (或模)，記作 . (2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的． (3)單位向量：長度等于 的向量叫做單位向量．,大小,方向,長度,長度為0,任意,1個單位長度,(4)平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量．平行向量又稱 為 ，任一組平行向量都可以移到同一直線上． 規(guī)定：0與任一向量 ． (5)相等向量：長度 且方向 的向量叫做相等向量． (6)相反向量：與向量a長度 且方向 的向量叫做a的相反向量． 規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量．,共線向量,相同,相反,非零,平行,相等,相同,相等,相反,2．向量的加法和減法 (1)加法：①法則：服從三角形法則，平行四邊形法則． ②運算性質(zhì)：a＋b＝ (交換律)； (a＋b)＋c＝ (結(jié)合律)；a＋0＝ ＝ . (2)減法：①減法與加法互為逆運算；②法則：服從三角形法則．,b＋a,a＋(b＋c),0＋a,a,3．實數(shù)與向量的積 (1)長度與方向規(guī)定如下： ①|(zhì)λa|＝ ； ②當(dāng) 時，λa與a的方向相同；當(dāng) 時，λa與a的方向相反； 當(dāng)λ＝0時，λa＝ ，方向任意． (2)運算律：設(shè)λ、μ∈R，則：①λ(μa)＝ ； ②(λ＋μ)a＝ ；③λ(a＋b)＝ .,|λ||a|,λ0,λ0,0,(λμ)a,λa＋μa,λa＋λb,4．向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是 .,有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa,1．如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分別為AD、BC的中點，則圖中與 共線的向量有________個． 解析：方向相同和方向相反的向量就是共線向量， 所以 均與向量 共線． 答案：5,2．如圖所示，△ABC和△A′B′C′是在各邊的 處相交的 兩個全等的正三角形．設(shè)正△ABC的邊長為a，圖中列出了 長度均為 的若干個向量，則(1)與向量 相等的 向量是________；(2)與向量 共線的向量有________． 答案：(1) (2),已知正方形ABCD邊長為1， 則a＋b＋c的模等于________． 解析：|a＋b＋c|＝|c＋c|＝2|c|＝2 ＝2 . 答案：2,3．,4．已知一點O到平行四邊形ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別為a、b、c，則向量 等于________． 解析：如圖，點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別為a，b，c.綜合圖形有 =a+c-b. 答案：a+c-b,在?ABCD中， ，M為BC中點， 則 ＝________(用a、b表示)． 解析：解法一：如圖， = 解法二：設(shè)AC交BD于O，由于N為AC的 處分點，則有N為OC中點， 答案：,5．,我們把具有大小和方向的量叫做向量，更具體一些，向量可以理解為“一個位移”或表達(dá)“一個點相對于另一點的位置”的量．有些向量不僅有大小和方向，而且還有作用點．例如，力就是既有大小，又有方向，并且還有作用點的向量．有些向量只有大小與方向，而無特定的位置．例如：位移、速度等．通常將后一種向量叫做自由向量．以后無特殊說明，我們所提到的向量，都是自由向量，即我們高中階段所研究的向量只有大小、方向兩個要素，如果兩個向量的大小、方向都相同，則說這兩個向量相等．,【例1】 給出下列六個命題： ①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若|a|＝|b|，則a＝b； ③若 ，則ABCD為平行四邊形;④在?ABCD中，一定有 ⑤若m＝n，n＝p，則m＝p；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.其中不正確的個數(shù)是________． 思路點撥：正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵．注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可．,解析： ①兩個向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；不一定有相同的起點和終點，所以①不正確； |a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等，故②不正確；因為 可能有A、B、C、D在同一直線上，所以③不正確；零向量與任一非零向量都平行，當(dāng)b＝0時，a與c不一定平 行，故⑥不正確． 答案：4,變式1：下面命題：①平行向量的方向一定相同；②共線向量一定相等；③相等向量一定共線，不相等的向量一定不共線；④ 是兩平行向量；⑤兩向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點也相同．其中正確命題為________________．(只寫上正確命題的序號即可),解析：①平行向量的方向不一定相同．平行向量是以方向這一要素定義的，它有方向相同和方向相反兩種不同情況．②不一定．共線向量就是平行向量，只要保證方向相同或相反，它們就共線，與模的大小無關(guān)．③相等必共線，共線未必相等，不相等的可以是不共線的，也可以是共線的，故不正確．④∵ 是相反向量，故為平行向量，正確．⑤由平移概念知，向量可自由平移到任一位置，而方向大小不變，故不正確．,答案：④,1．用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理． 2．在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．,【例2】 如右圖所示， 若ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中點，已知 ，試用a、b、c表示 思路點撥：結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活運用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減運算的關(guān)鍵．,解： ∵ ∴ = =a-2b-c.,,變式2：在△OAB中，延長BA到C，使AC＝BA，在OB上取點D，使DB＝ OB.DC與OA交于E，設(shè) ，用a，b表示向量 解：因為A是BC的中點，所以 ＝ 2a－b. ＝2a－b；,向量共線定理為解決三點共線和兩直線平行問題提供了一種方法，要證三點共線或兩直線平行，主要是看能否找到唯一的實數(shù)λ使兩向量相等．把向量平行的問題轉(zhuǎn)化為尋求實數(shù)λ使向量相等的問題．,【例3】 已知非零向量e1和e2不共線． 如果 ， 求證：A、B、D三點共線； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值．,思路點撥：（1） （2）,證明： （1） ＝e1＋e2， ＝ 2e1＋8e2＋3e1－3e2 ＝5(e1＋e2)＝5 ， ∴ 、 共線，又∵ 與 有公共點B. ∴A、B、D三點共線．,(2)解：∵ke1＋e2與e1＋ke2共線， ∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則(k－λ)e1＝(λk－1)e2. 由于e1與e2不共線，∴只能有 解得k＝1.,變式3：設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線． (1)如果 ＝e1－e2， ＝3e1＋2e2， ＝－8e1－2e2， 求證：A、C、D三點共線； (2)如果 ＝e1＋e2， ＝2e1－3e2， ＝2e1－ke2， 且A、C、D三點共線，求k的值．,(1)證明： ＝e1－e2， ＝3e1＋2e2， ＝－8e1－2e2， ＝4e1＋e2 ＝－ (－8e1－2e2)＝－ ， ∴ 與 共線，又∵ 與 公共點C.∴A、C、D三點共線． (2)解： ＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三點共線， ∴ 與 共線，從而存在實數(shù)λ使得 ＝λ ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)， 由平面向量的基本定理，得 ，解之得,【規(guī)律方法總結(jié)】,1．向量不同于數(shù)量．向量既有大小，又有方向．向量的模可以比較大小，但向量不能比較大?。?2．向量的加減法實質(zhì)上是向量的平移，實數(shù)乘向量實質(zhì)是向量的伸縮． 3．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有“形”的量，因此在研究向量的有關(guān)問題時，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧． 4．向量共線的充要條件常用來解決三點共線和兩直線平行問題． 5．關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運算公式、法則在向量范圍內(nèi)并不完全適用，要防止負(fù)遷移.,【例4】 考查下面四個命題：①0a＝0；②0a＝0；③0 － ＝ ； ④|ab|＝|a||b|，正確的個數(shù)為________．,【答題實錄】,【錯因分析】,①根據(jù)向量數(shù)量積的概念，0a應(yīng)是一個實數(shù)0，而不能是一個向量；②根據(jù)實數(shù)與向量的定義，0a應(yīng)是一個向量，它的模等于0，方向是任意的；③正確．④由數(shù)量積定義知|ab|＝|a||bcos θ|＝|a||b||cos θ|，只有θ＝0或π時才成立．,【正確答案】,正確：由以上分析可知正確答案填1.,1．如題圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若 ， 則m＋n的值為________．,解析：解法一：如圖所示，作OD∥AC，DE∥MN， ∵ 又∵ = =1， ∴m+n=2.,解法二：取特殊情況，MN與BC重合?m+n=1+1=2. 答案：2,2．如圖所示，在四面體O－ABC中， ，D為BC的中點，E為AD的中點，則 ＝________.(用a，b，c表示) 解析： ＝ 答案：,