電路計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)基于C#的線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)方程的LU分解法

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1、 《電路計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)》 基于C#的線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)方程的LU分解法 基于C#的線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)方程的LU分解法 1 引言 線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)方程是模擬電路常需要處理的問(wèn)題，也是各個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)需要面對(duì)的。線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)方程組的解關(guān)系到工程的各個(gè)方面，因而研究它的解的算法很有必要。LU分解法是一種線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)方程求解的一種算法，它的效率比較高，具有工程可實(shí)踐性。 2 算法框圖 LU的算法框圖如圖1所示。 圖1 LU分解法算法框圖 從框圖可以看出，LU分解法的難點(diǎn)在于各階順序主子式的判定和進(jìn)行LU分解求解方程。 采用求解各階數(shù)據(jù)主子式的行

2、列式值，我采用了劃三角矩陣的辦法求解。其中最后做成的可視化界面的.exe 中，只校驗(yàn)了n階行列式。 圖2為軟件的主界面圖。 圖2 軟件主界面圖 3 LU分解法算法描述 LU分解法的分解通式為： lim=aim-k=1m-1likukmi=m,m+1,…..n (3.1) umi=(ami-k=1m-1lmkuki)/lmm i=m+1,m2,…..n (3.2) 式(3.1)與(3.2)交替進(jìn)行分解。正是由于該特性，所以可以將LU矩陣壓縮在一個(gè)n*n的矩陣中，從而減少了存儲(chǔ)空間開(kāi)銷(xiāo)。 由Ly=

3、b，可以解除參數(shù)矩陣y的值。 y1=b1l11, yi=(bi-j=1i-1lijyji=2,3,…..n (3.3) 由Ux=y,可以得出最后的解矩陣x為： xn=yn, xi=yi-j=i+1nuijxji=n-1,n-2,…..1 (3.4) 4 仿真結(jié)果 4.1 LU分解正誤仿真 先進(jìn)行系數(shù)矩陣是否為零判定，再給出解結(jié)果，測(cè)試數(shù)據(jù)如下： 測(cè)試數(shù)據(jù)一: n=6; 系數(shù)矩陣為： 1 3 4 5 2 3 3 4 2 1 5 6 3 2 2 3 4 3 4 3 2 1 3 4 5 2

4、1 2 3 2 3 4 2 1 3 2 向量吧為： 3 2 4 2 3 2 結(jié)果為 x向量 0.266187050359712 -0.683453237410071 0.978417266187049 0.0791366906474829 0.949640287769783 -0.474820143884892 此結(jié)果用matlab驗(yàn)證符合。 與matlab效率比較 以上述6階結(jié)果為例進(jìn)行效率比較，由于C#各種控件響應(yīng)耽誤測(cè)試時(shí)間，所以只以裸算法進(jìn)行效率比較。 經(jīng)過(guò)實(shí)踐，由于階數(shù)太低，行列式計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為

5、n^3（與高斯消元法相似）,各階行列式驗(yàn)證時(shí)間復(fù)雜度1+2^3+…+n^3=n^2(n+1)^2/4,LU分解法的時(shí)間復(fù)雜度為n^2加上回代的2n，所以總復(fù)雜度約為n^4，所以20階計(jì)算量大約為160000，C#測(cè)不出時(shí)間（都為0），所以無(wú)法給出效率比較。 通過(guò)上網(wǎng)查閱，可以知道LU分解法有超過(guò)9種算法，本設(shè)計(jì)所用算法，為Crout分解，其分解適用于手算，且沒(méi)有處理其他情況，而matlab采用更為復(fù)雜的分解，適用于計(jì)算機(jī)處理，效率應(yīng)該低于本例的Crout分解，這里只能給出定性比較。 5 算法時(shí)間空間復(fù)雜度分析 由4.2節(jié)分析LU分解法如果只驗(yàn)證n階行列式,復(fù)雜度為n^3+n^2+2n，即

6、O（n^3）,如果使用高斯消元法，則驗(yàn)證n階行列式與消元過(guò)程類(lèi)似，只需加上回代的n^2，總體來(lái)說(shuō)小于LU分解法+驗(yàn)證。所以考慮利用驗(yàn)證n階行列式的算法選擇，可能選擇高斯消元法效率比LU分解法高，但單從解方程角度，LU分解法的效率小于高斯消元法。 對(duì)于行列式的驗(yàn)證，化三角矩陣的算法比直接求解n!*(nlogn)，行分解n!*(nlogn)方法，效率高的多。但如果不求值的驗(yàn)證方法，或許有比化三角求值方法效率更高的判定方法，這樣LU分解法效率就可以體現(xiàn)。 此外對(duì)于LU分解法，Crout分解法的L矩陣對(duì)角元素不能為零，或是很小的數(shù)，否則計(jì)算會(huì)出現(xiàn)趨近于無(wú)窮大的值導(dǎo)致數(shù)據(jù)溢出出錯(cuò)。數(shù)學(xué)上，可以用選主

7、元的方法避免，但工程上多是進(jìn)行重新對(duì)電路建模來(lái)處理，暫時(shí)不知道如何來(lái)做可以比選主元效率更高，有待研究。 至于空間復(fù)雜度，主要是兩個(gè)動(dòng)態(tài)申請(qǐng)的系數(shù)矩陣和LU矩陣，復(fù)雜度為O(n^2)。 6 心得與體會(huì) 由于是第一次使用開(kāi)發(fā)可視化軟件，所以上手起來(lái)有一定難度，就選擇了難度相對(duì)低的C#語(yǔ)言進(jìn)行開(kāi)發(fā)，花了一些時(shí)間學(xué)習(xí)，好在有一些Matlab GUI編輯經(jīng)驗(yàn)，學(xué)起來(lái)容易一些。我的編程過(guò)程是，先對(duì)算法進(jìn)行校驗(yàn)，再做到可視化中去，這樣的編程流程對(duì)開(kāi)發(fā)降低了很大難度。 C#語(yǔ)言功能強(qiáng)大，且容易實(shí)現(xiàn)可視化，上手比C++容易，適合新手進(jìn)行學(xué)習(xí)開(kāi)發(fā)，是一個(gè)比較好的開(kāi)發(fā)工具。 關(guān)于最后寫(xiě)報(bào)告的一些理論分析，還是做了不少準(zhǔn)備，從中也學(xué)到了很多?？偠灾撻T(mén)課程，總體還是很有收獲的，對(duì)SPICE的了解也更進(jìn)一步。