《自動(dòng)控制理論》課程設(shè)計(jì)指導(dǎo)書(shū)

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1、 《自動(dòng)控制理論》課程設(shè)計(jì)指導(dǎo)書(shū) 電子工程學(xué)院 2007年9月 第一章 MATLAB 簡(jiǎn)介 1.1概述 MATLAB是MATrix LABoratory的縮寫(xiě)，早期主要用于現(xiàn)代控制中復(fù)雜的矩陣、向量的各種運(yùn)算。由于MATLAB提供了強(qiáng)大的矩陣處理和繪圖功能，因此，很多專(zhuān)家在自己擅長(zhǎng)的領(lǐng)域，用它編寫(xiě)了許多專(zhuān)門(mén)的MATLAB工具包（toolbox），如控制系統(tǒng)工具包（control systems toolbox）、系統(tǒng)辨識(shí)工具包（system identification toolbox）、

2、信號(hào)處理工具包（signalprocessing toolbox）、最優(yōu)化工具包（optimization toolbox）等等。因此，MATLAB成為一種包羅眾多學(xué)科的功能強(qiáng)大的“技術(shù)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言”。也可以說(shuō)它是“第四代”計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。在歐美等國(guó)家的高等院校中，MATLAB軟件已成為應(yīng)用代數(shù)、自動(dòng)控制原理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)字信號(hào)處理、時(shí)間序列分析、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等課程的基本數(shù)學(xué)工具，成為學(xué)生必須掌握的基本軟件之一。 MATLAB以矩陣作為基本的編程單元，它提供了各種矩陣的運(yùn)算與操作，并有較強(qiáng)的繪圖功能。MATLAB集科學(xué)計(jì)算、圖象處理、聲音處理于一身，是一個(gè)高度的集成系統(tǒng)，有良好的用戶(hù)界面和幫助功

3、能。 1.2 MATLAB運(yùn)行環(huán)境 （1） MATLAB的啟動(dòng)運(yùn)行方法 當(dāng)系統(tǒng)安裝完成后，在桌面上創(chuàng)建了一個(gè)MATLAB的快捷圖標(biāo)，雙擊該圖標(biāo)就可以打開(kāi)MATLAB的工作界面；也可以通過(guò)打開(kāi)開(kāi)始菜單的程序，選項(xiàng)選擇MATLAB的程序選項(xiàng)來(lái)打開(kāi)。 （2） MATLAB的操作界面 MATLAB的操作界面包括：命令窗口（Command Window）、工作空間窗口（Workspace）、當(dāng)前路徑窗口（Current Directory）、命令歷史窗口（Command History）、啟動(dòng)平臺(tái)（Launch Pad）5個(gè)平臺(tái)。其中工作空間窗口（Workspace）和啟動(dòng)平臺(tái)（Launch

4、Pad）共用一個(gè)窗口。 命令窗口（Command Window）：用于輸入MATLAB命令、函數(shù)、矩陣、表達(dá)式等信息，并顯示除圖形之外的所有計(jì)算結(jié)果，是MATLAB的主要交互窗口。當(dāng)命令窗口出現(xiàn)提示符〉〉 時(shí)，表示MATLAB已準(zhǔn)備好，可以輸入命令、變量或運(yùn)行函數(shù)。 工作空間窗口（Workspace）：是MATLAB用于存儲(chǔ)各種變量和結(jié)果的內(nèi)存空間。通過(guò)工作空間窗口可以觀察數(shù)據(jù)名稱(chēng)、尺寸及數(shù)據(jù)類(lèi)型等信息。 當(dāng)前路徑窗口（Current Directory）：用于顯示及設(shè)置當(dāng)前的工作目錄，同時(shí)顯示當(dāng)前工作目錄下的文件名、文件類(lèi)型及目錄的修改時(shí)間等信息。 命令歷史窗口（Command Hi

5、story）：為記錄已運(yùn)行過(guò)的MATLAB命令而設(shè)計(jì)的，該窗口記錄已運(yùn)行過(guò)的命令、函數(shù)、表達(dá)式等信息；也可以進(jìn)行命令歷史的查找、檢查等工作；也可以在該窗口對(duì)命令歷史進(jìn)行復(fù)制及重運(yùn)行。 啟動(dòng)平臺(tái)（Launch Pad）：可以幫助用戶(hù)方便地打開(kāi)和調(diào)用MATLAB的各種程序、函數(shù)和幫助文件。啟動(dòng)平臺(tái)列出了系統(tǒng)中安裝的所有的MATLAB產(chǎn)品和目錄，包括MATLAB產(chǎn)品的幫助界面、演示界面、各種應(yīng)用界面及網(wǎng)站的產(chǎn)品頁(yè)等。 1.3 MATLAB的程序設(shè)計(jì)及調(diào)試 1.3.1 M文件的創(chuàng)建 M文件是一個(gè)文本文件，它可以用任何編輯程序來(lái)建立和編輯。最方便的還是使用MATLAB提供的文本編輯器，因?yàn)镸AT

6、LAB文本編輯器具有編輯與調(diào)試兩種功能。建立M文件只要啟動(dòng)文本編輯器，在文擋窗口中輸入M文件的內(nèi)容，然后保存即可。啟動(dòng)文本編輯器有三種方法： （1）菜單操作：從MATLAB操作桌面的“File”菜單中選擇“New”菜單項(xiàng)，再選擇“M-file”命令，屏幕上將出現(xiàn)MATLAB文本編輯器窗口。 （2）命令操作：在MATLAB命令窗口輸入命令“edit”，按〈Enter〉鍵后，即可啟動(dòng)。 （3）命令按鈕操作：?jiǎn)螕鬗ATLAB命令窗口工具欄上的新建命令按鈕，啟動(dòng)MATLAB文本編輯器。 打開(kāi)已有的M文件，也有三種方法： （1）菜單操作：從MATLAB操作桌面的“File”菜單中選擇“Open

7、”菜單項(xiàng)，則屏幕上出現(xiàn)Open對(duì)話(huà)框，在Open對(duì)話(huà)框中選擇所需打開(kāi)的M文件。在文檔窗口可以對(duì)打開(kāi)的M文件進(jìn)行編輯修改，編輯完成后，將M文件存盤(pán)。 （2）命令操作：在MATLAB命令窗口輸入命令，即“edit”文件名，則打開(kāi)指定的M文件。 （3）命令按鈕操作：?jiǎn)螕鬗ATLAB命令窗口工具欄上”O(jiān)pen File”命令按鈕，再?gòu)膹棾龅膶?duì)話(huà)框中選擇所需打開(kāi)的M文件。 1.3.2流程控制 MATLAB的流程控制語(yǔ)句包括循環(huán)控制、條件轉(zhuǎn)移等，語(yǔ)法與其他高級(jí)語(yǔ)言相似。 1．循環(huán)語(yǔ)句 MATLAB里的循環(huán)語(yǔ)句結(jié)構(gòu)可用for ．．．end語(yǔ)句和while．．．end語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)。 （1）f

8、or ．．．end語(yǔ)句 for語(yǔ)句使用靈活，通常用于循環(huán)次數(shù)已確定的情況。其調(diào)用格式為： for變量名=表達(dá)式 循環(huán)體語(yǔ)句組 end （2）while．．．end語(yǔ)句 while語(yǔ)句一般用于實(shí)現(xiàn)不能確定循環(huán)次數(shù)的情況。while語(yǔ)句的基本形式是： while條件表達(dá)式 循環(huán)體語(yǔ)句組 end 2．條件語(yǔ)句： MATLAB使用如下的if命令，語(yǔ)法和C語(yǔ)言相似。 if （邏輯運(yùn)算式） （true語(yǔ)句組）

9、 else （false語(yǔ)句組） end 其中也可以用elseif進(jìn)行多分支選擇。 3．開(kāi)關(guān)語(yǔ)句結(jié)構(gòu) MATLAB從5.0版本開(kāi)始提供了開(kāi)關(guān)語(yǔ)句結(jié)構(gòu)，其基本格式為： Switch 開(kāi)關(guān)表達(dá)式 case 表達(dá)式1 語(yǔ)句組1 Case 表達(dá)式2 語(yǔ)句組2 ．．． otherwise 語(yǔ)句組n end 4

10、．試探式語(yǔ)句結(jié)構(gòu) MATLAB從5.2版本開(kāi)始提供試探式語(yǔ)句結(jié)構(gòu)，其基本格式為： try 語(yǔ)句組1 Catch 語(yǔ)句組1 End 5．break、continue與 return語(yǔ)句 與循環(huán)結(jié)構(gòu)相關(guān)的語(yǔ)句還有break語(yǔ)句和continue語(yǔ)句。它們一般與if語(yǔ)句配合使用。break語(yǔ)句用來(lái)終止當(dāng)前的循環(huán)；continue語(yǔ)句用來(lái)終止本次循環(huán)并繼續(xù)下次循環(huán)；return語(yǔ)句用來(lái)終止本次函數(shù)調(diào)用或終止鍵盤(pán)輸入的模式。 1.3.3 程序的調(diào)試 一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)用程序的錯(cuò)誤有兩類(lèi)：語(yǔ)法錯(cuò)誤

11、與運(yùn)行錯(cuò)誤。語(yǔ)法錯(cuò)誤包括詞法或文法的錯(cuò)誤，例如函數(shù)名的拼寫(xiě)錯(cuò)誤、表達(dá)式的書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤等。程序運(yùn)行時(shí)的錯(cuò)誤是指程序的運(yùn)行結(jié)果有錯(cuò)誤，這類(lèi)錯(cuò)誤也稱(chēng)為程序邏輯錯(cuò)誤。 1．調(diào)試器的使用 MATLAB程序編輯/調(diào)試器上與調(diào)試有關(guān)的主要菜單項(xiàng)及按鈕有： Continue：恢復(fù)程序運(yùn)行至結(jié)束或另一斷點(diǎn)。 Single Step：?jiǎn)尾綀?zhí)行函數(shù)。 Step in：深入下層局部工作區(qū)。 Quit Debugging：退出調(diào)試狀態(tài)。 Set/Clear Breakpoint：設(shè)置/清除光標(biāo)處的斷點(diǎn)。 Clear All Breakpoint：清除程序中的所有斷點(diǎn)。 Stop if Error：運(yùn)行至出

12、錯(cuò)或結(jié)束。 Stop if Warring：運(yùn)行至警告消息或結(jié)束。 Stop if NaN or Inf：運(yùn)行至運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)NaN或Inf。 2．調(diào)試命令 除了采用調(diào)試器調(diào)試程序外，MATLAB還提供了一些命令用于程序調(diào)試。命令的功能和調(diào)試器菜單命令相似，當(dāng)M文件大，遞歸調(diào)用或者多次嵌套時(shí)，用MATLAB的調(diào)試函數(shù)會(huì)更方便。 第二章 MATLAB 在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 2.1 概述 MATLAB提供了大量的控制工程計(jì)算、設(shè)計(jì)庫(kù)函數(shù)。其中，控制系統(tǒng)軟件包包括復(fù)數(shù)運(yùn)算、特征值計(jì)算、方程求解、矩陣變換以及FFT等重要計(jì)算工具及舉例。MATLAB的線性代數(shù)處理，矩陣運(yùn)算

13、和數(shù)值分析的能力為控制系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)及其它學(xué)科研究提供了可靠的基礎(chǔ)和強(qiáng)有力的研究工具。 控制系統(tǒng)軟件包利用MATLAB矩陣功能提供了適用于控制工程的專(zhuān)用函數(shù)，這些函數(shù)大部分用M文件表示?？刂葡到y(tǒng)軟件包可以方便地用于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、分析和建模。 在控制系統(tǒng)軟件包中，控制系統(tǒng)通常采用傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間兩種形式建模，允許“經(jīng)典”和“現(xiàn)代”技術(shù)并用，既可處理連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)也可處理離散時(shí)間系統(tǒng)，并且可以進(jìn)行不同模型表示形式之間的相互轉(zhuǎn)換，也可以計(jì)算和繪制時(shí)間響應(yīng)、頻率響應(yīng)及根軌跡圖。此外M文件還能夠進(jìn)行極點(diǎn)配置和最優(yōu)控制器的參數(shù)計(jì)算。即使在軟件包中沒(méi)有提供的功能，也可以通過(guò)編寫(xiě)新的M文件方式來(lái)構(gòu)造。 2

14、.2 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 在MATLAB中，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要有：微分方程模型、傳遞函數(shù)模型、零極點(diǎn)模型、狀態(tài)方程模型和結(jié)構(gòu)圖模型。這些模型之間存在著內(nèi)在的等效關(guān)系。 2.2.1物理系統(tǒng)的微分方程 利用機(jī)械學(xué) 、電學(xué)、流體力學(xué)和熱力學(xué)等的物理規(guī)律，我們可以得到物理系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。它們通常用常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述。 通過(guò)拉普拉斯變換和反變換，可得到線性時(shí)不變方程的解析解，也可用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 φ(t)求解。這些分析方法通常只限于常系數(shù)的線性微分方程。解析解是精確的，然而通常尋找解析解是困難的，甚至是不可能的。而數(shù)值分析方法直接在時(shí)域里求解微分方程，不僅適用于線性時(shí)不變方程，也適用于

15、非線性以及時(shí)變微分方程。 MATLAB提供了兩個(gè)求微分方程數(shù)值解的函數(shù)，它們采用龍格-庫(kù)塔(Runge-kutta)法。Ode23和ode45分別表示采用2階和4階龍格—庫(kù)塔公式，后者具有更高的精度。 n階微分方程必須化為n個(gè)首1的一階微分方程組，且放入M-文件中，以便返回方程狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，下面舉例介紹這些函數(shù)的用法。 例2.1 對(duì)圖2-1的機(jī)械系統(tǒng)，已知三個(gè)量——拉力、摩擦力、以及彈簧力都影響質(zhì)量M的加速度。 解： 利用牛頓運(yùn)動(dòng)定理，建立系統(tǒng)的力平衡方程式 圖2-1 令 ，有 設(shè)質(zhì)量M=1kg，摩擦系數(shù)B=5N/m/sec，彈簧常數(shù)K

16、=25N/m。在t=0時(shí)刻，施加25N的拉力。上述方程及已知量在M-文件mechsys.m中定義如下： function xdot=mechsys(t, x); F=25; M=1;B=5;K=25; xdot=[x(2);1/M*(F-B*x(2)-K*x(1))]; 下面的M-文件使用ode23對(duì)系統(tǒng)在零初始條件下進(jìn)行仿真： t0=0; tfinal=3; ％時(shí)間間隔0～3秒 x0=[0,0]; ％零初始條件 tol=0.001; ％精度 trace=0;

17、 ％如果非零，則打印出每一步的計(jì)算值 [t, x]=ode23(’mechsys’,t0,tfinal,x0,tol,trace) subplot(211),plot(t, x); title (’Time response of mechanical translational system’) xlabel (’Time-sec’) text (2,1.2,’displacement’) text (2,.2,’veloclty’) d=x(:,1);v=x(:,2); subplot(212),plot(d,v); title (’velocity ver

18、sus displacement’) xlabel (’displacement’) ylabel (’velocity’) subplot(111) 仿真結(jié)果如圖2-2。 圖2-2 2.2.2 傳遞函數(shù)模型（tf模型） 線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：零初始條件下輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。 盡管傳遞函數(shù)只能用于線性系統(tǒng)，但它比微分方程提供更為直觀的信息。令傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式等于零，便得到特征方程。特征方程的根是系統(tǒng)的極點(diǎn)，分子多項(xiàng)式的根是系統(tǒng)的零點(diǎn)。那么傳遞函數(shù)便可由常數(shù)項(xiàng)與系統(tǒng)的零、極點(diǎn)確定，即：。 傳遞函數(shù)中的常數(shù)項(xiàng)，通常記作k，是系統(tǒng)的增益

19、。 傳遞函數(shù)還可以寫(xiě)作：，在MATLAB中，可以用分子分母的系數(shù)構(gòu)成兩個(gè)向量，唯一地確定系統(tǒng)：num=[] den=[] 需要注意的是：構(gòu)成分子、分母的向量按降冪順序排列，缺項(xiàng)部分用0補(bǔ)齊。 若傳遞函數(shù)的分子分母為多項(xiàng)式相乘的形式時(shí)，可借助多項(xiàng)式乘法運(yùn)算函數(shù)conv()來(lái)處理，以便獲得分子、分母多項(xiàng)式向量。 例： 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 可用下面語(yǔ)句來(lái)輸入： >>num=4*conv([1,2],conv([1,6,6]))) >>den=conv

20、([1,0],conv([1,1]conv([1,1],[1,3,2,5])))) 利用傳遞函數(shù)，我們可以方便的研究系統(tǒng)參數(shù)的改變對(duì)響應(yīng)的影響。通過(guò)拉普拉斯反變換可得到系統(tǒng)在時(shí)域的響應(yīng)。通常需要用有理函數(shù)的部分分式展開(kāi)。 在這部分舉幾個(gè)例子介紹MATLLAB中求特征多項(xiàng)式的根，求傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)，部分分式展開(kāi)以及已知零、極點(diǎn)求傳遞函數(shù)等函數(shù)的功能。 1．多項(xiàng)式的根和特征多項(xiàng)式 如果P是包含多項(xiàng)式系數(shù)的行向量，roots(P)得到一個(gè)列向量，其元素為多項(xiàng)式的根。如果r是包含多項(xiàng)式根的一個(gè)行/列向量，poly(r)得到一個(gè)行向量，其元素為多項(xiàng)式的系數(shù)。 例2.2 求多項(xiàng)式 s6+9s

21、5+31.25s4+61.25s3+67.75s2+14.75s+15的根。 多項(xiàng)式系數(shù)以降冪次序排列在一行向量中。用roots求根。 >>P=[1 9 31.25 61.25 67.75 14.75 15]; >>r=roots(P) 多項(xiàng)式的根從列向量r中得到 r = -4.0000 -3.0000 -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i -0.0000 + 5.0000i -0.0000 - 5.0000i 例2.3 多項(xiàng)式的根為-1,-2,-3j4。求多項(xiàng)式方程。 為了輸入復(fù)數(shù)，必須首先建立虛數(shù)單位。然后在行/列向

22、量中輸入根。使用poly得到多項(xiàng)式方程。 >> i=sqrt(-1); >> r=[-1;-2;-3+4*i;-3-4*i]; >> p=poly(r) 多項(xiàng)式的系數(shù)從行向量中得到 p = 1 9 45 87 50 因此，多項(xiàng)式方程為 s4+9s3+45s2+87s+50=0 2．傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn) （1）函數(shù)tf2zp求傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，極點(diǎn)和增益。 例2.4 求下列傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，極點(diǎn)和增益。 >> num=[1 11 30 0]; >> den=[1 9 45 87 50]； >> [z, p, k]=tf2zp(num, den

23、) z = 0 -6.0000 -5.0000 p = -3.0000 + 4.0000i -3.0000 - 4.0000i -2.0000 -1.0000 因而有 例2.5 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，求該系統(tǒng)的零、極點(diǎn)模型。 >>num=[2，0，9，1]； >>den=[1，1，4，4]； >>[z,p,k]=residue(num,den) （2）函數(shù)zp2tf根據(jù)給定零點(diǎn)，極點(diǎn)和增益求傳遞函數(shù)。 例2.6系統(tǒng)的零點(diǎn)為-6,-5,0,極點(diǎn)為-3j4,-2,-1,增益為1。求其傳遞函數(shù)。 >> z=[-6;-5;0];k=1; >> i=sqrt(-1)

24、; >> p=[-3+4*i;-3-4*i;-2;-1]; >> [num, den]=zp2tf(z, p, k) 上面程序的結(jié)果為 num = 0 1 11 30 0 den = 1 9 45 87 50 因此，傳遞函數(shù)為 3．部分分式展開(kāi) 函數(shù)[r, p, k]=residue(b, a)，對(duì)兩個(gè)多項(xiàng)式的比進(jìn)行部分分式展開(kāi)，如 (1.3) 向量b, a以s的降冪順序排列多項(xiàng)式的系數(shù)。部分分式展開(kāi)后余數(shù)送入列向量r，極點(diǎn)送入列向量p，常數(shù)項(xiàng)送入k。 例2.7

25、對(duì)F(s)進(jìn)行部分分式展開(kāi) >> b=[2 0 9 1]; >> a=[1 1 4 4]; >> [r, p, k]=residue(b, a) 結(jié)果如下： r = 0.0000 - 0.2500i 0.0000 + 0.2500i -2.0000 p = -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 k = 2 因而，部分分式展開(kāi)為 函數(shù)[b, a]=residue(r, p, k)將部分分式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式比P(s)/Q(s)。 2.2.3狀態(tài)空間描述 集總參數(shù)的線性網(wǎng)絡(luò)可用微分方程表示為

26、 該系統(tǒng)的一階微分方程即為狀態(tài)方程，X是狀態(tài)向量。狀態(tài)空間方法易采用數(shù)字或模擬計(jì)算機(jī)求解。另外，狀態(tài)空間方法容易拓展到非線性系統(tǒng)。狀態(tài)方程可從n階微分方程得到，或者在系統(tǒng)模型中選用合適的狀態(tài)變量直接寫(xiě)出。 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 在MATLAB中，只要將A，B，C，D幾個(gè)矩陣輸入進(jìn)去即可。 例2.8 用狀態(tài)空間模型描述下面兩輸入兩輸出系統(tǒng)： 可表示為： >>A=[1 6 9 10；3 12 6 8；4 7 9 11；5 12 13 14]； >>B=[4 6；

27、2 4；2 2；1 0]； >>C=[0 0 2 1；8 0 2 2]； >>D=zeros（2 ，2） 例2.9 求下列矩陣的特征方程的根 用ploy求矩陣的特征方程的根。用roots求方程的根。 >> A=[0 1 -1;-6 -11 6;-6 -11 5]; >> P=poly(A) >> r=roots(P) 結(jié)果如下： P= 1.0000 6.0000 11.0000 6.0000 r = -3.0000 -2.0000 -1.0000 2.3 控制系統(tǒng)函數(shù)全集 2.3.1 模型轉(zhuǎn)換函數(shù) 下面一組函數(shù)允許線性時(shí)不變

28、系統(tǒng)（LTI系統(tǒng)）模型的不同表示形式之間可以互相轉(zhuǎn)換。 （1）狀態(tài)空間模型到傳遞函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換。 ［num，den]=ss2tf（a，b，c，d，u） （2）狀態(tài)空間模型到零-極點(diǎn)增益模型的轉(zhuǎn)換。 [z，p，k]= sstzp（a，b，c，d，u） (3)傳遞函數(shù)模型到狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換。 ［a，b，c，d］= tf2ss（num，den） （4）傳遞函數(shù)模型到零-極點(diǎn)增益模型的轉(zhuǎn)換。 ［z，p，k］= tf2zp（num，den） （5）零一極點(diǎn)增益模型到狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換。 [a，b，c

29、，d]= zp2ss（z，p，k） (6) 零-極點(diǎn)增益模型到傳遞函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換。 [num，den]= zp2tf（z，p，k） （7）傳遞函數(shù)模型到部分分式模型的轉(zhuǎn)換。 ［z，p，k］= residue（num，den） （8）部分分式模型到傳遞函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換。 [num，den]= residue（z，p，k） （9）連續(xù)系統(tǒng)模型到離散系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換。 [ad，bd]=c2d（a，b，Ts） （10）離散系統(tǒng)模型到連續(xù)系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換。 [a，b]=d2c（ab，bd，Ts） 下面舉例說(shuō)明模型之間

30、的轉(zhuǎn)換： 1．傳遞函數(shù)向狀態(tài)空間描述的轉(zhuǎn)換 控制系統(tǒng)工具箱包含一組模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)。[A,B,C,D]=tf2ss(num, den)將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間描述。 例2.10 求下面?zhèn)鬟f函數(shù)的狀態(tài)空間描述 >> num=[1 7 2]; den=[1 9 26 24]; >> [A, B, C, D]=tf2ss(num, den) 狀態(tài)方程各矩陣如下： D=0 2．狀態(tài)空間描述向傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換 已知狀態(tài)方程和輸出方程

31、 y=Cx+Du 采用拉普拉斯變換有 Y(s)=C(sI-A)-1Bu(s)+Du(s) 則 函數(shù)ss2tf(A,B,C,D,i)是將狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換為對(duì)第一個(gè)輸入的傳遞函數(shù)。 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,i)是將狀態(tài)空間描述化為分子、分母多項(xiàng)式形式的傳遞函數(shù)。 [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,i)將狀態(tài)空間描述化為零極點(diǎn)形式表示的傳遞函數(shù)。 例2.11 一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下 y=[1

32、 0 0]x 求傳遞函數(shù)G(s)=Y(s)/U(s) >>A=[0 1 0; 0 00 1; -1 -2 -3]; B=[10; 0; 0]; >>C=[1 0 0];D=[0]; >>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) >>[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1) 其中，ss2tf(A,B,C,D,1)中“1”表示對(duì)第一個(gè)輸入。 傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)如下： num= 0 10.0000 30.0000 20.0000 den= 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000

33、 傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)如下： z= -1 -2 p= -0.3376+0.5623i -0.3376-0.5623i -2.3247 k=10 因而傳遞函數(shù)為 3．由方框圖求狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)工具箱中提供了函數(shù)[A,B,C,D]=connect(a, b, c, q, iu, iy)。將方框圖描述轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)。其中q矩陣規(guī)定了各框之間的連接關(guān)系。其每一行的第一個(gè)元素是框號(hào)，其余的元素依次是于該框連接的框號(hào)，iu,iy分別表示輸入，輸出施加的框號(hào)。 例2.12 將圖2-3由框圖表示的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)。 >>n1=1; d1

34、=1; n2=0.5; d2=1; n3=4; d3=[1 4]; >>n4=1; d4=[1 2]; n5=1; d5=[1 3]; n6=2; d6=1; >>n7=5; d7=1; n8=1; d8=1; >>nblocks=8; blkbuild >>q=[1 0 0 0 0 ％q矩陣表示框圖的結(jié)構(gòu)。 2 1 -6 -7 -8 如第2個(gè)框于第1個(gè)框按 3 2 0 0 0 1的關(guān)系連接，于第6.7.8 4 3 0 0 0

35、 個(gè)框按-1關(guān)系連接，依次類(lèi)推。 5 4 0 0 0 6 3 0 0 0 7 4 0 0 0 8 5 0 0 0]; >>iu=[1]; ％輸入施加于第1個(gè)框上 >>iy=[8]; ％由第8個(gè)框輸出 >>[A, B, C, D]=connect(a, b, c, d, q, iu, iy) >>[num, den]=ss2tf(A,B,C,D,1) ％轉(zhuǎn)換成傳遞函

36、數(shù) 結(jié)果為 A= -8.0 -2.5 -0.5 0.4 -2.0 0 0 1.0 -3.0 B= 0.5 0 0 C= 0 0 1 D= 0 num= 0 0 0 2 den= 1.0 13.0 56.0 80.0 即 2.3.2 分析函數(shù) 控制系統(tǒng)軟件包提供了控制系統(tǒng)工程需要的基本的時(shí)域與頻域分析工具函數(shù)。 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析函數(shù) impulse 脈沖響應(yīng) step 階躍響應(yīng) lsim 任意輸入的仿真 bode 波特圖 nyquist 奈奎斯特圖 lyap 李雅普諾

37、夫方程 gram 可控性與可觀性 離散時(shí)間系統(tǒng)分析函數(shù) dimpulse 單位采樣響應(yīng) dstep 階躍響應(yīng) filter SISO系統(tǒng)z變換仿真 dbode 離散波特圖 freqz SISO系統(tǒng)Z變換頻域響應(yīng) dlyap 李雅普諾夫方程 dgram 離散可控性與可觀性 2.3.3 閉環(huán)系統(tǒng)建模 上面給出的函數(shù)為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)提供了頻域和時(shí)域分析工具，適合于4參數(shù)(A,B,C,D)系統(tǒng)、3參數(shù)（z，p，k）系統(tǒng)和2參數(shù)（N，q）。但是還沒(méi)有用于分析閉環(huán)系統(tǒng)的專(zhuān)門(mén)命令工具。閉環(huán)系統(tǒng)必須滿(mǎn)足完全的閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。 例2.13 設(shè)狀態(tài)空

38、間描述的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)模型如下: 　　=Ax＋Bu 　　 y=Cx＋Du 并具有參考輸入r的全狀態(tài)反饋控制準(zhǔn)則 u= -Kx＋Nr 為了給該閉環(huán)系統(tǒng)建模，求解該閉環(huán)系統(tǒng)矩陣 = Ax＋Bu = Ax-BKx＋BNr =（A-BK）x＋BNr y= Cx+Du = CX-DKx＋DNr =（C-DK）x＋DNr 組成閉環(huán)系統(tǒng)矩陣簡(jiǎn)單的M函數(shù)為 aa=a-b*k； bb= b*n； cc＝c-d*k； dd=d*n； 這個(gè)新函數(shù)允許用

39、標(biāo)準(zhǔn)分析工具研究其閉環(huán)系統(tǒng)特性。 建立描述閉環(huán)系統(tǒng)（A，B，C，D）矩陣的這一基本方法可以擴(kuò)展到建立更加復(fù)雜系統(tǒng)的模型。對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，（A，B，C，D）矩陣伴隨著子系統(tǒng)增加而急劇增大。由于采用這種方法，建模和分析工具完全通用，可適用于任意 LTI系統(tǒng)。 建立模型的其它函數(shù) append 兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)合成 connect 方框圖建模 parallel 系統(tǒng)并聯(lián)連接后的等效系統(tǒng)生成 series 系統(tǒng)串聯(lián)連后的等效系統(tǒng)生成 minreal 最小實(shí)現(xiàn)和零-極點(diǎn)相消 特別是connect函數(shù)，是一種尋找狀態(tài)空間模型的綜合性函數(shù)。 2.3

40、.4 設(shè)計(jì)函數(shù) 為了參考閉環(huán)控制系統(tǒng)選擇反饋增益的過(guò)程，采用了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)（design）術(shù)語(yǔ)。設(shè)計(jì)也包括控制器結(jié)構(gòu)選擇和可能性估計(jì)器結(jié)構(gòu)。大部分設(shè)計(jì)方法是反復(fù)的，帶有分析的組合參數(shù)選擇、仿真及物理觀察。 控制系統(tǒng)軟件包有一套幫助實(shí)現(xiàn)增益選擇工具的函數(shù)。對(duì)于這些函數(shù)更多的信息可以通過(guò)在線幫助進(jìn)一步了解。 增益選擇函數(shù) margin 增益與相位裕量 place 極點(diǎn)配置 rlocus 根軌跡 lqe 線性平方估計(jì)器設(shè)計(jì) lqr 線性平方調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì) dlqe 離散線性平方估計(jì)器設(shè)計(jì) dlqr 離散線性平方

41、調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì) 本節(jié)總結(jié)： 控制系統(tǒng)函數(shù)全集 以下為控制系統(tǒng)軟件包中函數(shù)的全集，分類(lèi)列出，以便快速查閱。對(duì)全部函數(shù)功能、格式的詳細(xì)描述可以利用在線幫助功能得到。 模型建立 append 兩系統(tǒng)合成函數(shù) connect 方框圖建模函數(shù) parallel 系統(tǒng)并聯(lián)后的等效系統(tǒng)生成函數(shù) series 系統(tǒng)串聯(lián)后的等效系統(tǒng)生成函數(shù) ord2 形成二階系統(tǒng)的A, B，C，D函數(shù) 模型轉(zhuǎn)換 ss2tf 狀態(tài)空間模型到傳

42、遞函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換函數(shù) ss2zp 狀態(tài)空間模型到零一極點(diǎn)模型的轉(zhuǎn)換函數(shù) tf2ss 傳遞函數(shù)模型到狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換函數(shù) zp2tf 零一極點(diǎn)模型到傳遞函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換函數(shù) zp2ss 零一極點(diǎn)模型到狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換函數(shù) residue 部分分式展開(kāi)函數(shù) c2d 連續(xù)時(shí)間模型到離散時(shí)間模型的轉(zhuǎn)換函數(shù) d2c 離散時(shí)間模型到連續(xù)時(shí)間模型的轉(zhuǎn)換函數(shù) tf2zp 傳遞函數(shù)模型到零一極點(diǎn)模型的轉(zhuǎn)換函數(shù) 模型實(shí)現(xiàn) ctrbf 可控性階梯形式函數(shù) obsvf 可觀性階梯形式函數(shù) mineral 最小實(shí)現(xiàn)及零一極點(diǎn)相消函數(shù) balreal 平

43、衡實(shí)現(xiàn)函數(shù) modred 模型降價(jià)函數(shù) dbalreal 離散平衡實(shí)現(xiàn)函數(shù) dmodreal 離散模型降階函數(shù) 模型特性 damp 阻尼系數(shù)及自然頻率函數(shù) gram 可控性與可觀性函數(shù) gramians 用于時(shí)變系統(tǒng)的可控性與可觀性函數(shù) dgram 離散系統(tǒng)可控性與可觀性 ctrb 可控性矩陣函數(shù) obsv 可觀性矩陣函數(shù) tzero 傳輸零點(diǎn)函數(shù) 時(shí)間響應(yīng) impulse 沖擊響應(yīng) step 階躍響應(yīng) lsim 任意輸入的連續(xù)系統(tǒng)仿真 dimpulse 離散時(shí)間單位脈沖響應(yīng) dstep 離散時(shí)間階躍響應(yīng) dlsim

44、 任意輸入的離散時(shí)間系統(tǒng)仿真 filter SIMO Z變換仿真 頻率響應(yīng) bode 波特圖 nyquist 奈奎斯特圖 dbode 離散波特圖 freqz Z變換頻率響應(yīng) freqs 拉氏變換頻率響應(yīng) 增益選擇 lqr 線性二次調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì) lqe 線性二次估測(cè)器設(shè)計(jì) dlqr 離散線性二次調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì) dlqe 離散線性二次估測(cè)器設(shè)計(jì) margin 幅值和相角裕量 place 極點(diǎn)配置 rlocus 根軌跡 應(yīng)用 lyap 李雅魯諾夫方程 dlyap 離散李雅

45、魯諾夫方程 fixphase 波特圖展開(kāi)相角 abcdcheck 檢查（A，B,C，D）的一致性 nargcheck 檢查 M文件幅角數(shù) 第三章 控制系統(tǒng)的校正 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，就是在系統(tǒng)中引入適當(dāng)?shù)沫h(huán)節(jié)，用以對(duì)原有系統(tǒng)的某些性能進(jìn)行校正，使之達(dá)到理想的效果，故又稱(chēng)為系統(tǒng)的校正。 單變量系統(tǒng)常用的校正方式主要有兩種：一種是校正裝置與被控對(duì)象串聯(lián)，如圖3-1所示。這種校正方式稱(chēng)為串聯(lián)校正。另一種校正方式是從被控對(duì)象中引出反饋信號(hào)，與被控對(duì)象或其一部分構(gòu)成反饋回路，并在

46、局部反饋回路設(shè)置校正裝置。這種校正方式稱(chēng)為局部反饋校正，如圖3-2所示。 圖2-1 圖3-1 串聯(lián)校正 圖3-2 反饋校正 串聯(lián)校正和局部反饋校正應(yīng)用都相當(dāng)普遍，究竟選擇哪一種，取決于系統(tǒng)中信號(hào)的性質(zhì)，可供采用的元件以及其他條件。兩種校正方式結(jié)合起來(lái)可以收到更好的效果。 控制系統(tǒng)常用的校正方法有：頻域法校正、根軌跡法校正和狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)。其中最常用的經(jīng)典方法是頻域法和根軌跡法。 3.1 頻域法校正 當(dāng)系統(tǒng)的性能指標(biāo)以幅值裕量、相位裕量和誤差系數(shù)等形式給出時(shí)，采用頻域法來(lái)分析和設(shè)計(jì)是很方便的。應(yīng)用頻域法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正，其目的是改變系統(tǒng)的頻域特性

47、形狀，使校正后系統(tǒng)的頻域特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性，以及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿(mǎn)足所要求的性能指標(biāo)。 控制系統(tǒng)中常用的串聯(lián)校正裝置是帶有單零點(diǎn)和單極點(diǎn)的濾波器。若其零點(diǎn)比極點(diǎn)更靠近原點(diǎn)，則稱(chēng)之為串聯(lián)超前校正；反之稱(chēng)為串聯(lián)滯后校正，另外還有串聯(lián)超前+串聯(lián)滯后校正。 3.1.1 串聯(lián)超前校正（PD校正） 超前校正（亦稱(chēng)PD校正）的傳遞函數(shù)為 （3.1） 其對(duì)數(shù)頻率特性如圖3-3所示。超前校正能夠產(chǎn)生相位超前角，它的強(qiáng)度可由參數(shù)α表征。 超前校正的相頻特性函數(shù)是 θ（ω）=arctgαωT-arctgωT

48、 （3.2） 最大相移點(diǎn)位于對(duì)數(shù)頻率的中心點(diǎn)，即 (3.3) 最大相移量為 （3.4） 或者 （3.5） 容易求出，在ωｍ點(diǎn)有 L(ωｍ)=10lgα (3.6) 圖3-3 基于頻率法綜合超前校正的步驟是： 1.

49、 首先根據(jù)靜態(tài)指標(biāo)要求，確定開(kāi)環(huán)比例系數(shù)K，并按已確定的K畫(huà)出系統(tǒng)固有部分的Bode圖。 2. 根據(jù)靜態(tài)指標(biāo)要求預(yù)選ωc，從Bode圖上求出系統(tǒng)固有部分在ωc點(diǎn)的相角。 3. 根據(jù)性能指標(biāo)要求的相角裕量，確定在ωc點(diǎn)是否需要提供相角超前量。如需要，算出需要提供的相角超前量θm。 4. 如果所需相角超前量不大于60,按（3.5）求出超前校正強(qiáng)度α。 5. 令，從而求出超前校正的兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率1/αT和1/T。 6. 計(jì)算系統(tǒng)固有部分在ωc點(diǎn)的增益Lg(dB)及超前校正裝置在ωc點(diǎn)的增益Lc(dB)。如果Lg+Lc>0，則校正后系統(tǒng)的截止角頻率ωc′比預(yù)選的值要高。如果高出較多

50、，應(yīng)采用滯后超前校正，如果只是略高一些，則只需核算ωc′點(diǎn)的相角裕量，若滿(mǎn)足要求，綜合完畢，否則轉(zhuǎn)第3步。 如果Lg+Lc<0，則實(shí)際的ωc′低于預(yù)選的ωc?？蓪⑾到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益提高到Lg+Lc=0（即將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)比例系數(shù)提高lg-1[-(Lg+Lc)]/20倍）。 超前校正的主要作用是產(chǎn)生超前相角，可用于補(bǔ)償系統(tǒng)固有部分在截止角頻率ωc附近的相角滯后，以提高系統(tǒng)的相角穩(wěn)定裕量，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 例3.1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為=K，試用頻域法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前串聯(lián)校正設(shè)計(jì)。 ⑴要求滿(mǎn)足：①在單位斜坡信號(hào)r=t作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差≤0.1rad；②系統(tǒng)校正后，相角穩(wěn)定裕度

51、γ≥45；③開(kāi)環(huán)系統(tǒng)剪切頻率≥4.4rad/s；④幅值穩(wěn)定裕度h≥10dB。⑵對(duì)校正裝置進(jìn)行設(shè)計(jì)。 解： ⑴ 求滿(mǎn)足穩(wěn)態(tài)誤差要求的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K。 根據(jù)自動(dòng)控制理論與題意，本題給定系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，在單位斜坡信號(hào)r=t作用下，速度誤差系數(shù)，式中K是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 ，取K=10rad/s。 即被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為 ⑵ 做原系統(tǒng)的Bode圖與階躍響應(yīng)曲線，檢查是否滿(mǎn)足題目要求。 檢查原系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)是否滿(mǎn)足題目要求，并觀察其階

52、躍響應(yīng)曲線形狀。在程序文件方式下執(zhí)行如下MATLAB程序L1.m。 %MATLAAB PROGRAM L1.m clear K=10;n1=1; d1=conv([1 0],[1 1]); s1=tf(K*n1,d1);figure(1);margin(s1);hold on figure(2);sys=feedback(s1,1);step(sys) 程序運(yùn)行后，可得到如圖3-4所示未校正的系統(tǒng)的Bode圖及其性能指標(biāo)，還有如圖3-5所示未校正系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖3-4可知系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)。 幅值穩(wěn)定裕度：h=∞dB -π穿越頻率：=∞r(nóng)ad/s

53、相角穩(wěn)定裕度：γ=18 剪切頻率：=3.08rad/s 由圖16-1可知，系統(tǒng)校正前，相角穩(wěn)定裕度γ=18＜45，未滿(mǎn)足要求；開(kāi)環(huán)系統(tǒng)剪切頻率=3.08rad/s＜4.4rad/s，也未滿(mǎn)足要求。其階躍響應(yīng)曲線如圖3-5所示，圖中顯示，其超調(diào)量竟達(dá)60%，故原系統(tǒng)需要校正。 圖3-4 未校正系統(tǒng)的Bode圖 圖3-5 未校正系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) ⑶ 求超前校正裝置的傳遞函數(shù)。 由于原系統(tǒng)開(kāi)環(huán)剪切頻率=3.08rad/s＜4.4rad/s，所以必須對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前校正。 設(shè)超前校正裝置的傳遞函數(shù)， 用調(diào)用函數(shù)lead

54、c()的方法求超前校正裝置傳遞函數(shù)。leadc()函數(shù)的請(qǐng)自行編寫(xiě)。 clear K=10; n1=1;d1=conv([1 0]，[1 1])； so=tf(K*n1,d1); gama=45;wc=4.4 [Gc]=leadc(1,so,[gama]);%利用gama進(jìn)行校正 [Gc]=leadc(2,so,[wc]); %利用wc進(jìn)行校正 運(yùn)行結(jié)果 Tansfer function: 0.529s+1 --------------- 0.07007s+1 Tansfer function: 0.4512s+1 --------------- 0

55、.1145s+1 即對(duì)于校正后系統(tǒng)的相角穩(wěn)定裕度γ=45的超前校正裝置傳遞函數(shù)為 對(duì)于校正后系統(tǒng)的剪切頻率的超前校正裝置傳遞函數(shù)為 ⑷檢驗(yàn)系統(tǒng)校正后系統(tǒng)是否滿(mǎn)足題目要求。 ①計(jì)算系統(tǒng)校正后Bode圖及其性能指標(biāo)。 對(duì)校正后系統(tǒng)的相角穩(wěn)定裕度γ=45的，根據(jù)校正后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，給出以下MATLAB的程序L2.m。 %MATLAAB PROGRAM L2.m clear K=10;n1=1; d1=conv([1 0],[1 1]); s1=tf(K*n1,d1); n2=[0.52

56、9 1];d2=[0.07007 1]; s2=tf(n2,d2); sys=s1*s2; figure(1);margin(sys);hold on figure(2);sys=feedback(sys,1);step(sys) 程序運(yùn)行后，可得校正后的Bode圖如圖3-6所示。 圖3-6 校正后的系統(tǒng)Bode圖 由圖3-6可知系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)。 幅值穩(wěn)定裕度： h=∞dB -π穿越頻率：=∞r(nóng)ad/s 相角穩(wěn)定裕度： γ=60.9 剪切頻率：=5.19rad/s 可見(jiàn)校正后相角穩(wěn)定

57、裕度已經(jīng)滿(mǎn)足題目γ=60.9＞45的要求。剪切頻率=5.19rad/s＞4.4 rad/s，也滿(mǎn)足了要求。 ②計(jì)算系統(tǒng)校正后單位階躍響應(yīng)曲線及性能指標(biāo)。 程序運(yùn)行后，可得校正后系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖3-7所示。由圖可知校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)品質(zhì)指標(biāo)：超調(diào)量 σ%=11.25%；峰值時(shí)間=0.5821s；調(diào)節(jié)時(shí)間(5%誤差帶)=0.94s。 圖3-7 校正后系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線 對(duì)校正后系統(tǒng)的剪切頻率=4.4rad/s的超前校正裝置，同理可得校正后系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)。 幅值穩(wěn)定裕度： h=∞dB -π穿越頻

58、率：=∞r(nóng)ad/s 相角穩(wěn)定裕度： γ=49.3 剪切頻率：=4.4rad/s 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)指標(biāo)：超調(diào)量σ%=23.12%；峰值時(shí)間=0.66s；調(diào)節(jié)時(shí)間（5%）=1.12s。滿(mǎn)足題目要求的性能指標(biāo)。 3.1.2 串聯(lián)滯后校正（PI校正） 滯后校正（亦稱(chēng)PI校正）的傳遞函數(shù)為 (3.7) 其對(duì)數(shù)頻率特性如圖3-8所示。參數(shù)β表征滯后校正的強(qiáng)度。 圖3-8 基于頻率法的滯后校正指標(biāo)的綜合步驟是： 1. 首先根據(jù)靜態(tài)指標(biāo)要求確定開(kāi)環(huán)比例系數(shù)K，按照所確定的K畫(huà)出系統(tǒng)固有部分的Bod

59、e圖。 2. 根據(jù)動(dòng)態(tài)指標(biāo)要求試選ωc，從圖上求出在試選的ωc點(diǎn)的相角，判斷是否滿(mǎn)足相位裕量的要求（注意計(jì)入滯后校正將會(huì)帶來(lái)的50~120的滯后量），如果滿(mǎn)足，轉(zhuǎn)向下一步。否則，如果允許降低ωc，就適當(dāng)重選較低的ωc。 3. 從圖上求出系統(tǒng)固有部分在ωc點(diǎn)的開(kāi)環(huán)增益Lg(ωc)。如果Lg(ωc)>0，令 Lg(ωc)=20lgβ，求出β，就是滯后校正的強(qiáng)度，如果Lg(ωc)<0，則無(wú)須校正，且可將開(kāi)環(huán)比例系數(shù)提高。 4. 選擇ω2=1/T=（1/5~1/10）ωc，進(jìn)而確定ω1=1/(βT)。 5. 畫(huà)出校正后系統(tǒng)的Bode圖，校核相位裕量。 滯后校正的主要作用是降低中頻段

60、和高頻段的開(kāi)環(huán)增益，但同時(shí)使低頻段的開(kāi)環(huán)增益不受影響，從而達(dá)到堅(jiān)固靜態(tài)性能和穩(wěn)定性。它的副作用是會(huì)在ωc點(diǎn)產(chǎn)生一定的相角滯后。 例3.2 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 = 試用頻域法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行串聯(lián)校正設(shè)計(jì)，使之滿(mǎn)足以下條件： ⑴在單位斜坡信號(hào)r=t mm/s作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差≤0.33mm； ⑵系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：①系統(tǒng)超調(diào)量σ%≤38%；②調(diào)節(jié)時(shí)間≤5.5s； ③帶寬頻率≥4.0rad/s； ⑶對(duì)校正裝置進(jìn)行設(shè)計(jì)。 解： ⑴系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算。 本題給定系統(tǒng)為Ⅰ型，系統(tǒng)在勻速信號(hào)作用下穩(wěn)態(tài)誤差為常值，那么，滿(mǎn)足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)

61、性能指標(biāo)要求的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)為 根據(jù)自動(dòng)控制理論與題意，則校正環(huán)節(jié)要求的放大系數(shù)為 則滿(mǎn)足穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)要求的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ⑵ 作原系統(tǒng)的Bode與階躍響應(yīng)曲線，檢查是否滿(mǎn)足題目要求。 根據(jù)系統(tǒng)校正設(shè)計(jì)的步驟，首先檢查原系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)是否滿(mǎn)足題目要求，并觀察其階躍響應(yīng)曲線形狀或求其階躍響應(yīng)性能指標(biāo)。為此，給出如下用MATLAB 的函數(shù)命令margin()、step()列寫(xiě)的仿真程序L3.m。 % MATLAB PROGRAM L

62、3.m clear K=30; n1=1;d1=conv(conv([1 0],[0.1 1]),[0.2 1]); s1=tf(K*n1,d1); figure(1);margin(s1);hold on figure(2);sys=feedback(s1,1);step(sys) 程序運(yùn)行后，可得圖3-9未校正系統(tǒng)的Bode圖及頻域性能和圖3-9所示的未校正系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線。 圖3-9 未校正系統(tǒng)的 Bode圖及頻域性能 由計(jì)算數(shù)據(jù)可知未校正系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)。 幅值穩(wěn)定裕度： h=-6.02dB

63、 -π穿越頻率：=7.07rad/s 相角穩(wěn)定裕度： γ=-17.2 剪切頻率：=9.77rad/s 由計(jì)算的數(shù)據(jù)——相角穩(wěn)定裕量與幅值穩(wěn)定裕量均為負(fù)值，這樣的系統(tǒng)是根本不能工作的。這也可從發(fā)散振蕩的階躍響應(yīng)曲線（見(jiàn)圖3-10）看到，系統(tǒng)必須校正。 未校正原系統(tǒng)的剪切頻率：=9.77rad/s。 圖3-10 未校正系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) ⑶ 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算。 ① 因?yàn)? s%=0.16+0.4（Mr -1） 38%，則有 Syms Mr sigma; Mr=solv

64、e(0.16+0.4*(Mr-1)=0.38); Mr=vpa(Mr,3) 語(yǔ)句執(zhí)行結(jié)果 Mr =1.55 即，。 ② 又因，則有 syms Mr gamma gamma=solve(1.5=1/sin(gamma)); gamma=vpa(gamma*180/pi,3) 語(yǔ)句執(zhí)行結(jié)果 gamma =41.7 即γ=41.7 ③ 根據(jù)剪切頻率與頻帶間的關(guān)系，那么 ≤==2.5rad/s 題目要求≤5.5s，而， 當(dāng)選取時(shí)，有 syms ts omegac Mr Mr=1.5;ts=5.5; omegac=p

65、i*(2+1.5*(Mr-1)+2.5*(Mr-1)^2)/ts 程序運(yùn)行結(jié)果 omegac =1.9278 即 ≥1.93rad/s，考慮的上限，則有1.93rad/s≤≤2.5rad/s。選取校正后剪切頻率=2.5rad/s與相角裕度γ=41。 因?yàn)樾Ｕ蠹羟蓄l率=2.5rad/s小于原系統(tǒng)的剪切頻率=9.77rad/s，故選取滯后校正。 ⑷ 求滯后校正裝置的傳遞函數(shù)。 取校正后系統(tǒng)的剪切頻率=2.5rad/s與相角裕度γ=41。如果已知系統(tǒng)的校正后相角穩(wěn)定裕度與剪切頻率，可以調(diào)用函數(shù)lagc()的程序求滯后校正裝置的兩個(gè)傳遞函數(shù)。lagc

66、()函數(shù)需自行編寫(xiě)。 k0=30;n1=1; d1=conv(conv([1 0],[0.1 1]),[0.2 1]); sop=tf(k0*n1,d1); wc=2.5;gama=41; [Gc]=lagc(2,sop,[wc]) [Gc]=lagc(1,sop,[wc]) 程序運(yùn)行結(jié)果 Transfer function: 4s+1 -------------- 41.65s+1 Transfer function: 3.654s+1 -------------- 33.89s+1 即對(duì)校正后系統(tǒng)的剪切頻率=2.5rad/s的滯后校正裝置傳遞函數(shù)為 對(duì)校正后系統(tǒng)的相角裕度γ=41的滯后校正裝置傳遞函數(shù)為 ⑸ 校驗(yàn)系統(tǒng)校正后頻域性能是否滿(mǎn)足題目要求。 ① 對(duì)校正后系統(tǒng)的剪切頻率=2.5rad/s的包含有校正裝置的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 =30 根據(jù)校正后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，用MATLAB函數(shù)編寫(xiě)