通信原理習題-【例1-1】某數(shù)字通信系統(tǒng)用正弦載波的四.doc

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《通信原理》習題 第一章 緒論 例1-1 例1-2 例1-3 例1-4 第二章 隨機信號分析 例2-1 例2-2 第三章 信道 例3-1 例3-2 例3-3 第四章 模擬調(diào)制系統(tǒng) 例4-1 例4-2 例4-3 例4-4 第五章 數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng) 例5-1 例5-2 例5-3 例5-4 例5-5 例5-6 例5-7 第六章 正弦載波數(shù)字調(diào)制系統(tǒng) 例6-1 例6-2 例6-3 例6-4 例6-5 例6-6 第七章 模擬信號的數(shù)字傳輸 例7-1 例7-2 例7-3 例7-4 例7-5 第八章 數(shù)字信號的最佳接收 例8-1 例8-2 第九章 同步原理 例9-1 【例1-1】 某數(shù)字通信系統(tǒng)用正弦載波的四個相位0、、π、來傳輸信息，這四個相位是互相獨立的。 (1) 每秒鐘內(nèi)0、、π、出現(xiàn)的次數(shù)分別為500、125、125、250，求此通信系統(tǒng)的碼速率和信息速率； (2) 每秒鐘內(nèi)這四個相位出現(xiàn)的次數(shù)都為250，求此通信系統(tǒng)的碼速率和信息速率。 解： (1) 每秒鐘傳輸1000個相位，即每秒鐘傳輸1000個符號，故 RB=1000 Baud 每個符號出現(xiàn)的概率分別為P(0)=,P=,P(π)=,P=，每個符號所含的平均信息量為 H(X)=(1+3+2)bit/符號=1 bit/符號 信息速率Rb=(10001)bit/s=1750 bit/s (2) 每秒鐘傳輸?shù)南辔粩?shù)仍為1000，故 RB=1000 Baud 此時四個符號出現(xiàn)的概率相等，故 H(X)=2 bit/符號 Rb=(10002)bit/s=2000 bit/s 【例1-2】已知等概獨立的二進制數(shù)字信號的信息速率為2400 bit/s。 (1) 求此信號的碼速率和碼元寬度； (2) 將此信號變?yōu)樗倪M制信號，求此四進制信號的碼速率、碼元寬度和信息速率。 解：(1) RB=Rb/log2M=(2400/log22)Baud=2400 Baud T == s=0.42 ms (2) RB=(2400/log24)Baud=1200 Baud T== s=0.83 ms Rb=2400 b/s 【例1-3】設一信息源的輸出由128個不同符號組成。其中16個出現(xiàn)的概率為1/32，其余112個出現(xiàn)概率為1/224。信息源每秒發(fā)出1000個符號，且每個符號彼此獨立。試計算該信息源的平均信息速率。 解：每個符號的平均信息量為 H(X)=16log232 +112log2224 =6.404 bit/符號 已知碼元速率RB=1000 Baud ,故該信息源的平均信息速率為 Rb= RBH(X)=6404 bit/s 【例1-4】一個由字母A，B，C，D組成的字，對于傳輸?shù)拿恳粋€字母用二進制脈沖編碼，00代替A，01代替B，10代替C，11代替D，每個脈沖寬度為5ms. (1)不同的字母是等可能出現(xiàn)時，試計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾剩? (2)若每個字母出現(xiàn)的可能性分別為 PA=， PB=， PC=， PD= 試計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾省? 解：(1)每個字母的持續(xù)時間為25 ms，所以字母傳輸速率為 RB4==100Baud 不同的字母等可能出現(xiàn)時，每個字母的平均信息量為 H(X)= log24 =2 bit/符號 平均信息速率為 Rb= RB4H(X)=200 bit/s (2) 每個字母的平均信息量為 H(X)= -log2 -log2-log2-log2 =1.985 bit/符號 所以，平均信息速率為 Rb= RB4H(X)=198.5 bit/s 【例2-1】設隨機過程(t)可表示成(t)=2cos(2πt +) ，式中是一個離散隨機變量，且(=0)=1/2、(=/2)=1/2，試求E[(1)]及(0，1)。 解：在t=1時，(t)的數(shù)學期望為 (1)= = (=0)+(=) =2cos0+2cos =1 在t1=0時，t2=1時，(t)的自相關函數(shù) (0，1)= = =(=0)+(=) =+ =2 【例2-2】設z(t)=x1cos-x2sin是一隨機過程，若x1和x2是彼此獨立且具有均值為0、方差為的正態(tài)隨機變量，試求 (1)，； (2) z(t)的一維分布密度函數(shù)f(z)； (3)B(t1，t2)與R(t1，t2)。 解： (1) = = cos-sin =0 = = cos2-2cossin+sin2 因為=+==，同理=。 又因為x1和x2彼此獨立，則有 = ，所以 = cos2+sin2= (2)因為z(t)是正態(tài)隨機變量x1和x2經(jīng)線性變換所得，所以z(t)也是正態(tài)隨機過程。 同時z(t)的方差 =-= 所以z(t)的一維分布密度函數(shù) f(z)= (3) R(t1，t2)= = = = 因為=0，所以有 B(t1，t2)= R(t1，t2)- = R(t1，t2) = 【例3-1】設一恒參信道的幅頻特性和相頻特性分別為 其中，K0和td都是常數(shù)。試確定信號s(t)通過該信道后的輸出信號的時域表示式，并討論之。 解：該恒參信道的傳輸函數(shù)為 = 沖激響應為 h(t)=K0δ(t-td) 輸出信號為 y(t)=s(t)* h(t)=K0s(t-td) 討論：該恒參信道滿足無失真條件，所以信號在傳輸過程中無畸變。 【例3-2】 黑白電視圖像每幀含有3105個像素，每個像素有16個等概出現(xiàn)的亮度等級。要求每秒鐘傳輸30幀圖像。若信道輸出S/N=30 dB，計算傳輸該黑白電視圖像所要求的信道的最小帶寬。 解： 每個像素攜帶的平均信息量為 H(x)=(log216) bit/符號=4 bit/符號 一幀圖像的平均信息量為 I=(43105) bit=12105 bit 每秒鐘傳輸30幀圖像時的信息速率為 Rb=(1210530) bit/s=36 Mbit/s 令 Rb=C=Blog2（1+） 得 B= 即傳輸該黑白電視圖像所要求的最小帶寬為3.61 MHz。 【例3-3】 設數(shù)字信號的每比特信號能量為Eb，信道噪聲的雙邊功率譜密度為n0/2，試證明：信道無差錯傳輸?shù)男旁氡菶b/n0的最小值為-1.6 dB。 證： 信號功率為 S=EbRb 噪聲功率為 N=n0B 令C=Rb，得 由此得 ， dB 【例4-1】 根據(jù)右圖所示的調(diào)制信號波形，試畫出DSB及AM信號的波形圖，并比較它們分別通過包絡檢波器后的波形差別。 解：DSB及AM波形分別如下圖(a)、(b)所示。 DSB信號通過包絡檢波后的波形圖如下圖(a)所示，AM信號通過包絡檢波后的波形圖如(b)所示。可見，m1(t)有嚴重失真，m2(t)無失真，說明不能用包絡檢波法解調(diào)DSB信號。 【例4-2】 某調(diào)制方框圖如下圖(b)所示。已知m(t)的頻譜如下圖(a)所示，載頻ω1<<ω2，ω1>ωH，且理想低通濾波器的截止頻率為ω1，試求輸出信號s(t)，并說明s(t)為何種已調(diào)信號。 解： 方法一：時域法 兩個理想低通輸出都是下邊帶信號，上支路的載波為cosω1t，下支路的載波為sinω1t。 d(t)=Am(t)cosω1t+A(t)sinω1t e(t)=Am(t)sinω1t-A(t)cosω1t 由此得 s(t)=f(t)+g(t) =Am(t)(cosω1t+sinω1t)cosω2t+A(sinω1t-cosω1t)sinω2t =Am(t)cos(ω2-ω1)t-Asin(ω2-ω1)t 可知，s(t)是一個載頻為ω2-ω1的上邊帶信號。 方法二：頻域法 上支路各點信號的頻譜表達式為 Sb(ω)=［M(ω+ω1)+M(ω-ω1)］ Sd(ω)=［M(ω+ω1)+M(ω-ω1)］HL(ω) Sf(ω)=［Sd(ω+ω2)+Sd(ω-ω2)］ 下支路各點信號的頻譜表達式為 Sc(ω)=［M(ω+ω1)-M(ω-ω1)］ Se(ω)=［M(ω+ω1)-M(ω-ω1)］HL(ω) Sg(ω)=Se(ω)*［δ(ω+ω2)-δ(ω-ω2)］ =［M(ω+ω1)-M(ω-ω1)］HL(ω)*［δ(ω-ω2)-δ(ω+ω2)］ S(ω)=Sf(ω)+Sg(ω) 各點信號頻譜圖如下圖所示。由圖可知，s(t)是一個載頻為ω2-ω1的上邊帶信號，即 s(t)=Am(t)cos(ω2-ω1)t-Asin(ω2-ω1)t 【例4-3】設某信道具有均勻的雙邊噪聲功率譜密度Pn(f)=0.510-3 W/Hz，在該信道中傳輸振幅調(diào)制信號，并設調(diào)制信號m(t)的頻帶限制于5 kHz，載頻是100 kHz，邊帶功率為10 kW，載波功率為40 kW。若接收機的輸入信號先經(jīng)過一個合理的理想帶通濾波器，然后再加至包絡檢波器進行解調(diào)。試求： (1) 解調(diào)器輸入端的信噪功率比； (2) 解調(diào)器輸出端的信噪功率比； (3) 制度增益G。 解： (1) Si=Sc+Sm=(40+10) kW=50 kW Ni=2Pn(f)B=(20.510-325103) W=10 W (2) SAM(t)=［A+m(t)］cosωct=Acosωct+m(t)cosωct 由已知邊帶功率值可得 包絡檢波器輸出信號和噪聲分別為 mo(t)=m(t) no(t)=nc(t) 所以，包絡檢波器輸出信號功率和噪聲功率分別為 So= =20 kW No= =Pn(f)2B=10 W 檢波器輸出信噪功率比為 (3) 制度增益為 【例4-4】 設有一個頻分多路復用系統(tǒng)，副載波用SSB調(diào)制，主載波用FM調(diào)制。如果有60路等幅的音頻輸入通路，則每路頻帶限制在3.3 kHz以下，防護頻帶為0.7 kHz。 (1) 如果最大頻偏為800 kHz，試求傳輸信號的帶寬； (2) 試分析與第1路相比，第60路輸出信噪比降低的程度(假定鑒頻器輸入的噪聲是白噪聲，且解調(diào)器中無去加重電路)。 思路 本系統(tǒng)的原理方框圖如下圖所示。 因為鑒頻器輸出噪聲功率譜密度與頻率平方成正比，所以接收端各個帶通濾波器輸出噪聲功率不同，帶通濾波器中心頻率越高，輸出噪聲功率越大。鑒頻器輸出的各路SSB信號功率與它們所處的頻率位置無關，因此，各個SSB解調(diào)器輸入信噪比不同。第一路SSB信號位于整個頻帶的最低端，第60路SSB信號處于頻帶的最高端。故第60路SSB解調(diào)器輸入信噪比最小，而第1路信噪比最高。只要求出第1路和第60路SSB解調(diào)器輸入噪聲，就可以確定第60路輸出信噪比相對于第1路信噪比的降低程度。 解： (1) 60路SSB信號的帶寬為 B=［60(3.3+0.7)］ kHz=240 kHz 調(diào)頻器輸入信號的最高頻率為 fH=fL+B 當頻分復用SSB信號的最低頻率fL=0時，fH=B=240 kHz，F(xiàn)M信號帶寬為 BFM=2(Δf+fH)=［2(800+240)］ kHz=2080 kHz (2) 鑒頻器輸出噪聲功率譜密度為 第1路SSB信號的頻率范圍為0～4000 Hz，第60路SSB信號的頻率范圍為236000～240000 Hz。對Pn(f)在不同頻率范圍內(nèi)積分，可得第1路和第60路SSB解調(diào)器的輸入噪聲。 與第1路相比，第60路輸出信噪比降低的分貝數(shù)為 (10lg)dB=(10lg10621) dB≈40 dB 頻分復用SSB信號的最低頻率fL不可能為0，Ni1、Ni60隨fL增加而增加，但兩者之比減小，即與第1路相比，第60路輸出信噪比降低的分貝數(shù)小于40 dB。 【例5-1】已知信息代碼為1010000011000011，試確定相應的傳號差分碼、CMI碼、數(shù)字雙相碼、AMI碼以及HDB3碼，并分別畫出它們的波形。 解： 【例5-2】 有4個連1和4個連0交替出現(xiàn)的序列，畫出單極性非歸零碼、AMI碼、HDB3碼所對應的波形圖。 思路 單極性非歸零碼、AMI碼的編碼規(guī)律比較簡單。對HDB3碼的編碼規(guī)律比較熟悉后即可直接由信息代碼求出HDB3碼，并進而畫出波形圖。由于序列中4個連1和4個連0是交替出現(xiàn)的，故相鄰的4個連0碼組之間1碼的個數(shù)肯定是偶數(shù)個，因此HDB3碼中的每個取代節(jié)都應是B00V。 解： 單極性非歸零碼、AMI碼、HDB3碼及其波形圖如下圖所示。 【例5-3】 設隨機二進制序列中的1碼出現(xiàn)的概率為0.5，對應一個振幅等于1、寬度等于碼元間隔Ts的矩形脈沖，0碼對應0電平。 (1) 求其功率譜密度及功率，并畫出功率譜曲線，求譜零點帶寬； (2) 若1碼對應一個占空比等于0.5的矩形脈沖，0碼仍為0電平，重新回答(1)中的問題； (3) 能否從上述兩個信號中用濾波法直接提取碼元同步所需的頻率fs=1/Ts的分量?若能，給出該分量的功率； (4) 分析離散譜fs的功率與1碼概率P的關系。 思路 第一個信號為單極性非歸零碼，第二個信號為占空比等于0.5的單極性歸零碼，它們的基本波形為DTs(t)和D0.5Ts(t)。這兩個信號都是相同波形隨機序列，可用式(5-3)求其功率譜。若功率譜中含有fs=1/Ts的離散譜，則可用濾波法直接提取頻率為fs=1/Ts的位定時信號，否則不能。 Ps(f)=fsP(1-P)(a1-a2)2G2(f)+f2s|Pa1+(1-P)a2|2G2(mfs)δ(f-mfs) (5-3) 傅氏變換對 Dτ(t)←→τSa=τ 是本課程中常用公式，此題中τ=Ts或τ=0.5Ts。 解: (1) P=0.5,a1=1,a2=0 G(f)=TsSa(πfTs)=TsSa(πf/fs) 代入式(5-3)得 Ps(f)=fs0.50.5T2sSa2(πf/fs)+f2s0.52T2sSa2(mπfs/fs)δ(f-mfs) =0.25TsSa2(πf/fs)+0.25 Sa2(mπ)δ(f-mfs) 由于 sin(mπ)=0 所以 Sa(mπ)=0 故 Ps(f)=0.25TsSa2(πf/fs) 功率譜密度曲線如下圖所示。 由圖可知，譜零點帶寬為Bs=fs。 信號功率為 S=Ps(f)df=0.25 TsSa2(πf/fs)df =0.25fs T2sSa2(πf/fs)df 根據(jù)帕塞瓦爾定理 T2sSa2(πf/fs)df= |G(f)|2df=D2Ts(t)dt=T2s 得 S=0.25fsTs2 =0.25Ts (2) P=0.5 G(f)=0.5TsSa(0.5πfTs)=0.5TsSa(0.5πf/fs) Ps(f)=0.0625TsSa2(0.5πf/fs)+0.0625(0.5mπ)δ(f-mfs) 功率譜密度曲線如下圖所示。 由圖可知，譜零點帶寬為Bs=2fs。 信號功率為 S=0.0625 TsSa2(0.5πf/fs)df+0.0625 Sa2(0.5mπ)δ(f-mfs)df =0.0625fsT2sSa2(0.5πf/fs)df+0.0625Sa2(0.5mπ) =0.0625Ts+0.0625Sa2(0.5mπ) (3) 在(1)中無頻率等于fs的離散譜，在(2)中有頻率等于fs的離散譜，故可以從(2)中用濾波法提取碼元同步信號(即位同步信號)。 頻率為fs離散譜的功率為 S=20.0625Sa2(0.5π)=(0.125sin2(0.5π)/(0.5π)2 W=0.05 W (4) 在第2個信號中有離散譜fs，若P為任意值，則此信號的離散譜為 0.25P2Sa2(0.5mπ)δ(f-mfs) 頻率為fs的離散譜功率為 S=(0.5P2sin2(0.5π)/(0.5π)2) W=0.2P2 W 小結 以矩形脈沖為基本波形的二進制相同波形隨機序列的譜零點帶寬等于脈沖寬度的倒數(shù)，占空比為1時，譜零點帶寬在數(shù)值上等于碼速率；單極性歸零碼中含有頻率等于碼速率的離散譜，離散譜的功率隨1碼的概率增大而增大(設1碼傳送脈沖)。上述結論也可以推廣到各碼元獨立的M進制相同波形隨機序列。 【例5-4】 設某二進制數(shù)字基帶信號的基本脈沖為三角形脈沖，如右圖所示。圖中Ts為碼元間隔，數(shù)字信息“1”“0”分別用g(t)的有無表示，且“1”和“0”出現(xiàn)的概率相等。 (1) 求該數(shù)字基帶信號的功率譜密度； (2) 能否用濾波法從該數(shù)字基帶信號中提取碼元同步所需的頻率fs=1/Ts的分量?若能，試計算該分量的功率。 思路 將底部寬度為τ、高度為1的三角形時域函數(shù)表示為Δτ(t)，傅氏變換對為 Δτ(t)←→ 據(jù)此式可求得本題中g(t)所對應的G(f)，再由式(5-3)即可求解。 Ps(f)=fsP(1-P)(a1-a2)2G2(f)+f2s|Pa1+(1-P)a2|2G2(mfs)δ(f-mfs) (5-3) 解： (1) P=0.5,a1=1,a2=0 G(f)= Ps(f)=fsP(1-P)(a1-a2)2G2(f)+f2s|Pa1+(1-P)a2|2G2(mfs)δ(f-mfs) =+δ(f-mfs) (2) 頻率fs=1/Ts離散譜分量為 所以可以用濾波法從該數(shù)字基帶信號中提取碼元同步所需要的頻率fs=1/Ts的分量，該分量的功率為 S=2A2/π4=0.02A2 【例5-5】 某基帶系統(tǒng)的頻率特性是截止頻率為1 MHz、幅度為1的理想低通濾波器。 (1) 試根據(jù)系統(tǒng)無碼間串擾的時域條件求此基帶系統(tǒng)無碼間串擾的碼速率。 (2) 設此系統(tǒng)傳輸信息速率為3 Mbps，能否無碼間串擾? 思路 此題需求系統(tǒng)的沖激響應。系統(tǒng)的頻率特性是一個幅度為1、寬度為ω0=4π106 rad/s的門函數(shù)(雙邊頻率特性)Dω0(ω)，根據(jù)傅氏變換的對稱性可得 Dω0(ω)←→=2106Sa(2π106t) 無碼間串擾的時域條件為 式中，Ts為碼元間隔。所以，根據(jù)沖激響應波形就可確定此系統(tǒng)無碼間串擾的碼速率。 設進制數(shù)為任意值，根據(jù)信息速率與碼速率之間的關系求3 Mbps所對應的碼速率，從而判斷傳輸3 Mbps信號有無碼間串擾。 解: (1) h(t)=2106Sa(2π106t) 波形如下圖所示。由圖可知，當Ts=0.5 μs/k(k為正整數(shù))時無碼間串擾，即此系統(tǒng)無碼間串擾的碼速率為 (2) 設傳輸獨立等概的M進制信號，則 RB=(MBd) 令 = 得 M==8n(n=1,2,…) 即當采用8n進制信號時，碼速率RB= (MBd)，可以滿足無碼間串擾條件。 【例5-6】 設某基帶傳輸系統(tǒng)具有右圖所示的三角形傳輸函數(shù)： (1) 當RB=ω0/π時，用奈奎斯特準則驗證該系統(tǒng)能否實現(xiàn)無碼間串擾傳輸? (2) 求該系統(tǒng)接收濾波器輸出基本脈沖的時間表達式，并用此來說明(1)中的結論。 思路 因RB=ω0/π，即RB=2f0，無碼間串擾頻域條件如下式 H(ω+nωs)= (5-5) 或 H(ω+nωs)=C,ω為任意值 (5-6) 對于此題給定的條件，有 根據(jù)傅氏變換的對稱性，可得 ΔΩ(ω)←→ 由此式可求得本題所給系統(tǒng)的接收濾波器輸出基本脈沖時間表達式，再根據(jù)碼速率決定抽樣時刻，從而決定有無碼間串擾。 解： (1) 方法一 將H(ω)在頻率軸上以2ω0為間隔切開，由于H(ω)的頻率范圍為(-ω0,ω0)，故切開、平移、迭加后仍為H(ω)，在|ω|<ω0范圍內(nèi)H(ω)不為常數(shù)，故系統(tǒng)有碼間串擾。 方法二 將H(ω)向左右平移2ω0的整數(shù)倍，如下圖所示。可見平移后各圖不重合，相加后不為常數(shù)，故碼速率為ω0/π時有碼間串擾。 (2) h(t)=Sa2 此即為接收濾波器輸出基本脈沖時間表達式。 因 Ts= 所以 h(kTs)= 可見 k=0,1,3,…時，h(kTs)≠0，故有碼間串擾。 【例5-7】若要求基帶傳輸系統(tǒng)誤比特率為10-6，求采用下列基帶信號時所需要信噪比 (1) 單極性非歸零碼； (2) 雙極性非歸零碼； (3) 采用格雷碼的8電平雙極性非歸零碼； (4) 7電平部分響應信號。 解： (1) Peb=Q 查Q(x)函數(shù)表得 =45 所以 （2） Peb=Q 查Q(x)函數(shù)表得 (3) Pb=Peb/log28=Pe/3 由此得 查Q(x)函數(shù)表得=4.75 所以 (4) 當部分響應為7電平信號時，此系統(tǒng)傳輸?shù)臑?進制信號 Peb=Pe/log24=Pe/2 由此得 查Q(x)函數(shù)表得=4.75 所以 【例6-1】 已知碼元傳輸速率RB=103 Bd，接收機輸入噪聲的雙邊功率譜密度n0/2=10-10 W/Hz，今要求誤碼率Pe=10-5，試分別計算出相干OOK、非相干2FSK、差分相干2DPSK以及2PSK等系統(tǒng)所要求的輸入信號功率。 思路 只要求出接收機帶通濾波器輸出噪聲功率就可以由誤碼率公式得到Pe=10-5的信噪比，從而得出信號功率。題中已給出噪聲的功率譜密度，但沒有給定收濾波器帶寬。由于OOK(即2ASK)系統(tǒng)、2DPSK系統(tǒng)、2PSK系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)，它們的頻帶利用率為1/(1+α)(Bd/Hz)。若收濾波器為升余弦滾降特性，其等效噪聲帶寬為1000 Hz，可用此等效帶寬求噪聲功率。設α=1，且收濾波器的頻率特性是帶寬為2000 Hz的理想矩形，我們以此為標準進行計算。非相干2FSK解調(diào)器由兩個非相干2ASK解調(diào)器構成，兩個收濾波器的帶寬與線性系統(tǒng)一樣。 解： 設OOK、差分相干2DPSK以及2PSK的收濾波器的頻率特性是帶寬為2000 Hz的理想矩形，非相干2FSK接收機的兩個支路帶通濾波器的頻率特性也是帶寬為2000 Hz的理想矩形。在此條件下，接收機輸入噪聲功率為 N=(10-1022000) W=410-7 W (1) 相干OOK(2ASK)系統(tǒng) 由誤碼率公式 Pe==10-5 得 r==36.13 S=(36.13410-7) W=1.4510-5 W (2) 非相干2FSK系統(tǒng) 由誤碼率公式 Pe= 得 r=21.6 S=(21.6410-7) W=0.8610-5 W (3) 差分相干2DPSK系統(tǒng) 由誤碼率公式 Pe= 得 r=10.8 S=(10.8410-7) W=0.4310-5 W (4) 相干2PSK系統(tǒng) 由誤碼率公式 Pe=Q()=10-5 得 r=9.03 S=(9.03410-7) W=0.3610-5 W 【例6-2】 已知2FSK信號的兩個頻率f1=980 Hz，f2=2180 Hz，碼元速率RB=300 Bd，信道有效帶寬為3000 Hz，信道輸出端的信噪比為6 dB。試求： (1) 2FSK信號的譜零點帶寬； (2) 非相干解調(diào)時的誤比特率； (3) 相干解調(diào)時的誤比特率。 解： (1) 2FSK信號的譜零點帶寬為 Bs=|f2-f1|+2Rb=(2180-980+2300) Hz=1800 Hz (2) 設非相干接收機中帶通濾波器BPF1和BPF2的頻率特性為理想矩形，且?guī)挒? Hz 信道帶寬為3000 Hz，是接收機帶通濾波器帶寬的5倍，所以接收機帶通濾波器輸出信噪比是信道輸出信噪比的5倍。當信道輸出信噪比為6 dB時，帶通濾波器輸出信噪比為 r=5100.6=54=20 2FSK非相干接收機的誤比特率為 Pb=e-r/2=e-10=2.2710-5 (3) 同理可得2FSK相干接收機的誤比特率為 Pb=Q()=Q()=Q(4.47)=3.9310-6 【例6-3】待傳送二元數(shù)字序列{ak}=1011010011： (1) 試畫出QPSK信號波形。假定fc=Rb=1/Ts，4種雙比特碼00，10，11，01分別用相位偏移0，π/2，π，3π/2的振蕩波形表示； (2) 給出QPSK信號表達式和調(diào)制器原理方框圖。 解： (1) QPSK信號波形如下圖所示。 (2) QPSK信號的表達式為 eQPSK(t)=cosφkcosωct+sinφksinωct=cos(ωct-φk) QPSK調(diào)制器原理方框圖如下圖所示，圖中x與i(t)的對應關系為：x為1碼時，i(t)為負脈沖，x為0碼時，i(t)為正脈沖；y與q(t)的對應關系同x、i(t)之間的關系。 【例6-4】 已知電話信道可用的信號傳輸頻帶為600～3000 Hz，取載頻為1800 Hz，試說明： (1) 采用α=1升余弦滾降基帶信號時，QPSK調(diào)制可以傳輸2400 bit/s數(shù)據(jù)； (2) 采用α=0.5升余弦滾降基帶信號時，8PSK調(diào)制可以傳輸4800 bit/s數(shù)據(jù)； (3) 畫出(1)和(2)傳輸系統(tǒng)的頻率特性草圖。 解： (1) 信道帶寬為 Bc=(3000-600) Hz=2400 Hz α=1時QPSK系統(tǒng)的頻帶利用率 ηb= bps/Hz=1 bps/Hz 數(shù)據(jù)傳輸速率 Rb=Bcηb=24001 bit/s=2400 bit/s (2) α=0.5時8PSK系統(tǒng)的頻帶利用率 ηb==2 bps/Hz 數(shù)據(jù)傳輸速率 Rb=Bcηb=24002 bit/s=4800 bit/s (3) (1)和(2)傳輸系統(tǒng)的頻率特性草圖如下圖(a)和(b)所示。 【例6-5】 QPSK系統(tǒng)，采用α=1的升余弦基帶信號波形，信道帶寬為20 MHz： (1) 求最大信息速率； (2) 將信息碼進行(2，1，3)卷積碼編碼后再進行傳輸，設信源信息速率、基帶波形及信道帶寬不變，設計一種調(diào)制方式并畫出系統(tǒng)方框圖； (3) 畫出QPSK系統(tǒng)的頻率特性草圖(設載頻為50 MHz)。 解：(1) ηb=log2M/(1+α)=［log24/(1+1)］ bps/Hz=1 bps/Hz 所以最大信息速率為 Rb=ηbBc=120 Mbit/s=20 Mbit/s (2) (2，1，3)卷積碼的編碼效率為0.5，故信源輸出數(shù)據(jù)經(jīng)(2，1，3)卷積編碼后，信 息速率由20 Mbit/s增大到40 Mbit/s，此時頻帶利用率為 ηb=2 bps/Hz 由定義 ηb=log2M/(1+α) 求得 M=16 可采用16QAM調(diào)制方式，16QAM系統(tǒng)的原理方框圖如下圖所示。 (3) QPSK系統(tǒng)的頻率特性草圖如下圖所示。 【例6-6】 設時頻調(diào)制信號為四進制的四頻四時的調(diào)制結構，試以傳送二進制信息符號序列11100100為例畫出波形示意圖。 解：在四進制的四頻四時調(diào)制方式中，一個雙比特代碼用四個時隙、四個頻率來表示，四個雙比特代碼00、01、10、11所對應的四個頻率分別按如下規(guī)則編排：f1f2f3f4、f2f3f4f1、f3f4f1f2、f4f1f2f3。二進制信號及四頻四時已調(diào)信號波形如圖6-48所示，圖中設f1=Rb、f2=2Rb、f3=3Rb、f4=4Rb。 【例7-1】 已知模擬信號抽樣值的概率密度p(x)如右圖所示。 (1) 如果按4電平進行均勻量化，試計算信號與量化噪聲功率比； (2) 如果按8電平進行均勻量化，試確定量化間隔和量化電平； (3) 如果按8電平進行非均勻量化，試確定能使量化信號電平等概的非均勻量化區(qū)間，并畫出壓縮特性。 解： (1) 分層電平為 x1=-1， x2=-0.5，x3=0，x4=0.5，x5=1 量化電平為 y1=-0.75， y2=-0.25， y3=0.25， y4=0.75 信號功率為 S=x2p(x)dx=2x2(1-x)dx= 量化噪聲功率為 Nq=(x-yi)2p(x)dx=2[(x-0.25)2(1-x)dx+(x-0.75)2(1-x)dx=1/48 信號與量化噪聲功率比為 SNRq=S/Nq=8 (2) 量化間隔為 Δ=2/8=1/4 量化電平分別為 -7/8，-5/8，-3/8，-1/8，1/8，3/8，5/8，7/8 (3) 設分層電平依次為-1，-x1，-x2，-x3，0，x3，x2，x1，1，依題意 可得下列方程 解之，得 x1=0.5, x2=≈0.29, x3=≈0.13 量化電平為相鄰分層電平的平均值，依次為-0.75，-0.40，-0.21，-0.07，0.07，0.21，0.40，0.75。壓縮特性曲線如下圖所示。 【例7-2】 已知正弦信號的頻率fm=4 kHz，試分別設計一個線性PCM系統(tǒng)和一個簡單ΔM系統(tǒng)，使兩個系統(tǒng)的最大量化信噪比都滿足30 dB的要求，比較兩個系統(tǒng)的信息速率。 解: (1) LPCM系統(tǒng) ［SNRq］max=(1.76+6N) dB 令1.76+6N=30得 N=5 設抽樣頻率fs=8 kHz，則LPCM的信息速率為 Rb LPCM=85 kbit/s=40 kbit/s (2) ΔM系統(tǒng) ［SNRq］max= 令fk=4 kHz，fH=4 kHz，得 fs=118 kHz 碼速率為 Rb ΔM=118 kbit/s 可見，當LPCM系統(tǒng)和ΔM系統(tǒng)的量化信噪比相同時，ΔM系統(tǒng)的信息速率遠大于LPCM系統(tǒng)的信息速率。 【例7-3】 6路獨立信源的最高頻率分別為1 kHz、1 kHz、2 kHz、2 kHz、3 kHz、3 kHz，采用時分復用方式進行傳輸，每路信號均采用8位對數(shù)PCM編碼。 (1) 設計該系統(tǒng)的幀結構和總時隙數(shù)，求每個時隙占有的時間寬度及碼元寬度； (2) 求信道最小傳輸帶寬。 解: (1) 若選擇抽樣頻率為6 kHz，則每路信號都符合抽樣定理的要求。不考慮幀同步碼、信令碼，幀結構如右圖所示。每幀共6個時隙，每個時隙占有的時間寬度為27.8 μs，碼元寬度為3.5 μs。 (2) 信息速率為 Rb=(6000幀/秒)(6時隙/幀)(8 bit/時隙)=288 kbit/s 信道最小傳輸帶寬為 Bc=Rb/2=144 kHz 討論 根據(jù)抽樣定理，這6路信號的抽樣頻率可以分別為2 kHz、2 kHz、4 kHz、4 kHz、6 kHz、6 kHz。幀周期為500 μs，每幀12個時隙，6路信號占有的時隙數(shù)分別為1、1、2、2、3、3，此時幀結構如圖7-24所示。每幀共12個時隙，每個時隙占用的時間寬度為41.7 μs，碼元寬度為5.2 μs，信息速率為Rb=(2000幀/秒)(12時隙/幀)(8 bit/時隙)=192 kbit/s，最小傳輸帶寬為96 kHz。 【例7-4】若對12路語音信號(每路信號的最高頻率均為4 kHz)進行抽樣和時分復用，將所得脈沖用PCM基帶系統(tǒng)傳輸，信號占空比為1： (1) 抽樣后信號按8級量化，求PCM信號譜零點帶寬及最小信道帶寬； (2) 抽樣后信號按128級量化，求PCM信號譜零點帶寬及最小信道帶寬。 解：(1) Rb=(128log28) kbit/s=288 kbit/s 頻零點帶寬為 Bs==Rb=288 kHz 最小信道帶寬為 Bc=Rb=144 kHz (2) Rb=(128log2128) kbit/s=672 kbit/s Bs==Rb=672 kHz Bc=Rb=336 kHz 【例7-5】采用13折線A律編碼，設最小的量化級為1個單位，已知抽樣脈沖值為 -95單位。 (1) 試求此時編碼器輸出碼組，并計算量化誤差（段內(nèi)碼用自然二進制碼）； (2) 寫出對應于該7位碼（不包括極性碼）的均勻量化11位碼。 解：（1）設編碼器輸出8位碼組為C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 已知抽樣脈沖值Is = ―95，因為Is<0，故 C1=0 又64<│Is│<128，故碼組位于第4段，段落碼C2 C3 C4= 011，段內(nèi)量化級間隔為4。由 95=64 + 47 +3知，碼組位于第4段內(nèi)第7量化級 故 C5 C6 C7 C8=0111 因此，輸出碼組為C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8=00110111 輸出量化電平Iw = ―(64+ 47 + 0.54) = ―94 量化誤差為│―95―(―94)│= 1個量化單位。 （2）對應于該7位碼的均勻量化11位碼為 C1～C11=00001011110 【例8-1】設到達接收機輸入端的二進制信號碼元s1(t)及s2(t)的波形如下圖(a)、(b)所示，輸入高斯噪聲功率譜密度為n0/2 (W/Hz)。 (1) 畫出匹配濾波器形式的最佳接收機結構； (2) 確定匹配濾波器的沖激響應； (3) 求系統(tǒng)誤碼率； (4) 設信息代碼為101100，1碼對應波形為s1(t)，0碼對應波形為s2(t)，畫出匹配濾波器形式的最佳接收機各點波形。 解 ：(1) 匹配濾波器形式的最佳接收機結構如下圖所示。 (2) 由題意得 h1(t)=s1(T-t)=s2(t) h2(t)=s2(T-t)=s1(t) h1(t)波形如左上圖(b)所示，h2(t)波形如左上圖(a)所示。 (3) 所以系統(tǒng)的誤碼率為 (4) 當y(t)=s1(t)或s2(t)時，a(t)、b(t)的波形如下圖(a)、(b)、(c)、(d)所示。 根據(jù)匹配濾波器對s1(t)、s2(t)的響應，可得當信息代碼為101100時，最佳接收機各點波形，如下圖所示。 【例8-2】設二進制FSK信號為 式中，φ1及φ2為均勻分布的隨機變量，ω2=2ω1=8 π/Ts，s1(t)和s2(t)等可能出現(xiàn)。 (1) 構成包絡匹配濾波器形式的最佳接收機； (2) 設信息代碼為10100，畫出各點波形； (3) 若接收機輸入高斯噪聲功率譜密度為n0/2 (W/Hz)，試求系統(tǒng)的誤碼率。 解： (1) 包絡匹配濾波器形式的最佳接收機方框圖如下圖(a)所示。 (2) 當信息代碼為10100時，最佳接收機各點波形如上圖(b)所示。 (3) s1(t)、s2(t)的相關系數(shù)ρ=0，每比特信號能量Eb=A20Ts/2，所以系統(tǒng)的誤碼率為 【例9-1】已知A律PCM二次群的幀同步碼為1111010000，信息速率為8448 kbit/s，每幀848個碼元且第1～10個碼元為幀同步碼，后方保護參數(shù)α=3，前方保護參數(shù)β=4，設Pe=10-6，判決門限為10。 (1) 求幀同步器的假同步概率、漏同步概率和同步建立時間； (2) 構造一個幀同步碼識別器。 解：(1) 由題意可知 n=10， N=848， Ts=1/8448 ms， α=3， β=4， Pe=10-6 所以，漏同步概率為 Pl=(nPe)β=(1010-6)4=10-20 假同步概率為 Pj=N2-nα=848(2-30)=8.4810-7 同步建立時間為 ms=0.8 ms (2) 幀同步碼識別器如下圖所示。 《通信原理》習題 第３３頁