廣東省惠州市高三第四次模擬考試 文科數學試題及答案

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1、 惠州市2015屆高三模擬考試 數 學 試 題 (文科） 2015.04 本試卷共4頁，21小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。 注意事項： 1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。 2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。 3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液

2、。不按以上要求作答的答案無效。 4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將答題卡一并交回。 參考公式：錐體的體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高. 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應選項. 1．已知集合，則 （ ） A． B． C． D． 2．若函數是函數的反函數，則 （ ） A． B． C． D． 3．已知點，和向量a，若a//

3、，則實數的值為 （ ） A． B． C． D． 4．已知數列為等差數列，且，，則 （ ） 2 1 1 3 3 正視圖 側視圖 俯視圖 2 1 A．45 B．43 C． 40 D．42 5．下列函數中周期為且為偶函數的是 （ ） A． B． C． D． 6．已知某幾何體的三視圖如上圖所示，則該幾何體的體積為 ( ) A． B．

4、 C． D． 7．已知橢圓與雙曲線的焦點相同，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和 為，那么橢圓的離心率等于 ( ) 開始 結束 是 否 輸出 A． B． C． D．[ 8．執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的= （ ） A．30 B．25 C．20 D．12 9．若變量，滿足約束條件， 則的最大值等于 （ ） A． B． C．11 D．10 10. 若

5、直角坐標平面內的兩個不同點、滿足條件：①、都在函數的圖像上；②、關于原點對稱，則稱點對是函數的一對“友好點對”（注：點 對與看作同一對“友好點對”）．已知函數=，則此函 數的“友好點對”有 （ ） 對． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空題：本大題共5小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分20分． （一）必做題：第11至13題為必做題，每道試題考生都必須作答． 11．計算：= ．（為虛數單位） 12．函數在 處取得極小值. 13

6、．設，若是 與的等比中項，則的最小值為 ． （二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計前一題的得分． 14．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，圓的圓心到直線 的 距離是 . 15．（幾何證明選做題）如圖，是圓的直徑，點在圓上， 延長到使，過作圓的切線交于. 若，，則 . 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16.（本小題滿分12分） 已知函數的最小正周期為，且. (1) 求的表達式； (2) 設，，，求的值. 1

7、7.（本小題滿分12分） 某班名學生在一次百米測試中，成績全部介于秒與秒之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖． (1) 根據頻率分布直方圖，估計這名學生百米測試成績的平均值； (2) 若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于的概率. 18．（本小題滿分14分） 如圖所示，在所有棱長都為的三棱柱中，側棱，點為棱的中點． A B C D A1 B1 C1 (1)求證：∥平面； (2)求四棱錐的體積． 19．（本小題滿分14分） 若正項數列的前項和

8、為，首項，點（）在曲線上.源: (1)求數列的通項公式； (2)設，表示數列的前項和，求證：. 20.（本小題滿分14分） 已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經過點. 直線交橢圓于不同的兩點. (1)求橢圓的方程； (2)求的取值范圍； (3)若直線不過點，求證：直線與軸圍成一個等腰三角形. 21.（本小題滿分14分） 已知，函數． (1)求的單調區(qū)間； (2)證明：當時，． 惠州市2015屆高三模擬考試 ( 文科數學)參考答案和評分標準 說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參

9、考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數． 2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分． 3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數． 4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分． 一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求 題號 1 2 3 4 5 6 7

10、8 9 10 答案 B A C D B C B A D B 1．B 【解析】試題分析：由題根據集合，不難求得A,B的交集；由題 2．A 【解析】試題分析：根據互為反函數的兩個函數間的關系，原函數中時，， 故反函數中當時，即 3．C 【解析】試題分析：根據A、B兩點的坐標可得＝（3，1），∵∥，∴， 解得 4．D 【解析】試題分析：， 5．B 【解析】試題分析：由于周期為，故排除C,D；又由于是偶函數，而選項A，函數 ，故排除A，又選項B，是偶函數 6．C 解析:由三視圖易知，該幾何體是底面積為，高為3的三棱錐，由錐體的體積公式得

11、7．B 【解析】，， 8．A 【解析】由題意可知，第一次循環(huán)S=5，n=2，T=2，不滿足T>S；第二次循環(huán)，S=10，n=4，T=2+4=6， 不滿足T>S；第三次循環(huán)，S=15，n=6，T=12，不滿足T>S；第四次循環(huán)，S=20，n=8，T=20， 不滿足T>S；第五次循環(huán)，S=25，n=10，T=30，滿足T>S；結束，此時T=30，故選A 9．D 【解析】作出不等式組對應的平面圖象如下圖的陰影部分，表示斜率為的直線系， 表示直線在軸上的截距，由圖象可知當直線過點時取得最大值，最大值為 10．B 【解析】根據題意可知只須作出函數的圖象關于原點對稱的圖象，確定它與

12、函數 交點個數即可,由圖象可知，只有一個交點． 二．填空題 11． 12． 13． 14． 15． 11．【解析】 因為. 12．【解析】 由得：，列表得： ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以在處取得極小值. 13．【解析】 由題意知，又， 所以，所以的最小值為. 14．【解析】 如下圖: . 15. 【解析】 如下圖:，得. 三．解答題 16. （本小題滿分1

13、2分） 解：(1)依題意得，∴， ……………………2分 由，得，即，∴, ……………………4分 ∴ ……………………5分 (2) 由，得， 即，∴， ……………………6分 又∵，∴， ……………………7分 由，得， 即，∴， ……………………9分 又∵，∴，

14、 ……………………10分 ……………………12分 17．解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，百米測試成績的平均值為 ……………………… 5分 （Ⅱ）由頻率分布直方圖知，成績在的人數為人，設為、、； 成績在 的人數為人，設為、、、 ………………………6分 若時，有種情況； ……………………7分 若時，有種情況； ……………………8分 若分別在和內時， A

15、 B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共有種情況. ……………………10分 所以基本事件總數為種，事件“”所包含的基本事件個數有種。 ∴（）。 ………………………12分 18、(本題滿分14分) A B C D A1 B1 C1 E 解：(1)連結，設與交于點，…………1分 則點是的中點，連結，…………

16、2分 因為點為的中點， 所以是的中位線， 所以∥， ………………4分 因為平面，面，………5分 所以∥平面. ………………6分 (2)取線段中點，連結， ………………7分 ∵ ，點為線段中點， ∴ . ………………9分 又平面 即平面，平面 ∴ ， ………………11分 ∵ ， ∴ 平面，則是四棱錐的高 ………………12分 . ………………14分 19（本小題滿分14分） 解:(1)因為點在曲線上,所以. …………1分 由得.

17、 ……………3分 且 所以數列是以為首項,1為公差的等差數列 ……………4分 所以, 即 ……………5分 當時， ……………6分 當時，也成立 ……………7分 所以， ……………8分 (2) 因為,所以, ……………9分 ……………12分 ……………14分 20.（本小題滿分14分）

18、 (1) （2） （3）見解析 (1) 由已知橢圓焦點在軸上可設橢圓的方程為，（） 因為，所以， ① 又因為過點，所以， ② 聯(lián)立①②解得，故橢圓方程為. ………………4分 (2) 將代入并整理得， 因為直線與橢圓有兩個交點， 所以，解得. ………………8分 (3) 設直線的斜率分別為和，只要證明即可. 設，， 則. ………………10分 所以 所以，所以

19、直線與軸圍成一個等腰三角形． ………………14分 21.（本小題滿分14分） 解：（1）由題意得 ………………1分 當時，恒成立，此時的單調遞增區(qū)間為 ………………2分 當時，， ………………4分 此時函數的單調遞增區(qū)間為 (－∞，］ ，［，＋∞)． ………………5分 的單調遞減區(qū)間為 ［，］． ………………6分 (2)證明：由于0≤x≤1，故 當a≤2時，f(x)＋|a－2|＝4x3

20、－2ax＋2≥4x3－4x＋2． ………………8分 當a＞2時，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2． ……10分 設g(x)＝2x3－2x＋1， ， 則g′(x)＝6x2－2＝6(x－)(x＋)， ………………11分 x 0 (0，) (，1) 1 g′(x) － 0 ＋ g(x) 1 減 極小值 增 1 于是 ………………12分 所以，g(x)min＝g()＝1－＞0 ∴ 當時， ………………13分 故． ∴ 當時， ………………14分 （注：此問還可以按分類討論的思想，令， 證明當時，成立，請參照給分） 19