考研數(shù)學(xué)-概率論筆記

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最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息概率論基礎(chǔ)知識第一章 隨機(jī)事件及 其概率一 隨機(jī)事件§1 幾個概念1、隨機(jī)實(shí)驗(yàn):滿足下列三個條件的試驗(yàn)稱為 隨機(jī)試驗(yàn) ；（1）試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，且所有可能結(jié)果是已知的；（3）每次試驗(yàn)?zāi)膫€結(jié)果出現(xiàn)是未知的；隨機(jī)試驗(yàn)以后簡稱為試驗(yàn)，并常記為 E。例如：E 1：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)；E 2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；E3：觀察某電話交換臺在某段時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。2、隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為 隨機(jī)事件 ：常記為 A，B，C……例如，在 E1 中，A 表示“ 擲出 2 點(diǎn)” ，B 表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”均為隨機(jī)事件。3、必然事件與不可能事件：每次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱為 必然事件 ，記為 Ω。每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的事情稱為 不可能事件 ，記為 Φ。例如，在 E1 中， “擲出不大于 6 點(diǎn)”的事件便是必然事件，而“擲出大于 6 點(diǎn)”的事件便是不可能事件,以后，隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為 事件 。4、基本事件：試驗(yàn)中直接觀察到的最簡單的結(jié)果稱為 基本事件 。例如，在 E1 中， “擲出 1 點(diǎn)” ， “擲出 2 點(diǎn)” ，……， “擲出 6 點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件。由基本事件構(gòu)成的事件稱為 復(fù)合事件 ，例如，在 E1 中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。5、樣本空間：從集合觀點(diǎn)看，稱構(gòu)成基本事件的元素為 樣本點(diǎn) ，常記為 e.例如，在 E1 中，用數(shù)字 1，2，……，6 表示擲出的點(diǎn)數(shù)，而由它們分別構(gòu)成的單點(diǎn)集{1}，{2} ，…{6}便是 E1 中的基本事件。在 E2 中，用 H 表示正面，T 表示反面，此試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有（H，H） ，（H，T） ， （T ， H） ， （T ，T） ，其基本事件便是{（H，H ）} ，{（H，T）} ，{（T，H）} ，{（T，T）}顯然，任何事件均為某些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。例如， 在 E1 中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”的事件便可表為{2，4，6} 。試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為樣本空間。記為 Ω。例如，在 E1 中，Ω={1，2，3，4，5，6}在 E2 中，Ω={（H，H） ， （H，T） ， （T，H） ， （T，T）}在 E3 中，Ω={0，1，2，……}最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息例 1，一條新建鐵路共 10 個車站，從它們所有車票中任取一張，觀察取得車票的票種。此試驗(yàn)樣本空間所有樣本點(diǎn)的個數(shù)為 NΩ =P 210=90.（排列：和順序有關(guān)，如北京至天津、天津至北京）若觀察的是取得車票的票價，則該試驗(yàn)樣本空間中所有樣本點(diǎn)的個數(shù)為(組合)例 2．隨機(jī)地將 15 名新生平均分配到三個班級中去，觀察 15 名新生分配的情況。此試驗(yàn)的樣本空間所有樣本點(diǎn)的個數(shù)為第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列§2 事件間的關(guān)系與運(yùn)算 1、包含:“若事件 A 的發(fā)生必導(dǎo)致事件 B 發(fā)生，則稱事件 B 包含事件 A，記為 A B 或 B A。 例如，在 E1 中，令 A 表示“ 擲出 2 點(diǎn)”的事件，即 A={2}B 表示“擲出偶數(shù)”的事件，即 B={2，4， 6}則 2、相等：若 A B 且 B A，則稱事件 A 等于事件 B，記為 A=B例如，從一付 52 張的撲克牌中任取 4 張，令 A 表示“取得到少有 3 張紅桃”的事件；B 表示“取得至多有一張不是紅桃 ”的事件。顯然 A=B3、和：稱事件 A 與事件 B 至少有一個發(fā)生的事件為 A 與 B 的和事件簡稱為和，記為 A B，或 A+B例如，甲，乙兩人向目標(biāo)射擊，令 A 表示“甲擊中目標(biāo)”的事件，B 表示“乙擊中目標(biāo)”的事件，則 AUB 表示“目標(biāo)被擊中”的事件。推廣： 有限個 無窮可列個 4、積：稱事件 A 與事件 B 同時發(fā)生的事件為 A 與 B 的積事件，簡稱為積，記為 A B 或 AB。例如，在 E3 中，即觀察某電話交換臺在某時刻接到的呼喚次數(shù)中，令 A={接到偶數(shù)次呼喚} ，B={ 接到奇數(shù)次呼喚}，則 A B={接到 6 的倍數(shù)次呼喚}推廣：最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息任意有限個無窮可列個5、差：稱事件 A 發(fā)生但事件 B 不發(fā)生的事件為 A 減 B 的差事件簡稱為差，記為 A-B。例如，測量晶體管的 β 參數(shù)值，令 A={測得 β 值不超過 50}，B=｛測得β 值不超過 100｝ ，則，A-B=φ，B-A=｛測得 β 值為 50﹤β≤100｝6、互不相容：若事件 A 與事件 B 不能同時發(fā)生，即 AB=φ，則稱 A 與 B 是互不相容的。例如，觀察某定義通路口在某時刻的紅綠燈：若 A={紅燈亮}，B={綠燈亮} ，則 A 與 B 便是互不相容的。7、對立：稱事件 A 不發(fā)生的事件為 A 的對立事件，記為 顯然 ，A∩ =φ例如，從有 3 個次品，7 個正品的 10 個產(chǎn)品中任取 3 個，若令 A={取得的 3 個產(chǎn)品中至少有一個次品}，則 ={取得的 3 個產(chǎn)品均為正品}?！? 事件的運(yùn)算規(guī)律 1、交換律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A2、結(jié)合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） ；（A ∩B）∩C=A∩（B∩C ）3、分配律 A∩（B∪C）= （A∩B）∪（A∩C） ， A∪（B ∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）4、對偶律 此外，還有一些常用性質(zhì)，如A∪ B A，A∪B B（越求和越大） ；A∩B A，A ∩B B（越求積越?。?。若 A B，則 A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 等等。例 3，從一批產(chǎn)品中每次取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，令 Ai={第 i 次取得合格品},i=1,2,3,試用事件的運(yùn)算符號表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有兩次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝解：Ａ＝Ａ １ Ａ ２ Ａ ３ 表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表為或 例 4，一名射手連續(xù)向某一目標(biāo)射擊三次，令Ａ i={第 i 次射擊擊中目標(biāo)} , i=1,2,3，試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺伦钚孪螺d(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息件：解： A1A2A3={三次射擊都擊中目標(biāo) }A3-A2={第三次擊中目標(biāo)但第二次未擊中目標(biāo)}例 5，下圖所示的電路中，以 A 表示“信號燈亮”這一事件，以 B,C,D 分別表示繼電器接點(diǎn)，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，閉合，試寫出事件 A,B,C,D 之間的關(guān)系。 解，不難看出有如下一些關(guān)系： 二 事件 的概率§1 概率的定義所謂事件 A 的概率是指事件 A 發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為 P（A ） 。規(guī)定 P(A)≥0，P（Ω）=1。1、古典概型中概率的定義古典概型：滿足下列兩條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型。（1）所有基本事件是有限個； （2）各基本事件發(fā)生的可能性相同；例如：擲一勻稱的骰子，令 A={擲出 2 點(diǎn)}={2}，B={擲出偶數(shù)總}={2，4，6}。此試驗(yàn)樣本空間為Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，應(yīng)有 1=P（Ω）=6P（A） ，即 P（A ）=。而 P（B）=3P （ A）=定義 1：在古典概型中，設(shè)其樣本空間 Ω 所含的樣本點(diǎn)總數(shù)，即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為 NΩ 而事件 A所含的樣本數(shù)，即有利于事件 A 發(fā)生的基本事件數(shù)為 NA，則事件 A 的概率便定義為：例 1，將一枚質(zhì)地均勻的硬幣一拋三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用 H 表示正面，T 表示反面，則該試驗(yàn)的樣本空間Ω={（H，H，H ） （H，H，T ） （H，T，H） （T，H，H） （H，T，T） （T ，H，T） （T ，T，H） （T ，T，T ）} 。可見 NΩ =8 令 A={恰有一次出現(xiàn)正面 }，則 A={（H，T，T） （T，H ，T） （T，T，H）}可見，令 NA=3 故最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息例 2， （取球問題）袋中有 5 個白球，3 個黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。（1）有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后放回袋中，再取下一個球；（2）無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋中，再取下一個球；（3）一次取球：從袋中任取 3 個球。 在以上三種取法中均求 A={恰好取得 2 個白球 }的概率。解：（1）有放回取球 NΩ =8×8×8=83=512 (袋中八個球，不論什么顏色，取到每個球的概率相等)（先從三個球里取兩個白球，第一次取白球有五種情況，第二次取白球還有五種情況，第三次取黑球只有三種情況）（2）無放回取球 故 （3）一次取球故 屬于取球問題的一個實(shí)例：設(shè)有 100 件產(chǎn)品，其中有 5%的次品，今從中隨機(jī)抽取 15 件，則其中恰有 2 件次品的概率便為（屬于一次取球模型）例 3（分球問題）將 n 個球放入 N 個盒子中去，試求恰有 n 個盒子各有一球的概率（n≤N ） 。解： 令 A={恰有 n 個盒子各有一球}，先考慮基本事件的總數(shù)先從 N 個盒子里選 n 個盒子，然后在 n 個盒子里 n 個球全排列故屬于分球問題的一個實(shí)例：全班有 40 名同學(xué)，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令 A={40 個同學(xué)生日皆不相同}，則有(可以認(rèn)為有 365 個盒子，40 個球)故 例 4（取數(shù)問題）從 0，1，……,9 共十個數(shù)字中隨機(jī)的不放回的接連取四個數(shù)字，并按其出現(xiàn)的先后排成一列，求下列事件的概率：（1） 四個數(shù)排成一個偶數(shù)；（2） 四個數(shù)排成一個四位數(shù)；（3） 四個數(shù)排成一個四最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息位偶數(shù)；解：令 A={四個數(shù)排成一個偶數(shù)}，B={四個數(shù)排成一個四位數(shù)} ，C={四個數(shù)排成一個四位偶數(shù)}，，例 5（分組問題）將一幅 52 張的樸克牌平均地分給四個人，分別求有人手里分得 13 張黑桃及有人手里有 4 張 A 牌的概率各為多少？解：令 A={有人手里有 13 張黑桃}，B={有人手里有 4 張 A 牌}于是 ，故不難證明，古典概型中所定義的概率有以下三條基本性質(zhì)：1° P（A）≥ 0 2° P（Ω）=13° 若 A1，A 2，……，A n 兩兩互不相容，則2、概率的統(tǒng)計(jì)定義 頻率：在 n 次重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件 A 出現(xiàn)了 nA 次，則稱： 為事件 A 的頻率。頻率具有一定的穩(wěn)定性。示例見下例表 試驗(yàn)者 拋硬幣次數(shù) n 正面（A）出現(xiàn)次數(shù) nA 正面（A）出現(xiàn)的 頻率德·摩爾根 2048 1061 0．5180浦豐 4040 2148 0．5069皮爾遜 12000 6019 0．5016皮爾遜 24000 12012 0．5005維尼 30000 14994 0．4998定義 2：在相同條件下，將試驗(yàn)重復(fù) n 次，如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù) n 的增大，事件 A 的頻率 fn(A)越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 附近擺動，則稱常數(shù) p 為事件 A 的概率，即 P（A）=p不難證明頻率有以下基本性質(zhì)：1° 2° 最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息3° 若 A1，A 2，……，兩兩互不相容，則3、概率的公理化定義 （數(shù)學(xué)定義）定義 3：設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為 Ω，對其中每個事件 A 定義一個實(shí)數(shù) P（A） ，如果它滿足下列三條公理：1° P（A） ≥ 0（非負(fù)性） 2° P（Ω）=1（規(guī)范性）3° 若 A1，A 2，……，A n……兩兩互不相容，則（可列可加性，簡稱可加性） 則稱 P（A）為 A 的概率 4、幾何定義定義 4：假設(shè) Ω 是 Rn(n=1,2,3)中任何一個可度量的區(qū)域，從 Ω 中隨機(jī)地選擇一點(diǎn)，即 Ω 中任何一點(diǎn)都有同樣的機(jī)會被選到，則相應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間就是 Ω，假設(shè)事件 A 是 Ω 中任何一個可度量的子集，則P(A)==ū(A)/ ū(Ω)§2 概率的性質(zhì) 性質(zhì) 1：若 A B, 則 P(B-A)=P(B)-P(A) ——差的概率等于概率之差證： 因?yàn)椋篈 B 所以：B=A∪(B-A)且 A∩(B-A)=φ,由概率可加性 得 P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A） =P（B）-P （A） 性質(zhì) 2：若 A B， 則 P（A）≤P（B） ——概率的單調(diào)性證：由性質(zhì) 1 及概率的非負(fù)性得 0≤P（B-A）=P（B ）-P（A ） ，即 P（A ）≤P（B ） 性質(zhì) 3：P（A）≤1 證明：由于 A Ω，由性質(zhì) 2 及概率的規(guī)范性可得 P（A）≤1 性質(zhì) 4：對任意事件 A，P（ ）=1-P（A） 證明：在性質(zhì) 1 中令 B=Ω 便有 P（ ）=P（Ω-A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A）性質(zhì) 5：P（φ）=0 證：在性質(zhì) 4 中，令 A=Ω，便有 P（φ）=P （ ）=1-P（Ω）=1-1=0性質(zhì) 6 （加法公式）對任意事件 A，B，有 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）證：由于 A∪B=A∪（B-AB）且 A∩（B-AB）=φ（見圖）由概率的可加性及性質(zhì) 1 便得P（A∪B） =P[A∪（B-AB）]=P（A）+P（B-AB）最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息=P（A）+P（B）-P（AB）推廣: P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）例 6 設(shè) 10 個產(chǎn)品中有 3 個是次品，今從中任取 3 個，試求取出產(chǎn)品中至少有一個是次品的概率。解：令 C={取出產(chǎn)品中至少有一個是次品} ，則 ={取出產(chǎn)品中皆為正品}，于是由性質(zhì) 4 得例 7，甲，乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為 0.4 和 0.35，而同時下雨的概率為 0.15，問在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個城市下雨的概率。解：令 A={甲城下雨}，B={乙城下雨} ，按題意所要求的是P（A∪B）=P （A）+P（B）—P（AB ）=0.4+0.35-0.15=0.6例 8．設(shè) A,B,C 為三個事件，已知 P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求 A,B,C 至少有一個發(fā)生的概率。 于是所求的概率為 三 條件概率§1 條件概率的概念及計(jì)算 在已知事件 B 發(fā)生條件下，事件 A 發(fā)生的概率稱為事件 A 的條件概率，記為 P（A/B） 。條件概率P（A/B）與無條件概率 P（A）通常是不相等的。例 1：某一工廠有職工 500 人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為 40 人和 10 人，即該工廠職工人員結(jié)構(gòu)如下：人數(shù) 男 女 總和非熟練工人 40 10 50其他職工 210 240 450總和 250 250 500現(xiàn)從該廠中任選一職工，令 A= {選出的職工為非熟練工人}，B= {選出的職工為女職工}顯然， ；而 ，最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息定義 1 設(shè) A、B 為兩事件，如果 P（B）>0，則稱 為在事件 B 發(fā)生的條件下，事件 A 的 條件概率 。同樣,如果 P（A） >0，則稱 為在事件 A 發(fā)生條件下，事件 B 的 條件概率 。條件概率的計(jì)算通常有兩種辦法：(1)由條件概率的 含義 計(jì)算（通常適用于古典概型） ， (2)由條件概率的 定義 計(jì)算。例 2：一盒子內(nèi)有 10 只晶體管，其中 4 只是壞的，6 只是好的，從中無放回地取二次晶管，每次取一只，當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時，向第二次取的也是好的晶體管的概率為多少？解： 令 A={第一次取的是好的晶體管}，B={第二次取的是好的晶體管}按條件概率的含義立即可得： 按條件概率的定義需先計(jì)算： ；于是例 3：某種集成電路使用到 2000 小時還能正常工作的概率為 0.94,使用到 3000 小時還能正常工作的概率為 0.87 .有一塊集成電路已工作了 2000 小時,向它還能再工作 1000 小時的概率為多大?解：令 A={集成電路能正常工作到 2000 小時}，B={集成電路能正常工作到 3000 小時}已知:：P(A)=0.94, P(B)=0.87 且 ，既有 AB=B 于是 P(AB)=P(B)=0.87按題意所要求的概率為：§2 關(guān)于條件概率的三個重要公式1.乘法公式定理 1: ，例 4:已知某產(chǎn)品的不合格品率為 4%,而合格品中有 75%的一級品,今從這批產(chǎn)品中任取一件,求取得的為一級的概率.解: 令 A= {任取一件產(chǎn)品為一級品}, B= {任取一件產(chǎn)品為合格品}，顯然 ，即有 AB=A 故P（AB） =P（A ） 。于是, 所要求的概率便為例 5:為了防止意外,在礦內(nèi)安裝兩個報(bào)警系統(tǒng) a 和 b,每個報(bào)警系統(tǒng)單獨(dú)使用時,系統(tǒng) a 有效的概率為 0.92,系統(tǒng) b 的有效概率為 0.93,而在系統(tǒng) a 失靈情況下,系統(tǒng) b 有效的概率為 0.85，試求：(1)當(dāng)發(fā)生意外時,兩個報(bào)警系統(tǒng)至少有一個有效的概率；(2)在系統(tǒng) b 失靈情況下 ,系統(tǒng) a 有效的概率.解: 令 A={系統(tǒng) a 有效} B={系統(tǒng) b 有效}已知 , ,對問題(1) ,所要求的概率為，其中 (見圖)最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息= =于是 對問題(2),所要求的概率為： =推廣：如果證:由于 所以上面等式右邊的諸條件概率均存在,且由乘法公式可得== …… （依此類推）=例 6：10 個考簽中有 4 個難簽,三個人參加抽簽(無放回) 甲先 ,乙次,丙最后,試問(1) 甲、乙、丙均抽得難簽的概率為多少? (2) 甲、乙、丙抽得難簽的概率各為多少?解: 令 A,B,C 分別表示甲、乙、丙抽得難簽的事件，對問題(1),所求的概率為：對問題(2), 甲抽得難簽的概率為：乙抽得難簽的概率為丙抽得難簽的概率為 其中 于是 2.全概率公式完備事件組 :如果一組事件 在每次試驗(yàn)中必發(fā)生且僅發(fā)生一個,即 則稱此事件組為該試驗(yàn)的一個完備事件組例如，在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，以下事件組均為完備事件組：① {1}，{2}， {3}，{4}，{5}，{6}； 最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息② {1，2，3}，{4，5 }， {6}； ③ Ａ ， （A 為試驗(yàn)中任意一事件） 定理 2： 設(shè) 為一完備事件組，且 ，則對于任意事件 A 有 證：由于且對于任意 ，于是由概率的可加性及乘法公式便得：例 7，某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對陣如下：根據(jù)以往資料可知，中國勝美國的概率為 0.4 ，中國勝日本的概率為 0.9，而日本勝美國的概率為 0.5，求中國得冠軍的概率。解：令 H= {日本勝美國}, ={美國勝日本}, A= {中國得冠軍}由全概率公式便得所求的概率為例 8， 盒中放有 12 個乒乓球，其中 9 個是新的，第一次比賽時，從盒中任取 3 個使用，用后放會盒中，第二次比賽時，再取 3 個使用，求第二次取出都是新球的概率解： 令 H ={第一次比賽時取出的 3 個球中有 i 個新球}i=0 ，1，2，3，A = {第二次比賽取出的 3 個球均為新球}于是,,,而,,, 由全概率公式便可得所求的概率=0.1463 貝葉斯公式 定理 3： 設(shè) H ,H ,…….H 為一完備事件組，且 又設(shè) A 為任意事件，且 P(A) >0，則有證：由乘法公式和全概率公式即可得到例 9：某種診斷癌癥的實(shí)驗(yàn)有如下效果：患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陽性的概率為 0.95，不患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陰的概率也為 0.95，并假定就診者中有 0.005 的人患有癌癥。已知某人做此實(shí)驗(yàn)反應(yīng)為陽性，問他是一個癌癥患者的概率是多少？解： 令 H={做實(shí)驗(yàn)的人為癌癥患者}， ={做實(shí)驗(yàn)的人不為癌癥患者} ，A={實(shí)驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陽性} ，{實(shí)驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陰性}，由貝葉斯公式可求得所要求的概率：先驗(yàn)概率最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息例 10：兩信息分別編碼為 X 和 Y 傳送出去，接收站接收時， X 被誤收作為 Y 的概率 0.02,而 Y 被誤作為 X 的概率為 0.01.信息 X 與 Y 傳送的頻繁程度之比為 2:1,若接收站收到的信息為 X，問原發(fā)信息也是X 的概率為多少?解：設(shè) H={原發(fā)信息為 X}由題意可知 由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為 例 11：設(shè)有一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，已知其中 的產(chǎn)品是由甲廠生產(chǎn)的，乙、丙兩廠的產(chǎn)品各占 ，已知甲，乙兩廠的次品率為 2%，丙廠的次品率為 4%，現(xiàn)從箱中任取一產(chǎn)品（ 1） 求所取得產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率；（2） 求所取得產(chǎn)品是次品的概率；（3） 已知所取得產(chǎn)品是次品，問他是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？解：令 分別表示所取得的產(chǎn)品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A={所取得的產(chǎn)品為次品}顯然 ， ， ， 對問題（1） ，由乘法公式可得所要求的概率：對問題（2） ，由全概率公式可得所要求的概率對問題（3） ，由貝葉斯公式可得所要求的概率四 獨(dú)立性§1 事件的獨(dú)立性 如果事件 B 的發(fā)生不影響事件 A 的概率，即 則稱事件 A 對事件 B 獨(dú)立。如果事件 A 的發(fā)生不影響事件 B 的概率，即 ， 則稱事件 B 對事件 A 獨(dú)立。不難證明，當(dāng) 時，上述兩個式子是等價的。事實(shí)上，如果 ，則有反之，如果 ，則有即 同樣可證 最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息總之 ， 可見事件獨(dú)立性是相互的。定義 1 設(shè) A， B 為兩個事件，如果 ，則稱事件 A 與事件 B 相互獨(dú)立。例 1,袋中有 3 個白球 2 個黑球，現(xiàn)從袋中（1）有放回；（2）無放回的取兩次球，每次取一球，令A(yù)={第一次取出的是白球} B={第二次取出的是白球} 問 A，B 是否獨(dú)立？解：（1）有放回取球情況，則有可見， ，可見 A，B 獨(dú)立。（2）無放回取球情況，則有可見， ，故 A，B 不獨(dú)立。 （實(shí)際上就是抓鬮模型）例 2,設(shè)有兩元件，按串聯(lián)和并聯(lián)方式構(gòu)成兩個系統(tǒng)Ⅰ，Ⅱ（見圖）每個元件的可靠性(即元件正常工作的概率)為 r(0500｝ Ｂ＝｛測得燈泡壽命不超過５０００（小時） ｝＝｛Ｘ≤５０００｝ 。 不具明顯數(shù)量性質(zhì)的試驗(yàn)也可以定義隨機(jī)變量表示試驗(yàn)中每個事件。例 4 將一枚硬幣上拋一次，觀察正，反面出現(xiàn)的情況。 試驗(yàn)的樣本空間 Ω＝｛Ｈ，Ｔ｝ ，Ｈ－正面，Ｔ－反面。 可定義隨機(jī)變量Ｘ表示上拋１次硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，即 于是，Ａ＝｛出現(xiàn)正 面｝＝｛Ｘ＝１｝ 。 用隨機(jī)變量表示事件常見形式有 等等（這里 X 為隨機(jī)變量，χ，χ 1，χ 2等為實(shí)數(shù)）§2 分布函數(shù) 定義 設(shè) X 為隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù) χ，則稱函數(shù) F（χ）=P{X≤χ} 為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)。 例 1 機(jī)房內(nèi)有兩臺設(shè)備，令 X 表示某時間內(nèi)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，并知 P{X=0}=0.5， P{X=1}=0.3，P{X=2}=0.2，求 X 的分布函數(shù) F（χ） 。 解：由于 X 的可能取值為 0，1，2 故應(yīng)分情況討論： （1） 當(dāng) χ2 時，F(xiàn)（χ）=P{X≤χ}=1 性質(zhì) 1。F（χ）是單調(diào)不減的，即對任意 χ 10 時， 于是當(dāng) 從而 總之 例 5 設(shè)電流 I 為隨機(jī)變量，它在 9（安培）~11（安培）之間均勻分布，若此電流通過 2 歐姆電阻， 求在此電阻上消耗功率 的概率密度解：W 的分布函數(shù)為兩邊求導(dǎo)，便得 W 的概率密度當(dāng) 因?yàn)?I~U[9,11],即其概率密度所以， 故第三章 二維隨機(jī)變量及其分布一、 二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布設(shè) Ω 為某實(shí)驗(yàn)的樣本空間，X 和 Y 是定義在 Ω 上的兩個隨機(jī)變量，則稱有序隨機(jī)變量對（X,Y ）為二維隨機(jī)變量 。 最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息比如，研究某地區(qū)人口的健康狀況可能取身高和體重兩個參數(shù)作為隨機(jī)變量；打靶彈著點(diǎn)選取橫縱坐標(biāo)?！?.1.1 聯(lián)合分布函數(shù) 定義 1：設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù) χ，y，稱二元函數(shù) F（χ,y）=P{X≤χ,Y≤y}為（X，Y）的分布函數(shù)或稱為 X 與 Y 的 聯(lián)合分布函數(shù) 。 幾何上，F(xiàn)（χ，y）表示（X，Y）落在平面直角坐標(biāo)系中以（χ,y）為頂點(diǎn)左下方的無窮矩形內(nèi)的概率（見圖） y （x,y）二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù) F（x,y）具有以下 四條基本性質(zhì) ： 0 x1°F(x,y)對每個自變量是單調(diào)不減的，即若 x10）， （σ2>0）,ρ(-10,此時條件概率 P{X≤x∣y-△y0 有 P{y-△y0，則稱下列一組條件概率 為在 Y=yj 條件下，X 的條件分布律. 同樣,對固定 i,若 P{X=xi}>0,則稱下列一組條件概率 為在 X=xi 條件下,Y 的條件分布律 不難看出,對數(shù)軸上子集 A 有 進(jìn)而有 最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息例 1 設(shè)(X,Y)的分布律為 試求在條件 X=2 下，Y 的條件分布律。解：首先求出邊緣分布律，見下表 Y X 1 2 3 4 1 0.1 0 0.1 0 0.2 2 0.3 0 0.1 0.2 0.6 3 0 0.2 0 0 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2 1 總之，在 X=2 條件，Y 的條件分布律為 Y 1 2 3 4 0 §3.4.3 條件概率密度 定義 3：設(shè)（X，Y）的概率密度為 f(x,y),fx(x)與 fY(y)分別為關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣概率密度。 為在 Y=y 條件下，X 的條件概率密度。 如果對固定的 x，f x(x)>0 則稱 為在 X=x 條件下，Y 的條件概率密度。 例 2：設(shè)（X，Y）的概率密度為 解：圖繪出使 f(x,y)>0 的區(qū)域 首先，求出邊緣概率密度，當(dāng)-1 E(X2)，即甲的平均中環(huán)數(shù)高于乙的平均中環(huán)數(shù)。年齡 18 19 20 21 ∑ 人數(shù) 5 15 15 5 40 x 18 19 20 21 p X1 8 9 10 P 0.3 0.1 0.6 最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息例 3：設(shè) ，求 E(X)解：由于 ，其分布律為 ，k=0,1,2…,所以例 4：一無線電臺發(fā)出呼喚信號被另一電臺收到的概率為 0.2，發(fā)方每隔 5 秒拍發(fā)一次呼喚信號，直到收到對方的回答信號為止，發(fā)出信號到收到回答信號之間需經(jīng) 16 秒鐘，求雙方取得聯(lián)系時，發(fā)方發(fā)出呼喚信號的平均數(shù)？解：令 X 表示雙方取得聯(lián)系時，發(fā)方發(fā)出呼喚信號的次數(shù)。X 的分布律為于是，雙方取得聯(lián)系時，發(fā)方發(fā)出的呼喚信號的平均數(shù)為由于 ,求導(dǎo)數(shù)將 x=0.8 代如上式，便得 將此結(jié)果代入原式便得： （次）§4.1.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望絕對收斂，則稱此積分為 X 的數(shù)學(xué)期望，記為 E(X)，即， 例 7：設(shè)風(fēng)速 V 是一個隨機(jī)變量，且 V~U[0,a]，又設(shè)飛機(jī)的機(jī)翼上所受的壓力 W 是風(fēng)速 V 的函數(shù)： 這里 a,k 均為已知正數(shù)。試求飛機(jī)機(jī)翼上所受的平均壓力 E(W)。W 的分布函數(shù)為 X 4 5 6 7 … n …P 0.2 0.8 0.2最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息兩邊求導(dǎo)，使得進(jìn)而便可求得 W 的數(shù)學(xué)期望由此運(yùn)算過程可以看到，不必求出 W 的概率密度 ?w(z)，而根據(jù) V 的概率密度 ?v(v)也可直接求出W 的數(shù)學(xué)期望值，即§4.1.3 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望值1.一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理 1：設(shè) X 為隨機(jī)變量，Y=g(X),(1)如果 X 為 離散型 隨機(jī)變量，其分布律為 ，且級數(shù) (2)如果 X 為 連續(xù)型 隨機(jī)變量，其概率密度為 ?(X)，且積分 絕對收斂，則有證略例 8：已知 X 的分布律為 求： 解： 例 9：設(shè) ，求 解： （令 m=k-2）例 10：設(shè) ，求 解：由于 X 的概率密度為 于是例 11：國際市場上每年對我國某種商品的需求量為一個隨機(jī)變量 X（單位：噸），且已知， 并已知每售出一噸此種商品，可以為國家掙得外匯 3 萬美元，但若售不出去，而屯售于倉庫，每年需花費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)每噸為一萬美元，問應(yīng)組織多少貨源可使國家的平均收益達(dá)到最大？X -1 0 1/2 1 2P 1/3 1/6 1/6 1/12 1/4高等數(shù)學(xué)中級數(shù)的求和很關(guān)鍵?。。∽钚孪螺d(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息解：設(shè) a 為某年準(zhǔn)備組織出口此種商品的數(shù)量（單位：噸）Y 為國家收益，于是 Y 是 X 的函數(shù)由于 ，即其概率密度為 于是國家的平均收益為令 解得 a=3500（噸）但 ，故 E(Y)在 a=3500 時，E（Y）最大，即組織貨源為 3500 噸時，可是國家的收益達(dá)到最大。2.二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理 2.設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y) （1）如果(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為 （2）如果（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量 ?(χ,y) 證略。例 12.設(shè)(X,Y)的概率密度為 試求 E( )§4.1.4 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì) 1.若 c 為常數(shù)，則 E(c)=C性質(zhì) 2.若 c 為常數(shù)，X 為隨機(jī)變量，則 E(cX)=cE(X) 性質(zhì) 3.設(shè) X,Y 為任意兩個隨機(jī)變量，則 E(X±Y)=E(X) ±E(Y)推廣 ：設(shè) 為 n 個隨機(jī)變量，則有 性質(zhì) 4.如果 X,Y 相互獨(dú)立，則有 E(XY)=E(X)E(Y) 推廣 ：如果 n 個隨機(jī)變量 X1,X2,…Xn 相互獨(dú)立，則有則有 。例 13.有一隊(duì)射手 9 人，每位射手擊中靶子的概率都是 0.8，進(jìn)行射擊時各自擊中靶子為止，但限制每人最多只打三次，問平均需要為他們準(zhǔn)備多少發(fā)子彈？準(zhǔn)備—實(shí)際需要= 剩余--最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息解：令 表示第 i 名射手所需的子彈數(shù) i=1,2,…,9 X 為 9 名射手所需的子彈總數(shù)，顯然 而 的分布律為于 是 由性質(zhì) 3 便可求得平均所需準(zhǔn)備的子彈數(shù)： 即平均需準(zhǔn)備 12 發(fā)子彈。二 方差§4.2.1 方差的概念意義：D(X)表示 X 取值相對于平均值 E(X)的分散程度§4.2.2 方差的計(jì)算1.由方差定義直接計(jì)算(2)若 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 ?(χ),則GD 2.由下列重要公式計(jì)算證： GD 例 2.設(shè) 求 解：前面已求得 于是例 3.設(shè) 解：前面已求得 ，于是Xi1 2 3p 0.80.2×0.8=0.161-0.8-0.16=0.04離散就求和連續(xù)就積分分部積分法注意：記憶常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差（最好都推導(dǎo)一遍）最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息§4.2.3 方差的性質(zhì)（注意：相加時期望沒要求相互獨(dú)立）性質(zhì) 4.設(shè) X 為隨機(jī)變量，則 D(X)=0 的充分必要條件為 其中 c 為常數(shù)。例 4.設(shè) X 為隨機(jī)變量，E(X),D(X)存在，又設(shè) ， 例 5.設(shè) X~B(n,p),求 E(X), D(X)解：設(shè)在貝努里試驗(yàn)中，事件 A 出現(xiàn)的概率為 p,將此貝努里試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行幾次，構(gòu)成 n 重貝努里試驗(yàn),令i=1，2，…，n另一方面，令 X 表示 n 重貝努里試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn)的次數(shù)，則 X~B(n,p) §4.2.4 切比雪夫不等式定理 1：設(shè) X 為隨機(jī)變量，且 E(X),D(X)存在，則對任意實(shí)數(shù) ? ， 成立證：只證 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量的情況設(shè) ?(χ)為 X 的概率密度，則有例 6.設(shè)電站供電網(wǎng)有 10000 盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率為 0.7，且各盞燈開關(guān)彼此獨(dú)立，試估計(jì)夜晚同時開著的燈的數(shù)目在 6800 盞至 7200 盞之間的概率。Xi 0 1思考：如果二者獨(dú)立D(X-Y)=D(X)-D(Y) ?實(shí)際上 D(X-Y)=D(X)+D(Y)最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息解:令 X 表示夜晚同時開著燈的數(shù)目，X~B(10000,0.7)可用車比雪夫不等式進(jìn)行估計(jì)此概率§4.2.5 常用分布的數(shù)學(xué)期望與方差 以下結(jié)果要熟記1. 二點(diǎn)分布 X～B(1,p)X 0 1p q p 0 q=1-p, E(X)=p, D(X)=pq2. 二項(xiàng)分布 X～B(n,p). .三 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)§4.3.1 協(xié)方差1．協(xié)方差的概念最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息滾動 滾 滾動 2.協(xié)方差的性質(zhì)滾動例 2：甲乙兩人猜測箱中產(chǎn)品的數(shù)目，猜測結(jié)果分別記為 X 和 Y (單位：百個)已知（X，Y）的分布律和邊緣分布律由下表給出：X\Y 1 2 31 0.2 0.1 0.01 0.312 0.15 0.30 0.06 0.513 0.03 0.05 0.10 0.180.38 0.45 0.17 1滾§4.3.2 相關(guān)系數(shù)1．相關(guān)系數(shù)的概念例 3： 解：由前面得到的結(jié)果可知 ，且2． 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì) 1 性質(zhì) 2 證： （ ）相關(guān)系數(shù)為 0，能否說二者無關(guān)了？NO最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息例 4：設(shè) X 的分布律為解： 滾動于是 而 所以 X -1 0 1 P 最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息 48滾動 滾動滾動討論如下：（1） （2） 。（3） 。性質(zhì) 3 滾動§4.3.3 協(xié)方差矩陣為（X1，X2，…，Xn）的協(xié)方差矩陣，簡稱為協(xié)差陣。1/2Pi問題：相關(guān)系數(shù)到底說明什么問題？似乎并不能完全反映兩個變量的相關(guān)程度。由此問題引出性質(zhì) 3相關(guān)系數(shù)實(shí)際上叫“線性相關(guān)系數(shù)”更準(zhǔn)確積變偶不變，符號看象限最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息 49性質(zhì)1. V 為對稱陣，即 Vij=Vji,一切 i,j2. V 主對角線之 元素為 X1,X2…,Xn,的方差，即 Vii=D(Xi),i=1,2,…,n 滾動滾動四 n 維正態(tài)分布§4.4.1 n 維正態(tài)分布的概率密度對二維正態(tài)分布的隨機(jī)變量（X，Y），其概率密度為滾動可見，（X，Y）的概率密度便可表為定義 1.如果 n 維隨機(jī)變量（X1，X2，…，XN）的概率密度為§4.4.2 n 維正態(tài)分布的幾個重要性質(zhì)最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息 50滾動 由性質(zhì) 3 可知（X，Z）服從二維正態(tài)分布，而即 X 與 Z 不相關(guān)，從而 X 與 Z 相互獨(dú)立。第五章 大數(shù)定律及中心極限定理一 大數(shù)定律§5.1.1 四種收斂性則稱{Xn}依概率收斂于隨機(jī)變量 X，記為最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息 51四種收斂性有以下關(guān)系：§5.1.2 幾個常用大數(shù)定律1．切比雪夫大數(shù)定律GD證 ： 再由車比雪夫不等式，使得：即得 推論： 2． 貝努里大數(shù)定律GD即 貝努里大數(shù)定律說明：當(dāng)試驗(yàn)在不變條件下，重復(fù)進(jìn)行多次時，隨機(jī)事件的頻率應(yīng)在它的概率附近擺動。特別，概率很小的事件其頻率應(yīng)很小，即在實(shí)際的一，二次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，人們常常認(rèn)為那些概率很小的事件實(shí)際上是不可能發(fā)生的。這個原理稱之為小概率事件的實(shí)際不可能性原理，簡稱為小概率事件原理，在實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息 52二 中心極限定理所謂中心極限定理是指一系列定理，研究的是隨機(jī)變量序列{Xn}的前 n 項(xiàng)和，§5.2.1.獨(dú)立同分布隨機(jī)序列的中心極限定理定理 3：設(shè)隨機(jī)變量序列 獨(dú)立、同分布，且 證略。 例 1：設(shè)有串聯(lián)電阻網(wǎng)絡(luò)（見圖）每個電阻的阻值為隨機(jī)變量，它們獨(dú)立，同分布都服從均勻分布 U[90，110]（單位：歐姆）解： 由上面給出近似公式，可得所求的概率 此例的結(jié)果說明一個很有意義的事實(shí)： 兩者相比，后者概率值有很大提高，這說明電阻串聯(lián)可以減少電阻值的隨機(jī)性，使網(wǎng)絡(luò)變得更加穩(wěn)健?！?.2.2．隸莫佛--拉普拉斯中心極限定理GD由獨(dú)立同分布中心極限定理便可得：例 2：人壽保險(xiǎn)事業(yè)是最早使用概率論的部門之一，保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤需要計(jì)算各種各樣事件的概率，以下便是一例：在一年內(nèi)某種保險(xiǎn)者里，每個人死亡的概率為0.005，現(xiàn)在有 10000 人參加此種人壽保險(xiǎn)，試求在未來一年內(nèi)這些保險(xiǎn)者中死亡人數(shù)不超過 70 人的概率。最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息最新下載(NewDown.com.cn) 中國最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息 53解：按題意要計(jì)算的概率為：例 3 某單位有 200 臺電話機(jī)，每臺電話機(jī)大約有 5%的時間需使用外線，假定每臺電話機(jī)是否使用外線彼此獨(dú)立，試問：該單位總機(jī)至少需安裝多少條外線才可以依 90%以上的概率保證每臺電話機(jī)在使用外線時而不能占用？又設(shè) K 為該單位總機(jī)安裝的外線數(shù)，按題意即要求的便是使得 P{0≤η≤k} 90%的最小的K 值。