北大附中高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)匯編 平面向量

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1、 學(xué)科：數(shù)學(xué) 教學(xué)內(nèi)容：平面向量 【考點(diǎn)梳理】 一、考試內(nèi)容 1.向量、向量的概念，向量的加法與減法，實(shí)數(shù)與向量的積。 2.平面向量的坐標(biāo)表示，線(xiàn)段的定比分點(diǎn)。 3.平面向量的數(shù)量積，平面兩點(diǎn)間的距離公式。 4.平移及平移公式。 二、考試要求 1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線(xiàn)向量的概念。 2.掌握向量的加法與減法。 3.掌握實(shí)數(shù)與向量積，理解兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件。 4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。 5.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題

2、，掌握向量垂直的條件。 6.掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，掌握線(xiàn)段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式。 三、考點(diǎn)簡(jiǎn)析 1.平面向量知識(shí)結(jié)構(gòu)表 2.向量的概念 （1）向量的基本概念 ①定義 既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的長(zhǎng)度，叫做向量的模。 ②特定大小或特定關(guān)系的向量 零向量，單位向量，共線(xiàn)向量（平行向量），相等向量，相反向量。 ③表示法 幾何法：畫(huà)有向線(xiàn)段表示，記為或α。 坐標(biāo)法：=xi+yj=(x,y)。 =(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2) （2）向量的運(yùn)算 ①向量的加法與減法 定義與法則

3、（如圖5－1）： a+b=(x1+x2,y1+y2),a－b=(x1－x2,y1－y2)。 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。 運(yùn)算律： a+b=b+a,(a+b)+C=a+(b+c),a+O=O+a=a。 ②向量的數(shù)乘（實(shí)數(shù)與向量的積） 定義與法則（如圖5－2）： λa=λ(x,y)=(λx, λy) 運(yùn)算律 λ（μa）=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb。 ③平面向量的數(shù)量積定義與法則（如圖5－3）： ab=|a||b|cosθ(a≠0,b≠0,0≤θ≤π) 0a=0,ab=x1x2+y1y2[a=(x1,y1

4、),b=(x2,y2)]。 運(yùn)算律： ab=ba,(λa)b=a(λb)=λ（ab），（a+b）c=ac+bc。 （3）定理與公式 ①共線(xiàn)定理：向量b與非零向量a共線(xiàn)的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λ a ②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的。任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2使 a=λ1e1+λ2e2 ③兩向量垂直的充要條件 (i)a⊥bab=0 (ii)a⊥bx1x2+y1y2=0（a=(x1,y1),b=(x2,y2)） ④三點(diǎn)共線(xiàn)定理：平面上三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)的充要條件是：存在實(shí)數(shù)α、β,使=α+β，其中α

5、+β=1，O為平面內(nèi)的任一點(diǎn)。 ⑤數(shù)值計(jì)算公式 兩點(diǎn)間的距離公式： ||=[P1(),P2(x2,y2)] 線(xiàn)段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式： [P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),P(x,y), =λ] 中點(diǎn)坐標(biāo)公式： 兩向量的夾角公式： cosθ== [0≤θ≤180,a=(x1,y1),b=(x2,y2)] ⑥圖形變換公式 平移公式： 若點(diǎn)P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)， 則 ⑦有關(guān)結(jié)論 (i)平面內(nèi)有任意三個(gè)點(diǎn)O，A，B。 若M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則(+); 一般地，若P是分線(xiàn)段AB成定比λ的分點(diǎn)（即=λ，λ≠－1）則=+，此即

6、線(xiàn)段定比分點(diǎn)的向量式（注意與例7（1）表述方法的不同，例7（1）用時(shí)很方便）。 (ii)有限個(gè)向量a1,a2,…,an相加，可以從點(diǎn)O出發(fā)，逐一作向量=a1, =a2,…, =an,則向量即這些向量的和，即 a1+a2+…+an=++…+=（向量加法的多邊形法則）。 當(dāng)An和O重合時(shí)（即上述折線(xiàn)OA1A2…An成封閉折線(xiàn)時(shí)），則和向量為零向量。 注意：反用以上向量的和式，即把一個(gè)向量表示為若干個(gè)向量和的形式，是解決向量問(wèn)題的重要手段。 3.向量的應(yīng)用 （1）向量在幾何中的應(yīng)用 （2）向量在物理中的應(yīng)用 四、思想方法 向量法：用向量證明或解題的方向稱(chēng)為向量法。向量法在處理物理學(xué)

7、、幾何學(xué)中有很大的用處。 【例題解析】 例1 設(shè)a0為單位向量，（1）若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=|a|a0;(2)若a與a0平行，則a=|a|a0；（3）若a與a0平行且|a|=1，則a=a0。上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 解析 向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若a與a0平行，則a與a0方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時(shí)a=－|a|a0，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。 注 向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實(shí)質(zhì)，

8、注意區(qū)分共線(xiàn)向量、平行向量、同向向量等概念。 例2 已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a與b之間有關(guān)系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0， （1）用k表示ab; （2）求ab的最小值，并求此時(shí)ab的夾角的大小。 解 （1）要求用k表示ab,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用兩邊平方，得 |ka+b|2=(|a－kb|)2 k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b2－2kab) ∴8kab=(3－k2)a2+(3k2－1)b2 ab = ∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)， ∴a2=1, b2=1, ∴ab =

9、= （2）∵k2+1≥2k，即≥= ∴ab的最小值為， 又∵ab =| a||b |cos，|a|=|b|=1 ∴=11cos。 ∴=60,此時(shí)a與b的夾角為60。 注 與代數(shù)運(yùn)算相同，有時(shí)可以在含有向量的式子左右兩邊平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2ab或|a|2+|b|2+2ab 例3 已知|a|=1,|b|=1，a與b的夾角為60, x=2a－b,y=3b－a,則x與y的夾角是多少？ 解 由已知|a|=|b|=1，a與b的夾角為60, 得ab=|a||b|cosα=。 要計(jì)算x與y的夾角，需求出|x|,|y|,xy的值。 ∵|x|2=x2=

10、(2a－b)2=4a2－4ab+b2=4－4+1=3， |y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6ba+a2=9－6+1=7. xy=(2a－b)(3b－a)=6ab－2a2－3b2+ab =7ab－2a2－3b2 =7－2－3=－， 又∵xy=|x||y|cosα，即－=cosα ∴cosα=－，α=π－arccos。 注 在計(jì)算x,y的模長(zhǎng)時(shí)，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得，如圖所示，設(shè)=b, =a, =2a,∠BAC=60。由向量減法的幾何意義，得 =－=2a－b。 由余弦定理易得||=，

11、即|x|=，同理可得|y|=. 例4 討論|a－b|與a,b的和或差的模的大小關(guān)系。 解 如圖： （1）當(dāng)a與b不平行時(shí)，a,b以及a－b可以構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖，于是|| a |－|b||<|a－b|<|a|+|b| （2）當(dāng)a與b平行時(shí)，如果a與b的方向相同，則有|a－b|=||a|－|b||，其中當(dāng)|a|≥|b|時(shí)，有 |a－b|=|a|－|b|， 當(dāng)|a|<|b|時(shí)，有|a－b|=|b|－|a|。 如果a與b的方向相反，則有 |a－b|=|a|+|b| 注 利用幾何意義（三角形的兩邊之和大于第三邊）解向量中的有關(guān)問(wèn)題是常用方法。 例5 （1）已知a,b

12、是兩個(gè)非零向量，且a+3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，試求a與b的夾角； （2）已知：|a|=,|b|=3,a和b的夾角為45，求使向量a+λb與λa+b的夾角是銳角時(shí)λ的取值范圍。 解 （1）∵a+3b與7a－5b垂直，∴（a+3b）(7a－5b)=0, 即7|a|2+16ab－15|b|2=0， ① 又∵a－4b與7a－2b垂直，∴（a－4b）(7a－2b)=0。 即7|a|2－30ab+8|b|2=0。 ② ①－②得46ab=23|b|2,得ab=|b|2, 代入①可得|a|=|b|，設(shè)所求a與b的夾角為θ，則 cosθ===,∴θ=60。 （2）

13、由已知 ab=|a||b|cos45=3=3。 ∵a+λb與λa+b夾角為銳角， ∴（a+λb）(λa+b)>0，即abλ2+(a2+b2) λ+ab>0。 把a(bǔ)b=3，a2+b2=|a|2+|b|2=2+9=11代入得3λ2+11λ+3>0， 解之得λ<或λ>，此即所求λ的取值范圍。 例6 如圖所示，已知四面體O－ABC中，M為BC的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，Q為OB的中點(diǎn)，P為OA的中點(diǎn)，若AB=OC，試用向量方法證明，PM⊥QN。 證明 ∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM， ∴=（+）。 同理由N是AC的中點(diǎn)，得=（+）。 ∵=+=（++） =（－+）=（+）

14、， =+=（++）=（－+）=（+）= （－）。 ∴=（+）（－）=（－）。 ∵||=||，∴=0，即PM⊥QN。 例7如圖，設(shè)G為△OAB的重心，過(guò)G的直線(xiàn)與OA，OB分別交于P和Q，已知=h,=k,△OAB與△OPQ的面積分別為S和T。求證： （1）+=3； （2）≤T≤S。 證明 （1）連結(jié)OG并延長(zhǎng)交AB于M，則M為AB的中點(diǎn)， ∴=（+）， ==+。 ① 設(shè)G分PQ所成比為t：(1－t)，則=(1－t) +t, 而=h,=k,∴=（1－t）h+tk。② 比較①，②得 (1－t)h=,tk=，即=3(1－t), =3t,∴+=3。 （2）∵∠POQ=

15、∠AOB，∴===hk。 由題（1）知k=>0，3h－1>0,∴=。 又－=－=， －=－=，且依題意0

16、點(diǎn)，則： 解得：或 ∴點(diǎn)（1，4）和點(diǎn)（－1，－4）在函數(shù)y=2(x－h(huán))2+k的圖像上 ∴ 故所求解析式為：y=2(x+1)2－4，即y=2x2+4x－2 解法二 將y=2x2按向量a=(h,k)平移，設(shè)P（x,y）為y=2x2上任一點(diǎn)，按a平移之后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′(x′,y′)，則 故 ∴y－k=2(x－h(huán))2是平移之后的函數(shù)圖像解析式。由 消去y得：4x2－4(h+1)x+2h2+k－2=0 又∵兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ∴x1+x2=0,即=0,h=－1 又y1+y2=0, ∴2x12－4hx1+2+k+2x22－4hx2+2+k=0 ∴2(x12+x22)

17、+4(x1+x2)=－4－2k ∴2(x1+x2)2+4(x1+x2)－4x1x1=－4－2k ∵x1x2=， ∴－4=－4－2k, ∴k=－4 ∴y=2(x+1)2－4,即y=2x2+4x－2。 例9 如圖正方形OABC兩邊AB，BC的中點(diǎn)分別為D和E，求∠DOE的余弦值。 解析 創(chuàng)造使用求角公式的條件，為此須求。 =+=+，=+=+， ∴=（+）（+） =+（+）+ ∵⊥，⊥，∴ =0，=0。 又∵=， =，∴==||2=。 于是=（||2+||2）=||2， 又||2=||2+||2=||2+||2=||2， ∴cos∠DOE=

18、=== 注 利用向量解幾何題，關(guān)鍵是將有關(guān)線(xiàn)段設(shè)為向量，不同的設(shè)法可出現(xiàn)不同的解法。利用向量解平面幾何有時(shí)特別方便，但要注意的一點(diǎn)，不宜搞得過(guò)難，因?yàn)楦呖荚谶@方面要求不高，只是在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有較高要求。 專(zhuān)題四 平面向量練習(xí) 一、選擇題 1.若三點(diǎn)P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共線(xiàn)，則（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= D.x=51 2.與向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k） B.(-,-) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若點(diǎn)P

19、分所成的比為，則A分所成的比是（ ） A. B. C.- D.- 4.已知向量a、b，aa=-40，|a|=10,|b|=8，則向量a與b的夾角為（ ） A.60 B.-60 C.120 D.-120 5.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5，則向量ab=（ ） A.10 B.-10 C.10 D.10 6.已知a=(3,0),b=(-5,5)，則a與b的夾角為( ) A. B. C. D. 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+xb與b垂直，則x的值

20、為（ ） A. B. C.2 D.- 8.設(shè)點(diǎn)P分有向線(xiàn)段的比是λ，且點(diǎn)P在有向線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則λ的取值范圍是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-) 9.設(shè)四邊形ABCD中，有=，且||=||，則這個(gè)四邊形是（ ） A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.將y=x+2的圖像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式為（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.將函數(shù)y=x2+4x+5的圖像按向量

21、a經(jīng)過(guò)一次平移后，得到y(tǒng)=x2的圖像，則a等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四邊形的3個(gè)頂點(diǎn)為A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，則它的第4個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空題 13.設(shè)向量a=(2,-1)，向量b與a共線(xiàn)且b與a同向，b的模為2，則b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=,a與b的夾角為45，要使λb-a垂直，則λ= 。

22、 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，則ab= 。 16.在菱形ABCD中，（+）（-）= 。 三、解答題。 17.如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，已知=a,=b,試用a、b分別表示、、。 18.已知a=(1,2),b=(-3,2)，當(dāng)k為可值時(shí)：（1）ka+b與a-3b垂直；（2）ka+b與a-3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？ 19.設(shè)e1與e2是兩個(gè)單位向量，其夾角為60，試求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夾角θ。

23、 20.以原點(diǎn)O和A（4，2）為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，∠B=90，求點(diǎn)B的坐標(biāo)和。 21. 已知兩個(gè)向量a和b，求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a⊥b。 22.已知△ABC頂點(diǎn)A（0，0），B（4，8），C（6，-4），點(diǎn)M內(nèi)分所成的比為3，N是AC邊上的一點(diǎn)，且△AMN的面積等于△ABC面積的一半，求N點(diǎn)的坐標(biāo)。 參考答案 1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2) 14.2 15.15 16.0 17.[

24、解] 連結(jié)AC ==a,…… =+= b+a,…… =-= b+a-a= b-a,…… =+=++= b-a,…… =-=a-b?！? 18.[解] （1）ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4)。 當(dāng)(ka+b)(a-3b)=0時(shí)，這兩個(gè)向量垂直， ∴由10(k-3)+(2k+2)（-4）=0……得k=19。 （2）當(dāng)ka+b與a-3b平行，存在惟一的實(shí)數(shù)λ，使ka+b=λ(a-3b), 由(k-3,2k+2)=λ(10,-4)得 解得 此時(shí)-a+b與a-3b反向。 19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4

25、e12+4e1e2+e22=7,∴|a|=。 同理得|b|=。又ab==（2e1+e2）(-3e1+2e2,)=-6e12+ e1e2+2e22=-， ∴ cosθ===-,∴θ=120. 20.[解] 如圖8，設(shè)B(x,y), 則=(x,y), =(x-4,y-2)。 ∵∠B=90，∴⊥，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y。① 設(shè)OA的中點(diǎn)為C，則C(2,1), =（2，1），=(x-2,y-1) ∵△ABO為等腰直角三角形，∴⊥，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。② 解得①、②得或 ∴B(1,3)或B(3,-1)，從而=(-3,1)或=（-1,-3） 21.[證明] 如圖9，=a, =b。 （1）充分性：若⊥，OBCA為矩形，則|a+b|=||,|a-b|=|| ∵OBCA為矩形，∴||=||，即|a+b|=|a-b| （2）必要性： ∵|a+b|=||,|a-b|=,且|a+b|=|a-b|,∴||=||, ∴平行四邊形OBCA為矩形，∴a⊥b，即a的方向與b的方向垂直。 22.[解] 如圖10， ==。 ∵M(jìn)分的比為3，∴=，則由題設(shè)條件得 =，∴ =，∴=2。 由定比分點(diǎn)公式得 ∴N(4,-)。