《第21章一元二次方程》單元測(cè)試(2)含答案解析.doc

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《第21章 一元二次方程》 　 一、選擇題 1．有下列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④ +x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥ x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．方程3x2﹣x+=0的二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之積為（　?。? A．3 B．﹣ C． D．﹣9 3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（　?。? A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9 4．下列關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的是（　　） A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=0 5．某商品原價(jià)289元，經(jīng)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元，設(shè)平均每降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程正確的是（　　） A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289 6．如果關(guān)于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（　?。? A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0 7．方程3x（x﹣1）=5（x﹣1）的根為（　?。? A．x= B．x=1 C．x1=1 x2= D．x1=1 x2= 8．把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化為一元二次方程的一般形式是（　?。? A．5x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣5=0 C．5x2﹣2x+1=0 D．5x2﹣4x+6=0 9．若x=2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一個(gè)解．則m的值是（　　） A．6 B．5 C．2 D．﹣6 10．在某次聚會(huì)上，每?jī)扇硕嘉樟艘淮问郑腥斯参帐?0次，設(shè)有x人參加這次聚會(huì)，則列出方程正確的是（　?。? A．x（x﹣1）=10 B． =10 C．x（x+1）=10 D． =10 　 二、填空題 11．當(dāng)方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程時(shí)，m的值為　?。? 12．若x2+mx+9是一個(gè)完全平方式，則m的值是　?。? 13．已知x2+3x+5的值為11，則代數(shù)式3x2+9x+12的值為　?。? 14．若2是關(guān)于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一個(gè)根，則以2和k為兩邊的等腰三角形的周長(zhǎng)是　?。? 15．若+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　?。? 16．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩年的增加，到2011年提高到345.6元．則該城市兩年來(lái)最低生活保障的平均年增長(zhǎng)率是　?。? 17．三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣12x+35=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為　?。? 18．如果關(guān)于x的方程x2﹣2x+m=0（m為常數(shù)）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，那么m=　?。? 19．已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一個(gè)根為0，那么m的值為　?。? 20．在一幅長(zhǎng)50cm，寬30cm的風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)規(guī)劃土地的面積是1800cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程為　?。? 　 三、解答題 21．用指定的方法解方程 （1）（x+2）2﹣25=0（直接開(kāi)平方法） （2）x2+4x﹣5=0（配方法） （3）4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0（因式分解法） （4）2x2+8x﹣1=0（公式法） 22．將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，規(guī)定=ad﹣bc，上述記號(hào)就叫做2階行列式．若=6，求x的值． 23．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0． （1）求證：不論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根． （2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為2，另兩邊長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)． 24．某種流感病毒，有一人患了這種流感，在每輪傳染中一人將平均傳給x人． （1）求第一輪后患病的人數(shù)；（用含x的代數(shù)式表示） （2）在進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時(shí)隔離并治愈，問(wèn)第二輪傳染后總共是否會(huì)有21人患病的情況發(fā)生，請(qǐng)說(shuō)明理由． 25．某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加利潤(rùn)，盡量減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，若商場(chǎng)每天要獲利潤(rùn)1200元，請(qǐng)計(jì)算出每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？ 　  《第21章 一元二次方程》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．有下列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④ +x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥ x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 【考點(diǎn)】一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可． 【解答】解：一元二次方程有②⑥，共2個(gè)， 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程． 　 2．方程3x2﹣x+=0的二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之積為（　　） A．3 B．﹣ C． D．﹣9 【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式． 【分析】首先確定二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，然后再求積即可． 【解答】解：方程3x2﹣x+=0的二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是﹣，常數(shù)項(xiàng)是， 3（﹣）=﹣9， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)． 　 3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（　?。? A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9 【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法． 【專(zhuān)題】方程思想． 【分析】配方法的一般步驟： （1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊； （2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1； （3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方． 【解答】解：由原方程移項(xiàng)，得 x2﹣2x=5， 方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣2的一半的平方1，得 x2﹣2x+1=6 ∴（x﹣1）2=6． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)． 　 4．下列關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的是（　?。? A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=0 【考點(diǎn)】根的判別式． 【專(zhuān)題】計(jì)算題． 【分析】分別計(jì)算A、B中的判別式的值；根據(jù)判別式的意義進(jìn)行判斷；利用因式分解法對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷． 【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣411=﹣3＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、△=12﹣411=﹣3＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、x﹣1=0或x+2=0，則x1=1，x2=﹣2，所以C選項(xiàng)正確； D、（x﹣1）2=﹣1，方程左邊為非負(fù)數(shù)，方程右邊為0，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 　 5．某商品原價(jià)289元，經(jīng)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元，設(shè)平均每降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程正確的是（　?。? A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289 【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程． 【專(zhuān)題】增長(zhǎng)率問(wèn)題． 【分析】增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量（1+增長(zhǎng)率），本題可參照增長(zhǎng)率問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，如果設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，可以用x表示兩次降價(jià)后的售價(jià)，然后根據(jù)已知條件列出方程． 【解答】解：根據(jù)題意可得兩次降價(jià)后售價(jià)為289（1﹣x）2， ∴方程為289（1﹣x）2=256． 故選答：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解決此類(lèi)兩次變化問(wèn)題，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是變化前的原始量，c是兩次變化后的量，x表示平均每次的增長(zhǎng)率． 本題的主要錯(cuò)誤是有部分學(xué)生沒(méi)有仔細(xì)審題，把答案錯(cuò)看成B． 　 6．如果關(guān)于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（　　） A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0 【考點(diǎn)】根的判別式． 【專(zhuān)題】壓軸題． 【分析】若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b2﹣4ac＞0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍． 【解答】解：由題意知，k≠0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0， ∴k＞且k≠0． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： （1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； （3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 注意方程若為一元二次方程，則k≠0． 　 7．方程3x（x﹣1）=5（x﹣1）的根為（　?。? A．x= B．x=1 C．x1=1 x2= D．x1=1 x2= 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先移項(xiàng)，再提公因式，解一元一次方程即可． 【解答】解：3x（x﹣1）﹣5（x﹣1）=0， （x﹣1）（3x﹣5）=0， x﹣1=0或3x﹣5=0， x1=1，x2=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵． 　 8．把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化為一元二次方程的一般形式是（　?。? A．5x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣5=0 C．5x2﹣2x+1=0 D．5x2﹣4x+6=0 【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式． 【分析】先把（x﹣）（x+）轉(zhuǎn)化為x2﹣2=x2﹣5； 然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展開(kāi)得到4x2﹣4x+1． 再合并同類(lèi)項(xiàng)即可得到一元二次方程的一般形式． 【解答】解： （x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0 即x2﹣2+4x2﹣4x+1=0 移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得：5x2﹣4x﹣4=0 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化簡(jiǎn)成為一元二次方程的一般形式． 　 9．若x=2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一個(gè)解．則m的值是（　?。? A．6 B．5 C．2 D．﹣6 【考點(diǎn)】一元二次方程的解． 【分析】先把x的值代入方程即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程，解一元一方程即可． 【解答】解：把x=2代入方程得：4﹣2m+8=0， 解得m=6． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，此題比較簡(jiǎn)單，易于掌握． 　 10．在某次聚會(huì)上，每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?，所有人共握?0次，設(shè)有x人參加這次聚會(huì)，則列出方程正確的是（　　） A．x（x﹣1）=10 B． =10 C．x（x+1）=10 D． =10 【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程． 【專(zhuān)題】其他問(wèn)題；壓軸題． 【分析】如果有x人參加了聚會(huì)，則每個(gè)人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每?jī)蓚€(gè)人都握了一次手，因此要將重復(fù)計(jì)算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，據(jù)此可列出關(guān)于x的方程． 【解答】解：設(shè)x人參加這次聚會(huì)，則每個(gè)人需握手：x﹣1（次）； 依題意，可列方程為： =10； 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】理清題意，找對(duì)等量關(guān)系是解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵；需注意的是本題中“每?jī)扇硕嘉樟艘淮问帧钡臈l件，類(lèi)似于球類(lèi)比賽的單循環(huán)賽制． 　 二、填空題 11．當(dāng)方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程時(shí)，m的值為　﹣1?。? 【考點(diǎn)】一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，列方程和不等式解答． 【解答】解：因?yàn)樵绞顷P(guān)于x的一元二次方程， 所以m2+1=2， 解得m=1． 又因?yàn)閙﹣1≠0， 所以m≠1， 于是m=﹣1． 故答案為：﹣1． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．本題容易忽視的條件是m﹣1≠0． 　 12．若x2+mx+9是一個(gè)完全平方式，則m的值是　6?。? 【考點(diǎn)】完全平方式． 【專(zhuān)題】計(jì)算題． 【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值． 【解答】解：∵x2+mx+9是一個(gè)完全平方式， ∴m=6， 故答案為：6． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵． 　 13．已知x2+3x+5的值為11，則代數(shù)式3x2+9x+12的值為　30　． 【考點(diǎn)】代數(shù)式求值． 【專(zhuān)題】推理填空題． 【分析】把x2+3x+5=11代入代數(shù)式3x2+9x+12，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：∵x2+3x+5的值為11， ∴3x2+9x+12 =3（x2+3x+5）﹣3 =311﹣3 =33﹣3 =30 故答案為：30． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了代數(shù)式求值問(wèn)題，要熟練掌握，注意代入法的應(yīng)用． 　 14．若2是關(guān)于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一個(gè)根，則以2和k為兩邊的等腰三角形的周長(zhǎng)是　12?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】將2代入方程求得k的值，題中沒(méi)有指明哪個(gè)是底哪個(gè)是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析，從而求得其周長(zhǎng)． 【解答】解：把2代入方程x2﹣（3+k）x+12=0得，k=5 （1）當(dāng)2為腰時(shí)，不符合三角形中三邊的關(guān)系，則舍去； （2）當(dāng)5是腰時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系，則其周長(zhǎng)為2+5+5=12； 所以這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是12． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用． 　 15．若+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　k≤4且k≠0?。? 【考點(diǎn)】根的判別式；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根． 【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的不等式即可解答． 【解答】解：∵ +|b﹣1|=0， ∴a=4，b=1， 則原方程為kx2+4x+1=0， ∵該一元二次方程有實(shí)數(shù)根， ∴△=16﹣4k≥0， 解得，k≤4． ∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程， ∴k≠0， 故答案為k≤4且k≠0． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，利用判別式得到關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵． 　 16．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩年的增加，到2011年提高到345.6元．則該城市兩年來(lái)最低生活保障的平均年增長(zhǎng)率是　20%　． 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【專(zhuān)題】增長(zhǎng)率問(wèn)題；壓軸題． 【分析】設(shè)該城市兩年來(lái)最低生活保障的平均年增長(zhǎng)率是 x，根據(jù)最低生活保障在2009年是240元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解． 【解答】解：設(shè)該城市兩年來(lái)最低生活保障的平均年增長(zhǎng)率是 x， 240（1+x）2=345.6， 1+x=1.2， x=20%或x=﹣220%（舍去）． 故答案為：20%． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是增長(zhǎng)率問(wèn)題，關(guān)鍵清楚增長(zhǎng)前為240元，兩年變化后為345.6元，從而求出解． 　 17．三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣12x+35=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為　12?。? 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系． 【分析】先解一元二次方程，由于未說(shuō)明兩根哪個(gè)是腰哪個(gè)是底，故需分情況討論，從而得到其周長(zhǎng)． 【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0， 得x1=5，x2=7， ∵1＜第三邊＜7， ∴第三邊長(zhǎng)為5， ∴周長(zhǎng)為3+4+5=12． 【點(diǎn)評(píng)】此題是一元二次方程的解結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意分類(lèi)討論． 　 18．如果關(guān)于x的方程x2﹣2x+m=0（m為常數(shù)）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，那么m=　1?。? 【考點(diǎn)】根的判別式． 【專(zhuān)題】計(jì)算題． 【分析】本題需先根據(jù)已知條件列出關(guān)于m的等式，即可求出m的值． 【解答】解：∵x的方程x2﹣2x+m=0（m為常數(shù)）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 ∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣41?m=0 4﹣4m=0 m=1 故答案為：1 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式，在解題時(shí)要注意對(duì)根的判別式進(jìn)行靈活應(yīng)用是本題的關(guān)鍵． 　 19．已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一個(gè)根為0，那么m的值為　﹣3?。? 【考點(diǎn)】一元二次方程的解；一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到m﹣1≠0，由方程的解的定義，把x=0代入已知方程，列出關(guān)于m的新方程，通過(guò)解新方程來(lái)求m的值． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一個(gè)根為0， ∴m2+2m﹣3=0，且m﹣1≠0， ∴（m﹣1）（m+3）=0，且m﹣1≠0， 解得，m=﹣3， 故答案是：﹣3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義和一元二次方程的定義．注意二次項(xiàng)系數(shù)不等于零． 　 20．在一幅長(zhǎng)50cm，寬30cm的風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)規(guī)劃土地的面積是1800cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程為　x2+40x﹣75=0　． 【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程． 【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題． 【分析】如果設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么掛圖的長(zhǎng)和寬應(yīng)該為（50+2x）和（30+2x），根據(jù)總面積即可列出方程． 【解答】解：設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么掛圖的長(zhǎng)和寬應(yīng)該為（50+2x）和（30+2x）， 根據(jù)題意可得出方程為：（50+2x）（30+2x）=1800， ∴x2+40x﹣75=0． 【點(diǎn)評(píng)】一元二次方程的運(yùn)用，此類(lèi)題是看準(zhǔn)題型列面積方程，題目不難，重在看準(zhǔn)題． 　 三、解答題 21．（2015秋?大石橋市月考）用指定的方法解方程 （1）（x+2）2﹣25=0（直接開(kāi)平方法） （2）x2+4x﹣5=0（配方法） （3）4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0（因式分解法） （4）2x2+8x﹣1=0（公式法） 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）把﹣25移到等號(hào)的右邊，然后利用直接開(kāi)平方法求解； （2）把﹣5移到等號(hào)的右邊，然后等號(hào)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)一半的平方，再開(kāi)方求解； （3）直接利用平方差公式把方程左邊分解因式，進(jìn)而整理為兩個(gè)一次因式的乘積，最后解一元一次方程即可； （4）首先找出方程中a、b和c的值，求出△，進(jìn)而代入求根公式求出方程的解． 【解答】解：（1）∵（x+2）2﹣25=0， ∴（x+2）2=25， ∴x+2=5， ∴x1=3，x2=﹣7； （2）∵x2+4x﹣5=0， ∴x2+4x+4=9， ∴（x+2）2=9， ∴x+2=3， ∴x1=﹣5，x2=1； （3）∵4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0， ∴[2（x+3）+（x﹣2）][2（x+3）﹣（x﹣2）]=0， ∴（3x+4）（x+8）=0， ∴3x+4=0或x+8=0， ∴x1=﹣，x2=﹣8； （4）∵a=2，b=8，c=﹣1， ∴△=b2﹣4ac=64+8=72， ∴x==， ∴x1=，x2=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法． 　 22．將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，規(guī)定=ad﹣bc，上述記號(hào)就叫做2階行列式．若=6，求x的值． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開(kāi)平方法． 【專(zhuān)題】新定義． 【分析】根據(jù)題意得出方程（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）=6，整理后用直接開(kāi)平方法求出即可． 【解答】解：根據(jù)題意得：（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）=6， 整理得：2x2+2=6， x2=2， x=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程． 　 23．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0． （1）求證：不論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根． （2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為2，另兩邊長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】根的判別式；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）求出根的判別式，利用偶次方的非負(fù)性證明； （2）分△ABC的底邊長(zhǎng)為2、△ABC的一腰長(zhǎng)為2兩種情況解答． 【解答】（1）證明：△=（k+3）2﹣43k=（k﹣3）2≥0， 故不論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根； （2）解：當(dāng)△ABC的底邊長(zhǎng)為2時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 則（k﹣3）2=0， 解得k=3， 方程為x2﹣6x+9=0， 解得x1=x2=3， 故△ABC的周長(zhǎng)為：2+3+3=8； 當(dāng)△ABC的一腰長(zhǎng)為2時(shí)，方程有一根為2， 方程為x2﹣5x+6=0， 解得，x1=2，x2=3， 故△ABC的周長(zhǎng)為：2+2+3=7． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程根的判別式、等腰三角形的性質(zhì)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根． 　 24．某種流感病毒，有一人患了這種流感，在每輪傳染中一人將平均傳給x人． （1）求第一輪后患病的人數(shù)；（用含x的代數(shù)式表示） （2）在進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時(shí)隔離并治愈，問(wèn)第二輪傳染后總共是否會(huì)有21人患病的情況發(fā)生，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【專(zhuān)題】應(yīng)用題． 【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人．開(kāi)始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個(gè)人，他傳染了x人，則第一輪后共有（1+x）人患了流感； （2）第二輪傳染中，這些人中的每個(gè)人又傳染了x人，因進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時(shí)隔離并治愈，則第二輪后共有x﹣1+x（x﹣1）人患了流感，而此時(shí)患流感人數(shù)為21，根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系列出方程若能求得正整數(shù)解即可會(huì)有21人患?。? 【解答】解：（1）（1+x）人， （2）設(shè)在每輪傳染中一人將平均傳給x人 根據(jù)題意得：x﹣1+x（x﹣1）=21 整理得：x2﹣1=21 解得：， ∵x1，x2都不是正整數(shù)， ∴第二輪傳染后共會(huì)有21人患病的情況不會(huì)發(fā)生． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時(shí)隔離并治愈列出方程并求解． 　 25．（2012?天津校級(jí)模擬）某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加利潤(rùn)，盡量減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，若商場(chǎng)每天要獲利潤(rùn)1200元，請(qǐng)計(jì)算出每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？ 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加利潤(rùn)，盡量減少庫(kù)存，要降價(jià)，如果每件襯衫降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，若商場(chǎng)每天要獲利潤(rùn)1200元，可列方程求解． 【解答】解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，據(jù)題意得： （40﹣x）（20+2x）=1200， 解得x=10或x=20． 因題意要盡快減少庫(kù)存，所以x取20． 答：每件襯衫至少應(yīng)降價(jià)20元． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是看出降價(jià)和銷(xiāo)售量的關(guān)系，然后以利潤(rùn)做為等量關(guān)系列方程求解． 　 第16頁(yè)（共16頁(yè)）