離散傅里葉變換DFT.ppt

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第三章 DFT 離散傅里葉變換,3-7 抽樣Z變換--頻域抽樣理論,3-8 利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近,3-6 DFT的性質(zhì),3-5 DFT--有限長序列的離散頻域表示,3-3 周期序列的DFS,3-4 DFS的性質(zhì),3-2 傅氏變換的幾種可能形式,3-1 引言,點擊進入,目 錄,, 3.1 引 言,在第2章中討論了序列的傅里葉變換和Z變換。由于數(shù)字計算機只能計算有限長離散序列，因此有限長序列在數(shù)字信號處理中就顯得很重要， 當然可以用Z變換和傅里葉變換來研究它， 但是，這兩種變換無法直接利用計算機進行數(shù)值計算。針對序列“有限長”這一特點，可以導出一種更有用的變換：離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform， 簡寫為DFT）。它本身也是有限長序列。,作為有限長序列的一種傅里葉表示法，離散傅里葉變換除了在理論上相當重要之外，而且由于存在有效的快速算法——快速離散傅里葉變換，因而在各種數(shù)字信號處理的算法中起著核心作用。  有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）和周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）本質(zhì)上是一樣的。為了討論離散傅里葉級數(shù)與離散傅里葉變換，我們首先來回顧并討論傅里葉變換的幾種可能形式。,一.DFT是重要的變換 1.分析有限長序列的有用工具。 2.在信號處理的理論上有重要意義。 3.在運算方法上起核心作用，譜分析、 卷積、相關都可以通DFT在計算機上實現(xiàn)。,返回目錄,二.DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁 DFT要解決兩個問題： 一是離散與量化， 二是快速運算。,信號處理,,DFT(FFT),,傅氏變換,離散量化,,連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換,連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù),離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換,離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換,3-2傅里葉變換的幾種可能形式,一、連續(xù)時間，連續(xù)頻率——傅里葉變換(FT),這是連續(xù)時間，非周期信號x(t)的傅里葉變換。它得到連續(xù)的、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j?)。,二、連續(xù)時間，離散頻率——傅里葉級數(shù)(FS),這是連續(xù)時間，周期信號x(t)的傅立葉變換。它得到離散的、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j?)。例如信號x(t)=sin100?t只有一個頻率分量。,X(jK?0)是頻譜相鄰兩譜線間角頻率的間隔，K為諧波序號。,三、離散時間，連續(xù)頻率——序列的傅里葉變換(DTFT),由第一章采樣定理的知識，我們知道：時域離散，將導致頻域周期化，且這個周期是?s。,四、離散時間，離散頻率——離散傅里葉變換(DFT),上面所講的三種傅里葉變換至少在一個域內(nèi)是連續(xù)的，不適于計算機運算。最好是時域和頻域均為離散的，才方便用計算機運算。,思路：從序列的傅里葉變換出發(fā)，若時域為離散的序列，則頻 域是連續(xù)周期的；若此時我們對頻域的連續(xù)信號抽樣， 人為的使其離散化，這樣，頻域的離散又導致時域的周 期化。于是有：,四種傅里葉變換形式的歸納,各種形式的傅里葉變換, 3.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS),設 是一個周期為N的周期序列， 即,r為任意整數(shù),周期序列不是絕對可和的，所以不能用Z變換表示，因為在任何z值下，其Z變換都不收斂，也就是,但是，正如連續(xù)時間周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示一樣， 周期序列也可以用離散傅里葉級數(shù)來表示，該級數(shù)相當于成諧波關系的復指數(shù)序列（正弦型序列）之和。也就是說，復指數(shù)序列的頻率是周期序列 的基頻（2π/N）的整數(shù)倍。這些復指數(shù)序列ek(n)的形式為,（3-1）,式中, k, r為整數(shù)。,由式（3-1）可見，復指數(shù)序列ek(n)對k呈現(xiàn)周期性，周期也為N。也就是說, 離散傅里葉級數(shù)的諧波成分只有N個獨立量，這是和連續(xù)傅里葉級數(shù)的不同之處（后者有無窮多個諧波成分），因而對離散傅里葉級數(shù)，只能取k=0 到N-1的N個獨立諧波分量， 不然就會產(chǎn)生二義性。因而 可展成如下的離散傅里葉級數(shù)，即,（3-2）,式中，求和號前所乘的系數(shù)1/N是習慣上已經(jīng)采用的常數(shù)， 是k次諧波的系數(shù)。,下面我們來求解系數(shù) ，這要利用復正弦序列的正交特性，即,（3-3）,將式（3-2）兩端同乘以 ，然后從n=0 到N-1的一個周期內(nèi)求和，則得到,把r換成k可得,（3-4）,這就是求k=0 到N-1的N個諧波系數(shù) 的公式。同時看出 也是一個以N為周期的周期序列，即,這和離散傅里葉級數(shù)只有N個不同的系數(shù) 的說法是一致的?？梢钥闯?，時域周期序列 的離散傅里葉級數(shù)在頻域（即其系數(shù) 也是一個周期序列。因而 與 是頻域與時域的一個周期序列對， 式（3-2）與式（3-4）一起可看作是一對相互表達周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）對。  為了表示方便，常常利用復數(shù)量WN來寫這兩個式子。WN定義為,（3-5）,WN的性質(zhì),1.周期性,2.共軛對稱性,3.可約性,4.正交性,使用WN， 式（2-4）及式（2-2）可表示為:,（3-6）,（3-7）,式中，DFS［］表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS［］表示離散傅里葉級數(shù)反變換。 從上面看出，只要知道周期序列一個周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也都知道了。 所以，這種無限長序列實際上只有一個周期中的N個序列值有信息。 因而周期序列和有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。,例3-1 設 為周期脈沖串,（3-8）,因為對于0≤n≤N-1， , 所以利用式（2-6）求出 的DFS系數(shù)為,（3-9）,在這種情況下，對于所有的k值 均相同。于是，將式（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式,（3-10）,例3-2 已知周期序列 如圖3-2所示，其周期N=10, 試求解它的傅里葉級數(shù)系數(shù) 。,圖3-2 例3-2的周期序列 （周期N=10）,由式（3-6）,（3-11）,這一有限求和有閉合形式,（3-12）,圖 3-3 圖3-2所示序列的傅里葉級數(shù)系數(shù) 的幅值,式（3-6）中的周期序列 可看成是對 的第一個周期x(n)作Z變換，然后將Z變換在Z平面單位圓上按等間隔角2π/N采樣而得到的。令,通常稱x(n)為 的主值區(qū)序列，則x(n)的Z變換為,（3-13）,把式（3-13）與式（3-6）比較可知,（3-14）,可以看出，當0≤k≤N-1 時， 是對X(z)在Z平面單位圓上的N點等間隔采樣，在此區(qū)間之外隨著k的變化， 的值呈周期變化。 圖3-4畫出了這些特點。,由于單位圓上的Z變換即為序列的傅里葉變換，所以周期序列 也可以解釋為 的一個周期x(n)的傅里葉變換的等間隔采樣。 因為,（3-15）,比較式（3-15）和式（3-6），可以看出,這相當于以2π/N的頻率間隔對傅里葉變換進行采樣。,（3-16）,例3-3 為了舉例說明傅里葉級數(shù)系數(shù) 和周期信號 的一個周期的傅里葉變換之間的關系，我們再次研究圖2-2所示的序列 。 在序列 的一個周期中：,（3-17）,則 的一個周期的傅里葉變換是,（3-18）,可以證明，若將ω=2πk/10 代入式（2-18）， 即,圖 3-5 對圖3-2所示序列的一個周期作傅里葉變換的幅值,圖 3-6 圖3-3和圖3-5的重疊圖，它表明一個周期序列 的DFS系數(shù)等于主值區(qū)序列的傅里葉變換的采樣,,其中，a,b為任意常數(shù)。,3-4 DFS的性質(zhì),一.線性,如果,則有,以下性質(zhì)均在條件：x1(n)和x2(n)都是周期為N的周期序列,二.序列的移位,則有：,如果,證明：,令i=m+n,則 n=i-m。,n=0 時，i=m; n=N-1時，i=N-1+m,所以,* 和 都是以N為周期的周期函數(shù)。,三.調(diào)制特性 如果 則有,證明：,時域乘以虛指數(shù)( )的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。,四.周期卷積和*** 重點*** 1.如果 則：,周期卷積是線性卷積的周期延拓-------Go!!,線性卷積的長度及周期卷積代替線性卷積的條件-----GO!,圓周卷積的定義及求解過程----GO!!,利用DFS求解線性卷積的步驟—Go!!,周期卷積的方法舉例—說明它仍然是同周期的DFS 并引導出與線性卷積的關系—next page,2.兩個周期序列的周期卷積過程*** （1）畫出 和 的圖形； （2）將 翻摺,得到 可計算出：,返回目錄,,,,返回目錄,,,,,,,,,,,,,0 1 2 3 4 5,計算區(qū),0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,,,（3）將 右移一位、得到,可計算出：,返回目錄,,,返回目錄,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,（4）將 再右移一位、得到 可計算出：,返回目錄,（5）以此類推，,返回目錄,,,n,,,,,計算區(qū),返回目錄,3. 頻域卷積定理 如果 ，則,證明從略。,3-5 有限長序列離散傅里葉變換（DFT）,DFT的定義 上一節(jié)我們討論的周期序列實際上只有有限個序列值有意義， 因而它和有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長序列之間的關系，由周期序列的離散傅里葉級數(shù)表示式推導得到有限長序列的離散頻域表示即離散傅里葉變換（DFT）。 設x(n)為有限長序列，長度為N，即x(n)只在n=0到N-1點上有值，其他n時，x(n)=0。即,為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周期序列 的一個周期，而把 看成x(n)的以N為周期的周期延拓， 即表示成:,這個關系可以用圖2-8來表明。通常把 的第一個周期n=0 到n=N-1 定義為“主值區(qū)間”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而稱 為x(n)的周期延拓。對不同r值x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式可寫成,用((n))N表示（n mod N），其數(shù)學上就是表示“n對N取余數(shù)”， 或稱“n對N取模值”。 令,0≤n1≤N-1, m為整數(shù),則n1為n對N的余數(shù)。,例如， 是周期為N=9的序列，則有：,利用前面的矩形序列RN(n)，式可寫成,同理，頻域的周期序列 也可看成是對有限長序列X(k)的周期延拓，而有限長序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即:,我們再看表達DFS與IDFS：,這兩個公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值區(qū)間進行，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可以得到有限長序列的離散傅里葉變換的定義:,0≤k≤N-1,0≤n≤N-1,x(n)和X(k)是一個有限長序列的離散傅里葉變換對。我們稱上面第一式為x(n)的N點離散傅里葉變換(DFT), 稱式第二式為X(k)的N點離散傅里葉反變換(IDFT)。已知其中的一個序列，就能唯一地確定另一個序列。這是因為x(n)與X(k)都是點數(shù)為N的序列，都有N個獨立值（可以是復數(shù)），所以信息當然等量。  此外，值得強調(diào)得是，在使用離散傅里葉變換時，必須注意所處理的有限長序列都是作為周期序列的一個周期來表示的。 換句話說，離散傅里葉變換隱含著周期性。,例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N點DFT。  解 單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義式（2-30）得到：,k=0, 1, …, N-1,δ(n)的X(k)如圖2-9。這是一個很特殊的例子，它表明對序列δ(n)來說，不論對它進行多少點的DFT，所得結(jié)果都是一個離散矩形序列。,圖2-9 序列δ(n)及其離散傅里葉變換,例 2 已知x(n)=cos(nπ/6)是一個長度N=12的有限長序列， 求它的N點DFT。  解 由DFT的定義式（2-30）,利用復正弦序列的正交特性，再考慮到k的取值區(qū)間，可得,圖 2-10 有限長序列及其DFT,例 3已知如下X(k):,求其10點IDFT。,解 X(k)可以表示為,X(k)=1+2δ(k) 0≤k≤9,寫成這種形式后，就可以很容易確定離散傅里葉反變換。 由于一個單位脈沖序列的DFT為常數(shù)：, 3-5 DFT--有限長序列的離散頻域表示 一.預備知識 1.余數(shù)運算表達式 如果 ， m為整數(shù)；則有： 此運算符表示n被N除，商為m，余數(shù)為 。 是 的解,或稱作取余數(shù),或說作n對N取模值, 或簡稱為取模值,n模N。,返回目錄,例如： (1) (2),返回目錄,先取模值，后進行函數(shù)運作; 而 視作將 周期延拓。,2.,返回目錄,二.有限長序列x(n)和周期序列 的關系,周期序列 是有限長序列x(n)的周期延拓。,有限長序列x(n)是周期序列 的主值序列。,返回目錄,如：,,,N-1,n,x(n),0,0,N-1,定義從n=0 到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。,返回目錄,三.周期序列 與有限長序列X(k)的關系,,同樣， 周期序列 是有限長序列X(k)的周期延拓。,而有限長序列X(k)是周期序列 的主值序列。,返回目錄,四.從DFS到DFT,,從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間 進行。,因此可得到新的定義，即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義。,返回目錄,或者：,,本節(jié)結(jié)束返回目錄,3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì),本節(jié)討論DFT的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關，而且是由有限長序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點有限長序列，用DFT［］表示N點DFT，且設:,DFT［x1(n)］=X1(k) DFT［x2(n)］=X2(k),線性,式中，a, b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。 ,2. 和 的長度N1和N2不等時， 選擇 為變換長度,短者 進行補零達到N點。線性性質(zhì)仍然成立,這里包括三層意思： (1) 先將x(n)進行周期延拓 (2)再進行移位 (3)最后取主值序列：,二、序列的圓周移位,1.定義,一個有限長序列x(n)的圓周移位定義為,,,由于我們?nèi)≈髦敌蛄?，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進來。如果把x(n)排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當于x(n)在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列 : 。,2.圓周移位的含義,3. 時域圓周移位定理 設x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)圓周移位，即,則圓周移位后的DFT為,證 利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。,再利用DFS和DFT關系,這表明，有限長序列的圓周移位在離散頻域中引入一個和頻率成正比的線性相移 ，而對頻譜的幅度沒有影響。,4. 頻域圓周移位定理 對于頻域有限長序列X(k)，也可看成是分布在一個N等分的圓周上，所以對于X(k)的圓周移位，利用頻域與時域的對偶關系，可以證明以下性質(zhì)：  若,則,這就是調(diào)制特性。它說明，時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。,三、共軛對稱性,1.周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量,同樣，有,周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對稱分量分別定義為:,2.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量,由于,所以,這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。,有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量分別定義為:,3.共軛對稱特性之一,證明：,,,,4.共軛對稱特性之二,證明：,可知：,5.共軛對稱特性之三,證明：,,,,,6.共軛對稱特性之四,證明：,7.共軛對稱特性之五、六,,8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱性,,,9.實、虛序列的對稱特性,當x(n)為實序列時，根據(jù)特性之三，則 X(k)=Xep(k) 又據(jù)Xep(k)的對稱性：,當x(n)為純虛序列時，根據(jù)特性之四，則 X(k)=Xop(k) 又據(jù)Xop(k)的對稱性：,,,,,,總結(jié)：共軛對稱性,純虛序列的共軛對稱性,實數(shù)序列的共軛對稱性,例：設x1(n)和x2(n)都是N點的實數(shù)序列，試用一次 N點DFT運算來計算它們各自的DFT:,例：求序列：x(n) = ?(n)+2 ?(n-1)+ 3?(n-2)+4 ?(n-3) 的4點DFT。,例：求序列：x(n) = ?(n)+2 ?(n-1)+ 3?(n-2)+4 ?(n-3) 的8點DFT。,四、 DFT形式下的帕塞伐定理,證,如果令y(n)=x(n)，則式變成,即,這表明一個序列在時域計算的能量與在頻域計算的能量是相等的。 ,四.圓周卷積和*** 1.時域卷積定理 設 和 均為長度為N的有限長序列， 且 ，,如果 ，則,證明：,相當于將 作周期卷積和后， 再取主值序列。,將 周期延拓：,則有：,在主值區(qū)間，所以：,同樣可證：,圓周卷積過程： 1）補零(當兩序列不等長時) 2）周期延拓(有限長序列變周期序列) 3）翻褶，取主值序列(周期序列的翻褶) 4）圓周移位 5）相乘相加,,,,,,,,,0,m,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,m,,,,,0,m,,,,,,,,,,,,,,,0,m,,,,,最后結(jié)果：,五.有限長序列的線性卷積與圓周卷積*** 1.線性卷積的長度 的長度為 的長度為 它們線性卷積為,的非零區(qū)間為 的非零區(qū)間為 兩不等式相加得 也就是 不為零的區(qū)間，為 長。 例如:,,,,,,1,0,1,2,n,,,,,,1,0,1,2,n,,3,,,,,,m,,,,,,n,2,1,0,,3,,,,1,4,5,2,3,3,2,1,2.有限長序列的線性卷積與圓周卷積,時域圓周卷積在頻域上相當于兩序列的DFT的乘積，而計算DFT可以采用它的快速算法——快速傅里葉變換（FFT）（見第4章）， 因此圓周卷積與線性卷積相比，計算速度可以大大加快。 但是實際問題大多總是要求解線性卷積。例如，信號通過線性時不變系統(tǒng)，其輸出就是輸入信號與系統(tǒng)的單位脈沖響應的線性卷積， 如果信號以及系統(tǒng)的單位脈沖響應都是有限長序列， 那么是否能用圓周卷積運算來代替線性卷積運算而不失真呢？下面就來討論這個問題。 設x1(n)是N1點的有限長序列（0≤n≤N1-1），x2(n)是N2點的有限長序列（0≤n≤N2-1）。,（1）先看它們的線性卷積,x1(m)的非零區(qū)間為,0≤m≤N1-1,x2(n-m)的非零區(qū)間為,0≤n-m≤N2-1,(2-43),將兩個不等式相加，得到,0≤n≤N1+N2-2,在上述區(qū)間外，不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0，因而y1(n)=0。所以y1(n)是N1+N2-1 點有限長序列，即線性卷積的長度等于參與卷積的兩序列的長度之和減1。例如，圖2-16 中，x1(n)為N1=4 的矩形序列（圖2-16（a）），x2(n)為N2=5 的矩形序列（圖2-16（b）），則它們的線性卷積y1(n)為N=N1+N2-1=8 點的有限長序列（圖 2-16（c））。,（2-44）,為了分析其圓周卷積，我們先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進行周期延拓,它們的周期卷積序列為,（2-45）,前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個非零值。因此可以看到， 如果周期卷積的周期LN1+N2-1，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交疊起來，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在L≥N1+N2-1 時，才沒有交疊現(xiàn)象。這時, 在y1(n)的周期延拓 中， 每一個周期L內(nèi)，前N1+N2-1個序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N2-1)個點上的序列值則是補充的零值。  圓周卷積正是周期卷積取主值序列,因此,所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為,（2-47）,滿足此條件后就有,即 x1(n) ○x2(n)=x1(n)*x2(n),L,圖2-16（d）、（e）、（f）正反映了（2-46）式的圓周卷積與線性卷積的關系。在圖2-16（d）中，L=6小于N1+N2-1=8，這時產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，其圓周卷積不等于線性卷積；而在圖2-16（e）、（f）中, L=8和L=10，這時圓周卷積結(jié)果與線性卷積相同，所得y(n)的前8點序列值正好代表線性卷積結(jié)果。 所以只要L≥N1+N2-1，圓周卷積結(jié)果就能完全代表線性卷積。,圖2-16 線性卷積與圓周卷積,圖2-16 線性卷積與圓周卷積,例 2-8 一個有限長序列為,（1） 計算序列x(n)的10點離散傅里葉變換。  （2） 若序列y(n)的DFT為,式中，X(k)是x(n)的10點離散傅里葉變換，求序列y(n)。,（3）若10點序列y(n)的10點離散傅里葉變換是,式中, X(k)是序列x(n)的10點DFT，W(k)是序列w(n)的10點DFT,求序列y(n)。,解  （1） 由式（2-30）可求得x(n)的10點DFT,（2）X(k)乘以一個WNkm形式的復指數(shù)相當于是x(n)圓周移位m點。 本題中m=-2, x(n)向左圓周移位了2點， 就有,y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8),（3）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進行圓周卷積，可以先計算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。 x(n)與w(n)的線性卷積為 z(n)=x(n)*w(n)=｛1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2｝ 圓周卷積為,在 0≤n≤9 求和中，僅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，對n=0, 1, 2, …, 9求和，得到：,所以10點圓周卷積為,y(n)=｛3, 3, 1, 1， 1, 3, 3, 2, 2, 2｝,3.7 抽樣Z變換--頻域抽樣理論 討論： 時域抽樣: 對一個頻帶有限的信號,根據(jù)抽樣定理對其進行抽樣,所得抽樣信號的頻譜是原帶限信號頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號恢復原信號。 頻域抽樣: 對一有限序列(時間有限序列)進行DFT所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT就是頻域抽樣。,,頻域抽樣定理要研究的問題,M點,N點,問題:,能否由頻域抽樣X(k)恢復序列x(n) 能否由頻域抽樣X(k)恢復序列x(z)或 若能恢復其條件是什么？如何推導內(nèi)插恢復公式?,2、由頻域抽樣恢復序列,一個絕對可和的非周期序列x(n)的Z變換為,由于x(n)絕對可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到,對 進行反變換,并令其為 ,則,,,,,x(n)為無限長序列—混疊失真 x(n)為有限長序列，長度為M 1) N≥M ，不失真 2) NM， 混疊失真,頻率采樣定理,若序列長度為M，則只有當頻域采樣點數(shù):,時，才有,即可由頻域采樣X(k)不失真地恢復原信號x(n) ，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。,,,,3、用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式,,,,,,,4、用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式,,,,3.8 利用DFT計算模擬信號的傅里葉變換（級數(shù)）對,信號的頻譜分析：計算信號的傅里葉變換,,,,,,1、對連續(xù)時間非周期信號的DFT逼近,1）將 x(t) 在 t 軸上等間隔 T 分段,2）將 x(n) 截短成有限長序列t=0~T0，N個抽樣點。,3）頻域抽樣：一個周期分N段，采樣間隔 ，時域周期延拓， 周期為,,,,2、對連續(xù)時間非周期信號的DFT逼近過程 1）時域抽樣 2）時域截斷 3）頻域抽樣,近似逼近：,,,,3、頻率響應的混疊失真及參數(shù)的選擇,同時提高信號最高頻率和頻率分辨率，需增加采樣點數(shù)N。,信號最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾,,,,,例：有一調(diào)幅信號 用DFT做頻譜分析，要求能分辨xa(t)的所 有頻率分量，問 (1)抽樣頻率應為多少赫茲? (2)抽樣時間間隔應為多少秒? (3)抽樣點數(shù)應為多少點？,（1）抽樣頻率應為,解：,（2）抽樣時間間隔應為,,,,,,,,,（1）混迭 對連續(xù)信號x(t)進行數(shù)字處理前，要進行采樣 采樣序列的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，周期為fs，如采樣率過低，不滿足采樣定理，fs2fh，則導致頻譜混迭，使一個周期內(nèi)的譜對原信號譜產(chǎn)生失真，無法恢復原信號，進一步的數(shù)字處理失去依據(jù)。,,（2） 泄漏 處理實際信號序列 x（n）時，一般總要將它截斷為一有限長序列，長為N點，相當于乘以一個矩形窗 w(n)=RN(n)。 矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當窗口趨于無窮大時，就是一個沖擊函數(shù)。 我們知道，時域的乘積對應頻域的卷積，所以，加窗后的頻譜實際是原信號頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的卷積，卷積的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直延伸到無窮。當窗口無窮大時，與沖擊函數(shù)的卷積才是其本身，這時無畸變，否則就有畸變。,,例如，信號為 ，是一單線譜，但當加窗后，線譜與抽樣函數(shù)進行卷積，原來在Ω0處的一根譜線變成了以Ω0為中心的，形狀為抽樣函數(shù)的譜線序列，原來在一個周期（Ωs）內(nèi)只有一個頻率上有非零值，而現(xiàn)在 一個周期內(nèi)幾乎所有頻率上都有非零值，即 的頻率成份從Ω0處“泄漏”到其它頻率處去了。 考慮各采樣頻率周期間頻譜“泄漏”后的互相串漏，卷積后還有頻譜混迭現(xiàn)象產(chǎn)生。,,,（3）柵欄效應 N點DFT是在頻率區(qū)間 [0，2π] 上對信號頻譜進行N點等間隔采樣，得到的是若干個離散的頻譜點 X（k），且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象一樣，只能在離散點處看到真實的景象，其余部分頻譜成分被遮擋， 所以稱之為柵欄效應。 減小柵欄效應方法：尾部補零，使譜線變密，增加頻域采樣點數(shù)，原來漏掉的某些頻譜分量就可能被檢測出來。,(4) DFT的分辨率,填補零值可以改變對DTFT的采樣密度，人們常常有一種誤解，認為補零可以提高DFT的頻率分辨率。事實上我們通常規(guī)定DFT的頻率分辨率為 ，這里的N是指信號x(n)的有效長度，而不是補零的長度。不同長度的x(n)其DTFT的結(jié)果是不同的；而相同長度的x(n)盡管補零的長度不同其DTFT的結(jié)果應是相同的，他們的DFT只是反映了對相同的DTFT采用了不同的采樣密度。,,參數(shù)選擇的一般原則：,若已知信號的最高頻率 ，為防止混疊，選定采樣頻率 ； 根據(jù)頻率分辯率 ，確定所需DFT的長度 (3) 和N確定以后，即可確定相應模擬信號的時間長度 這里T是采樣周期。,,,,,,,(5)周期信號的譜分析,對于連續(xù)的單一頻率周期信號 ， 為信號的頻率。 可以得到單一譜線的DFT結(jié)果，但這是和作DFT時數(shù)據(jù)的截取長度選得是否恰當有關，截取長度N選得合理， 可完全等于 的采樣。,,,,,,6,,,8,,,10,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,k,X(k),(a),(b),(c),(d),不同截取長度的正弦信號及其DFT結(jié)果,