江蘇省贛榆區(qū)高三3月份聯(lián)合調(diào)研考試 數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 江蘇省贛榆區(qū)2015屆高三3月份聯(lián)考調(diào)研考試 數(shù) 學(xué) 試 卷 一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．答案填在答題卡相應(yīng)的位置上） 1.已知集合，集合，則 . 2.復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的實部是 ． 3.設(shè)命題；命題，那么是的 條件(選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．充分不必要 4.從這五個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率為 ． 5.已知是不重合的兩條直線，是不重合的兩個平面．下列命題： ①若，，則∥； ②若，，則∥； ③若∥，，則； ④

2、若∥，，則∥． 其中所有真命題的序號是 .② 6.已知一個三棱錐的所有棱長均相等，且表面積為，則其體積為 ． 7.變量滿足，設(shè)，則的取值范圍是 ． 8.已知直線及直線截圓所得的弦長均為，則圓的面積是 ． 9.己知拋物線的焦點恰好是雙曲線的右焦點，且兩條曲線的交點的連線過點，則該雙曲線的離心率為　　　　． 10.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是 ． 11.設(shè)為中線的中點，為邊中點，且，若， ． 12.已知數(shù)列滿足，，它的前項和為，若，求 ．

3、 13.已知圓心角為的扇形的半徑為，為弧的中點，點、分別在半徑、上．若，則的最大值是_________． 14.函數(shù)的定義域為，若滿足①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，②存在，使在上的值域為，那么叫做對稱函數(shù)，現(xiàn)有是對稱函數(shù)，那么的取值范圍是 ． 二、解答題：（本大題共6小題，計90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．） 15. （本題滿分14分）已知 （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）若，且，求的值． 【思路分析】第（1）問利用倍角和降冪公式將進行“化一”，再求函數(shù)的周期；第（2）問在三角化簡求值中屬“給值求值”類型，應(yīng)綜合條

4、件式與目標式的特點，靈活進行角度配湊，選擇公式． 【解析】（1）因為，所以函數(shù)的最小周期．……（7分） （2）因為，所以，又因為，所以，即． =．……（14分） 16．(本題滿分14分) 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ∥，，，，為的中點． （1）求證：平面； （2）已知點為線段的中點，證明：∥平面． 證明：⑴△PAD中，PA=PD，Q為AD中點，∴PQ^AD， 底面ABCD中，AD//BC，BC=AD,∴DQ//BC,DQ=BC ∴BCDQ為平行四邊形， 由ADC=900，∴AQB=900，∴AD^BQ 由A

5、D^PQ,AD^BQ,BQ∩PQ=Q,PQ、BQ面PBQ ∴AD^平面PBQ ……(7分) ⑵連接CA,AC∩BQ=N,由AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ為平行四邊形， ∴N為AC中點， 由DPAC中，M、N為PC、AC中點， ∴MN//PA 由MN面BMQ，PA面BMQ ∴面BMQ‖PA …… (14分) 17.(本題滿分14分） 近年來玉制小掛件備受人們的青睞，某玉制品廠去年的年產(chǎn)量為萬件，每件小掛件的銷售價格平均為元，生產(chǎn)成本為元，從今年起工廠投入萬元科技成本，并計劃以后每年比上一年多投入萬元科技成本，預(yù)計產(chǎn)量每年遞增萬件

6、，設(shè)第年每件小掛件的生產(chǎn)成本元，若玉制產(chǎn)品的銷售價不變，第年的年利潤為萬元（今年為第年） （1）求的表達式； （2）問從今年算起第幾年的利潤最高？最高利潤為多少萬元？ 解（1）據(jù)題意，第年產(chǎn)量為（萬件），銷售額為100（萬元），科技成本為100萬元． ，……（7分） （2）令，得 當(dāng)且僅當(dāng)即，亦即時，取等號 故從今年起，第6年的利潤最高，且最高利潤為360（萬元）……（14分） 18.(本題滿分16分） 已知數(shù)列的前項和為，且滿足：， （1）求的值； （2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項公式； （3）令，，如果對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍. 【思路

7、分析】（1）、（2）兩問目標明確、思路清楚，第（3）問應(yīng)是采用分離參數(shù)的方法解決恒成立問題，具體來說，就是解不等式． 【解析】（1），……（3分） （2）由題可知： ① ②……（5分） ②-①可得 ……（6分） 即：，又……（8分） 所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．即……（10分） （3）由(2)可得， 由可得 由可得， 所以 ，故有最大值， 所以，對任意，有 ……（13分） 如果對任意，都有，即成立， 則，故有：， 解得或． 所以實數(shù)的取值范圍是 ．……（16分） 19．（本題滿分16分） 給定橢圓，稱圓

8、心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到距離為． （1）求橢圓及其“伴隨圓”的方程； （2）若過點的直線與橢圓只有一個公共點，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為，求的值； （3）過橢圓“伴隨圓”上一動點作直線，使得與橢圓都只有一個公共點，試判斷直線的斜率之積是否為定值,并說明理由. 解：（1）由題意得：，半焦距,則橢圓C方程為,“伴隨圓”方程為 ……(2分) （2）則設(shè)過點且與橢圓有一個交點的直線為，則整理得,則，解① 7分 又因為直線截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為，則有化簡得 ② ……8分 聯(lián)立①②解得，， 所以，

9、，則 …… (10分) （3）當(dāng)都有斜率時，設(shè)點其中，設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，由，消去得到 …………12分 即， ， 經(jīng)過化簡得到：， ……14分 因為，所以有，設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，所以滿足方程，因而，即直線的斜率之積是為定值 ……16分 20．（本題滿分16分） 已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖象是曲線． （1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間； （2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在唯一的實數(shù)，使得與同時成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與

10、曲線交于另一點，在點處作曲線的切線，設(shè)切線的斜率分別為．問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 20．(1)當(dāng)時， . ……………1分 令f (x)<0，解得，所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為． ……………2分 (2) ，由題意知消去， 得有唯一解．……………4分 令，則， 所以在區(qū)間，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，……………6分 又，， 故實數(shù)的取值范圍是． ……………8分 (3)設(shè)，則點處切線方程為， 與曲線：聯(lián)立方程組，得， 即 所以點的橫坐標．……………12分 由題意知，，， 若存在常數(shù)，使得，則， 即存在常數(shù)，使得， 所以解得，． ……………15分 故時，存在常數(shù)，使；時，不存在常數(shù)，使． ……………16分 - 10 -