2013經濟數學基礎

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1、一、填空題： 1、0； 2、1； 3、x－2y＋1=0； 4、2x； 5、－ ； 二、單項選擇題： 1、D； 2、B； 3、B； 4、B； 5、B； 三、解答題 1、計算極限 （1）解：原式= = = （2）解：原式= = =- （3）解：原式= = =－ （4）解：原式=

2、 = （5）解：∵x 時， ∴ = = (6)解： = = (x+2) =4 2、設函數： 解： f(x)= (sin +b)=b f(x)= (1)要使f(x)在x=0處有極限，只要b=1， （2）要使f(x)在x=0處連續(xù)，則 f(x)= =f(0)=a 即a=b=1時，f(x)在x=0處連續(xù) 3、計算函數的導數或微分： （1）解：y’=2x+2xlog2+ (2)解：y’=

3、 = (3)解：y’=[ ]’ =- （3x-5）’ =－ (4)解：y’= －（ex+xex） = －ex－xex (5)解：∵y’=aeaxsinbx+beaxcosbx =eax(asmbx+bcosbx) ∴dy=eax(asmbx+bcosbx)dx (6)解： ∵y’=－ + ∴dy=(－ + )dx (7)解：∵y’=－ sin + ∴dy=( － sin )dx (解：∵y

4、’=nsinn－1x+ncosnx ∴dy=n(nsinn－1+ cosnx)dx (9)解：∵y’= = ∴ （10）解： 4、（1）解：方程兩邊對x求導得 2x+2yy’-y-xy’+3=0 (2y-x)y’=y－2x－3 y’= ∴dy= (2)解：方程兩邊對x求導得： Cos(x+y)(1+y’)+exy(y+xy’)=4 [cos(x+y)+xexy]y’=4－cos(x+y)－yexy y’=

5、 5.(1)解：∵y’= = （2）解： = 經濟數學基礎作業(yè)2 一、填空題： 1、2xln2+2 2、sinx+C 3、- 4、ln(1+x2) 5、- 二、單項選擇題： 1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 三、解答題： 1、計算下列不定積分： （1）解：原式= = = （2）解：原式= = (3)解：原式= =

6、 = (4)解：原式=- =- +C （5）解原式= = = （6）解：原式=Z =－2cos (7)解：原式=-2 =-2xcos =-2xcos (解：原式= =（x+1）ln(x+1)- =(x+1)ln(x+1)-x+c 2、計算下列積分 （1）解：原式= =（x-

7、 =2+ = （2）解：原式= = = （3）解：原式= = = =4-2 =2 （4）解：原式= = = = （5）解：原式= = = = =

8、 = (6)解：原式= =4+ = = = = 經濟數學基礎作業(yè)3 一、填空題： 1. 3 2. -72 3. A與B可交換 4. （I-B）-1A 5. 二、單項選擇題： 1.C 2.A 3.C 4.A 5.B 三、解答題 1、解：原式= = 2、解：原式=

9、 = 3、解：原式= = 2、計算： 解：原式= = = 3、設矩陣：解： 4、設矩陣：解：A= 要使r（A）最小。 只需 5、求矩陣A= ∴r(A)=3 6、求下列陣的逆矩陣： （1）解：[A 1]= ∴A-1= （2）解：[A 1]= ∴A-1= 7、設矩陣 解：設 即 ∴X= 四、證明題： 1、證：B1、B2都與A可交換，即 B1A=AB1 B2A=AB

10、2 （B1+B2）A=B1A+B2A=AB1+AB2 AA（B1+B2）=AB1+AB2 ∴（B1+B2）A=A（B1+B2） （B1B2）A=B1（B2A）=B1（AB2）=（B2A）B2=AB1B2 即B1+B2、B1B2與A可交換。 2、證：（A+AT）T=AT+（AT）T=AT+A=A+AT 故A+AT為對稱矩陣 （AAT）T=（AT）AT=AAT （AAT）T=AT（AT）T=ATA 3、證：若AB為對陣矩陣，則（AB）T=BTAT=BA=AB ∵AB為幾何對稱矩陣 知AT=A BT=B 即AB=

11、BA 反之若AB=BA （AB）T=BTAT=BA=AB 即（AB）T=AB ∴AB為對稱矩陣。 4、設A為幾何對稱矩陣，即AT=A （B-1AB）T=BTAT（B-1）T =BTAT（BT）T （∵B-1=BT） =B-1AB ∴B-1AB為對稱矩陣 經濟數學基礎作業(yè)4 一、填空題： 1、 1＜x≤4且x≠2 2、x=1, x=1,小值 3、 4、 4 5、 ≠－1 二、單項選擇題： 1、 B 2、 C 3、

12、 A 4、 C 5、 C 三、解答題 1、（1）解： -e-y=ex+C 即 ex+e-y=C (2)解：3y2dy=xexdx y3=xex-ex+C 2、（1）解：方程對應齊次線性方程的解為：y=C(X+1)2 由常數高易法，設所求方程的解為：y=C(x)(x+1)2 代入原方程得 C’（x）(x+1)2=(x+1)3 C’(x)=x+1

13、 C(x)= 故所求方程的通解為：（ (2)解：由通解公式 其中 P（x）= - Y=e =elnx =x =cx-xcos2x 3、（1）y’=e2x/ey 即eydy=e2xdx ey= 將x=0,y

14、=0代入得C= ∴ey= （2）解：方程變形得 y’+ 代入方式得 Y=e = = = 將x=1,y=0代入得C=-e ∴y= 為滿足y（1）=0的特解。 4、求解下列線性方程組的一般解： （1）解：系數矩陣： A2= ∴方程組的一般解為： 其中x3、x4為自由未知量 （2）解：對增廣矩陣作初等行變換將其化為阿梯形 A(&mdash= 故方程組的一般解是： X1= X2= ，其中x3，x4為自由未知量。 （5）解：A(&mdash=

15、 要使方程組有解，則 此時一般解為 其中x3、x4為自由未知量。 （6）解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣： A(&mdash= 由方程組解的判定定理可得 當a=－3,b≠3時，秩（A）＜秩（A(&mdash），方程組無解 當a=－3,b=3時，秩（A）=秩（A(&mdash）=2＜3，方程組無窮多解 當a≠－3時，秩（A）=秩（A(&mdash）=3，方程組有唯一解。 7、求解下列經濟應用問題： （1）當q=10時 解：總成本C(%)=100+0.25102 +610=185（萬元）

16、 平均成本C(&mdash（q） 邊際成本函數為C’（q）=0.5+6，當q=10時，邊際成本為11。 （2）平均成本函數C(&mdash（q）=0.25q+6+ 即求函數C(&mdash（q）=0.25q+6+ 的最小值 C(&mdash’（q）=0.25 ，q=20 且當q>20時，Cˊ(q)>0，q2<0時，Cˊ(q)<0 ∴當q=20時，函數有極小值 即當產量q=20時，平均成本最小 （2）解：總收益函數R（q）=P%=(14-0。01q)q=14q- 0.01q2 利潤函數L(q)=R(q)-C(q)=-

17、0.02q2+10q-20，10250時，L’（q）<0，q<250時L’（q）>0 故L（q）在q=250取得極大值為L（250）=1230 即產量為250中時，利潤達到最大，最大值為1230。 （3）解：由C’（x）=2x+40 C（x）=x2+40x+C,當x=0時（cx）=36，故C=36 總成本函數：C（x）=x2+40x+36 C(4)=42+404+36=252(萬元)

18、 C（6）=62+406+36=312（萬元） 總成本增量：△C（x）=312-212=100(萬元) 平均成本C（x）=x+40+ 當旦僅當 x= 時取得最小值，即產量為6百臺時，可使平均成本達到最低。 解：收益函數R（x）= 當x=0時，R(0)=0即C=0 收益函數R（x）=12x-0.01x2(00 故L(x)在x=500時取得極大值 產量為500件時利潤最大，最大為2500元， 在此基礎上再生產50件，即產量為550時，利潤L（550）=2475，利潤將減少25元。