高級中學(xué)高中數(shù)學(xué) §33 幾何概型學(xué)案 新人教A版必修3

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1、 遼寧省新賓滿族自治縣高級中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.3 幾何概型學(xué)案 新人教A版必修3 教學(xué)目標(biāo)： 1.通過師生共同探究,體會數(shù)學(xué)知識的形成,正確理解幾何概型的概念；掌握幾何概型的概率公式： P（A）=,學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決問題,體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系,培養(yǎng)邏輯推理能力. 2.本節(jié)課學(xué)習(xí)時(shí)養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣,會根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型,會進(jìn)行簡單的幾何概率計(jì)算,培養(yǎng)學(xué)生從有限向無限探究的意識. 教學(xué)重點(diǎn)： 理解幾何概型的定義、特點(diǎn),會用公式計(jì)算幾何概率. 教學(xué)難點(diǎn)： 等可能性的判斷與幾何概型和古典概型的區(qū)別. 一、導(dǎo)入新

2、課： 1、復(fù)習(xí)古典概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)：（1）所有的基本事件只有有限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件發(fā)生都是等可能的.那么對于有無限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如何求呢? 2、在概率論發(fā)展的早期,人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的,還必須考慮有無限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況.例如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是8：00至9：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子,石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)……這些試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限多個(gè).這就是我們要學(xué)習(xí)的幾何概型. 二、新課講授： 提出問題 (1)隨意拋擲一枚均勻硬幣兩次,求兩次出現(xiàn)相同面的概率？ (2)試驗(yàn)1

3、.取一根長度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷.問剪得兩段的長都不小于1 m的概率有多大？ 試驗(yàn)2.射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán).從外向內(nèi)為白色,黑色,藍(lán)色,紅色,靶心是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運(yùn)會的比賽靶面直徑為122 cm,靶心直徑為12.2 cm.運(yùn)動員在70 m外射箭.假設(shè)射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的.問射中黃心的概率為多少？ (3)問題(1)(2)中的基本事件有什么特點(diǎn)?兩事件的本質(zhì)區(qū)別是什么? (4)什么是幾何概型?它有什么特點(diǎn)? (5)如何計(jì)算幾何概型的概率?有什么樣的公式? (6)古典概型和幾何概型有什么區(qū)別和聯(lián)系?

4、 撰稿教師：趙志巖 結(jié)果：(1)硬幣落地后會出現(xiàn)四種結(jié)果：分別記作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每 種結(jié)果出現(xiàn)的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.兩次出現(xiàn)相同面的概率為. (2)經(jīng)分析,第一個(gè)試驗(yàn),從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn). 第二個(gè)試驗(yàn)中,射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)基本事件,這一點(diǎn)可以是靶面直徑為122 cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn). 在這兩個(gè)問題中,基本事件有無限多個(gè),雖然類似于古典概

5、型的“等可能性”,但是顯然不能用古典概型的方法求解. 考慮第一個(gè)問題,如右圖,記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的, 于是事件A發(fā)生的概率P(A)=. 第二個(gè)問題,如右圖,記“射中黃心”為事件B,由于中靶心隨機(jī)地落在面積為π1222 cm2的大圓內(nèi),而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為π12.22 cm2的黃心內(nèi)時(shí),事件B發(fā)生,于是事件B發(fā)生的概率P(B)==0.01. (3)硬幣落地后會出現(xiàn)四種結(jié)果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,繩子從每一個(gè)位置剪斷都

6、是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn),也是等可能的,射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的,但是硬幣落地后只出現(xiàn)四種結(jié)果,是有限的;而剪斷繩子的點(diǎn)和射中靶面的點(diǎn)是無限的;即一個(gè)基本事件是有限的,而另一個(gè)基本事件是無限的. (4)幾何概型. 對于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣,而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn),稱為幾何概型. 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或

7、體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型. 幾何概型的基本特點(diǎn)： a.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)； b.每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等. (5)幾何概型的概率公式： P（A）=. (6)古典概型和幾何概型的聯(lián)系是每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的;區(qū)別是古典概型的基本事件是有限的,而幾何概型的基本事件是無限的,另外兩種概型的概率計(jì)算公式的含義也不同. 三、知能訓(xùn)練： 1.與長度有關(guān)的幾何概型 例1 有一段長為10米的木棍,現(xiàn)要將其截成兩段,要求每一段都不小于3米,則符合要求的截法的概率是多大？ 2.與面積有關(guān)的

8、幾何概型 例2 郭靖、瀟湘子與金輪法王等武林高手進(jìn)行一種比賽,比賽規(guī)則如下：在很遠(yuǎn)的地方有一頂帳篷,可以看到里面有一張小方幾,要將一枚銅板扔到這張方幾上.已知銅板的直徑是方幾邊長的,誰能將銅板整個(gè)地落到方幾上就可以進(jìn)行下一輪比賽.郭靖一扔,銅板落到小方幾上,且沒有掉下,問他能進(jìn)入下一輪比賽的概率有多大？ 3.與體積有關(guān)的幾何概型 例4 在5升水中有一個(gè)病毒,現(xiàn)從中隨機(jī)地取出1升水,含有病毒的概率是多大？ 4.與角度有關(guān)的幾何概型 例6 在圓心角為90的扇形中,以圓心為起點(diǎn)作射線OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30的概率. 注意：在高中數(shù)學(xué)階段,我們對于與面積有關(guān)的幾何概型和與體積有關(guān)的幾何概型要求重點(diǎn)掌握.這里只是列出了幾道與幾何概型有關(guān)的題目,可以說,在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段,這四種幾何概率模型基本上包括了我們所要學(xué)習(xí)的幾何概型,希望能對大家有一點(diǎn)幫助. 3.3.2 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用------閱讀教材110---114. 4