蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件 雙曲線.ppt

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掌握雙曲線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)．,第7課時 雙曲線,【命題預(yù)測】,1．本講主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓方程，橢圓第一、二定義的綜合運用，橢圓中各量的計算，關(guān)于離心率e的題目為熱點問題，各種題型均有考查，屬中檔題． 2．考綱要求掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，所以，近幾年的高考試題一直在客觀題中考查定義、性質(zhì)的理解和運用，在解答題中考查軌跡問題和直線與橢圓的位置關(guān)系． 3．在解析幾何與向量的交匯處設(shè)計高考題，是近年來高考一個新的亮 點，主要考查：(1)將向量作為工具解答雙曲線問題；(2)以解析幾何為載體，將向量作為條件融入題設(shè)條件中．,【應(yīng)試對策】,,1．注意雙曲線中一些基本量及其關(guān)系：c2＝a2＋b2，e＝ ， ＝ ，兩準線間的距離為 ，焦點到相應(yīng)準線的距離為 ，焦點到一條漸近線的距離為b，過焦點且垂直于實軸的弦長稱為通徑，即通徑為 等，這些量及其關(guān)系不會因坐標軸選擇而改變．,2．求雙曲線的方程常用待定系數(shù)法，解題時應(yīng)注意先確定焦點位置，若焦點不確定，則應(yīng)分類討論．如不清楚焦點的位置，可設(shè)方程為ax2＋by2＝1(ab0)；若已知雙曲線的漸近線方程y＝ x，則設(shè)雙曲線方程為 － ＝λ(λ≠0，且λ為參數(shù))，從而避免討論和復(fù)雜的計算．,3．對雙曲線定義的理解，應(yīng)注意有關(guān)條件(2a|F1F2|)的限制，否則曲線不是雙曲線．解題時涉及雙曲線的焦點弦、焦半徑的問題，常從兩個定義入手解題．,【知識拓展】,1．雙曲線的焦半徑公式 設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，若P(x0，y0)是雙曲線上一 點．若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a，若P在左支上， |PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a.,2．雙曲線中的基本三角形 ①如圖所示，△AOB中|OA|＝a， |OB|＝c，|AB|＝b，tan∠AOB＝ ，e＝ ②焦點三角形△F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，則S△F1PF2＝ b2cot .,1．雙曲線的定義 平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù)) 的點的軌跡叫做 ，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的 ，兩焦點間的距離叫做雙曲線的 .,雙曲線,焦點,焦距,2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì),,,頂點,,,等長,,,探究：雙曲線的離心率的大小與雙曲線“開口”大小有怎樣的 關(guān)系？ 提示：離心率越大，雙曲線的“開口”越大．,1．已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)、(4,0)，則雙曲線 方程為________________． 解析：由題知c＝4，且 ＝2，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，∴雙 曲線方程為 － ＝1. 答案： － ＝1,且PF1∶PF2＝1∶3，則△F1PF2的周長等于________． 解析：本題考查雙曲線的方程及定義等知識．由題意，a＝3，b ＝4，∴c＝5，根據(jù)題意，點P在靠近焦點F1的那支上，且PF2＝3PF1，所 以由雙曲線的定義，PF2－PF1＝2PF1＝2a＝6， ∴PF1＝3，PF2＝9，故△F1PF2的周長等于3＋9＋10＝22. 答案：22,2．設(shè)點P在雙曲線 － ＝1上，若F1、F2為此雙曲線的兩個焦點，,3．雙曲線的漸近線方程為y＝ x，則雙曲線的離心率為________． 解析：∵雙曲線的漸近線方程為y＝ x，∴ ＝ 或 ＝ . 當 ＝ 時， ＝ ，∴e＝ ＝ ；當 ＝ 時， ＝ ， ∴ e＝ ＝ . 答案：,4．若雙曲線 ＝1的漸近線方程為y＝ ，則雙曲線的焦點坐標是 ________． 解析：由雙曲線方程得出其漸近線方程為y＝ ，∴m＝3，求得雙曲線方 程為： ＝1， 從而得到焦點坐標為(－ ，0)，( ，0)． 答案：(－ ，0)，( ，0),5．雙曲線的焦距是兩準線間距離的4倍，則此雙曲線的離心率等于________． 解析：∵2c＝4 ，∴c2＝4a2.∴e2＝ ＝4，e＝2. 答案：2,【例1】 在△MNG中，已知NG＝4.當動點M滿足條件sin G－sin N＝ sin M 時，求動點M的軌跡方程．,求雙曲線的標準方程要確定焦點所在的坐標軸以及a2和b2的值，其常用的方法是待定系數(shù)法．,思路點撥：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，利用正弦定理把sin G－sin N＝ sin M轉(zhuǎn)化成邊長之間的關(guān)系，并由此關(guān)系確定軌跡方程．,解：以NG所在的直線為x軸，以線段NG的垂直平分線為y 軸建立直角坐標系．∵sin G-sin N= ∴由正弦定理，得MN-MG= ∴由雙曲線的定義知，點M的軌跡是以N、G為焦點的雙曲線的右支(除去與x軸的交點)．∴2c=4,2a=2，即c=2，a=1.∴b2=c2-a2=3.∴動點M的軌跡方程為x2 － =1(x0，且y≠0)．,,變式1：已知定點A(3,0)和定圓C：(x＋3)2＋y2＝16，動圓和圓C相外 切，并且過點A，求動圓圓心P的軌跡方程． 解：設(shè)P的坐標為(x，y)．∵圓C與圓P外切且過點A，∴PC－ PA＝4.∵AC＝64， ∴點P的軌跡是以C、A為焦點，2a＝4的雙曲線的右支．∵a＝ 2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5. ∴ ＝1(x0)為動圓圓心P的軌跡方程．,1．雙曲線的性質(zhì)的實質(zhì)是圍繞雙曲線中的“六點”(兩個焦點、兩個頂點、兩個虛軸的端點)，“四線”(兩條對稱軸、兩條漸近線)，“兩形”(中心、焦點以及虛軸端點構(gòu)成的三角形、雙曲線上一點和兩焦點構(gòu)成的三角形)研究它們之間的相互聯(lián)系．,時要熟練掌握以下三方面內(nèi)容：(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線．(2)求已知漸近線的雙曲線的方程．(3)漸近線的斜率與離心率的關(guān)系．如,2．在雙曲線的性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程．同,【例2】 中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2， 且F1F2＝2，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線的方程； (2)若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值． 思路點撥：,解：(1)由已知：c＝ 設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線實半軸、虛半 軸長分別為m、n，則 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴橢圓方程為 雙曲線方程為 (2)不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左，右焦點，P是第一象限的一個交點， 則PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，所以PF1＝10，PF2＝4. 又F1F2＝ ，,變式2：已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為且過點(4，－ )． (1)求雙曲線的標準方程； (2)直線x＝3與雙曲線交于M、N 兩點，求證：F1M⊥F2M. 解：(1)e＝ ，則 ＝2，∴a＝b.故可設(shè)雙曲線的方程為x2－y2＝ λ(λ≠0)．,由于雙曲線過點(4，－ )，∴42－(－ )2＝λ.∴λ＝6. ∴雙曲線方程為x2－y2＝6.,(2) 證明：由(1)可得,【規(guī)律方法總結(jié)】,1．求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標準方程的應(yīng)用和圓有關(guān)問題都是類似的． 2．當涉及到雙曲線上點到焦點或到準線的距離時，要注意雙曲線是兩條曲線，點有可能在其中的一支上． 3．在已知雙曲線上一點P與兩個焦點F1、F2構(gòu)成的△PF1F2中，||PF1|－ |PF2||＝2a，F(xiàn)1F2＝2c，再給出一個條件時，焦點△PF1F2可解.,,,【高考真題】,【例3】 (2009湖南卷),已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為________．,分析：根據(jù)四邊形的特征，尋找a，c之間的關(guān)系，注意雙曲線中a，b，c的關(guān)系．,規(guī)范解答：設(shè)雙曲線方程為 如右圖所示，由于在雙曲線中cb，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2=30，所以 所以 所以a= 答案：,本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，在題目給出的四邊形中隱含著對內(nèi)角等于60的選擇 ，以此檢測考生對雙曲線幾何性質(zhì)的掌握程度，是一道有較好區(qū)分度的試題．,【全解密】,【命題探究】,【知識鏈接】,,雙曲線,(a0，b0)中有三類特殊點：焦點(c,0)，,頂點(a,0)，虛軸的兩個端點(0，b)．,雙曲線中c2＝a2＋b2，說明雙曲線中c最大，解決雙曲線問題時不 要忽視了這個問題，如本題就是根據(jù)這個關(guān)系得出只有∠OF1B2＝30的結(jié)論．記不要和橢圓中a，b，c的關(guān)系相混淆.,求雙曲線的離心率的關(guān)鍵就是找出雙曲線中a，c的關(guān)系，在 用幾何圖形給出的問題中要善于利用幾何圖形的性質(zhì)分析解決．,【方法探究】,【誤點警示】,1．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線,的左、右兩焦點，,過F2作垂直于x軸的直線，在第一象限交雙曲線于點P，若∠PF1F2＝30，求雙曲線的漸近線方程．,分析：采用數(shù)形結(jié)合思想，知道點P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2a，從“過F2作垂直于x軸的直線，在第一象限交雙曲線于點P”可知PF2⊥F1F2，再利用直角三角形求解．,解：如圖，由雙曲線定義可知 |PF1|－|PF2|=2a，①∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30， ∴|PF1|＝2|PF2|.②|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF2|2＋(2c)2.③ 由①②可得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，代入③，可得3a2＝c2.④ 又c2＝a2＋b2，⑤由④⑤得2a2＝b2.∴ ∴雙曲線的漸近線方程為y＝,2．雙曲線 (a1，b0)的焦距為2c ，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0) 到直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥ 求雙曲線的離心率e的取 值范圍．,分析：首先求出s，將不等式s≥ 轉(zhuǎn)化為a、b、c的關(guān)系，將b用a、c表示，再由e＝ 即可化為e的關(guān)系式，進而求出e的范圍．,解：直線l的方程為 即bx＋ay－ab＝0.由點到直線的距離公式且a1，得到點(1,0)到直線l的距離d1＝ 同理得到點(－1,0)到直線l的距離d2＝ ∴s＝d1＋d2＝ 由s≥ 即5a ≥2c2.于是得5 ≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得 e2≤5.由于e1， ∴e的取值范圍是,