自考 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 沖刺串講 考前老師劃重點(diǎn)

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1、第一章 隨機(jī)事件及其概率 1． 事件的關(guān)系與運(yùn)算 必然事件：—隨機(jī)試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的集合。 不可能事件： 一般事件A： 若A、B為兩事件 若，則其蘊(yùn)含：“A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生”。 若，這表示A發(fā)生時(shí)，B必不發(fā)生，反之亦然。 若 A-B=A，則AB=φ； 若 AB=A，則； 若A∪B＝A，則BA。 若為n個(gè)事件，由它們的運(yùn)算可產(chǎn)生諸多新事件，如 等等。 例1 事件發(fā)生等于“至少有1個(gè)發(fā)生”。 2．常用概率公式 （1），， （2）若，則 （3）；當(dāng)，則 （4） （5） （6）若兩兩互不相容，則 （7）若相互獨(dú)立，則

2、例2 設(shè) 則 　　　　 3．古典概型 古典概型：當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為有限個(gè)且諸結(jié)果等可能發(fā)生時(shí)，任一事件A的概率為 例3 從五個(gè)球（其中兩個(gè)白球、三個(gè)紅球）中任取兩球，設(shè)A：取到兩個(gè)白球；B：一白一紅球，求 （1）無(wú)放回抽樣： （2）有放回抽樣：每次有放回的取一球，連取兩次 ［注］：若設(shè)X為兩次有放回取球中取到白球數(shù)，則～，從而 4．條件概率 （1）若，則，其中A為任一事件。 （2）乘法公式： 　　 （其中） 例4 箱中有兩白球、三紅球，表第次取到白球，則 P

3、（“前兩次取到白球”） P（“第一次取到白球，第二次取到紅球”） （3）全概率公式：設(shè)是一完備事件組（或的一個(gè)劃分），即：，（即諸互不相容）且，則對(duì)任一事件A有 （4）Bayes公式 例5 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個(gè)為一批，在進(jìn)行抽樣檢查時(shí)，只從每批中抽取10個(gè)來檢查，如果發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品是不合格的，設(shè)每批產(chǎn)品中的次品最多不超過4個(gè)，并且恰有個(gè)次品的概率如下 （1）求各批產(chǎn)品通過的概率；（2）求通過檢查的各批產(chǎn)品中恰有i個(gè)次品的概率。 解：（1）設(shè)事件是恰有個(gè)次品的一批產(chǎn)品，則由題設(shè) 設(shè)事件A是這批產(chǎn)品通過檢查，即抽樣檢查的10個(gè)產(chǎn)品都是合格品

4、，則我們有 由全概率公式，即得 （2）由Bayes公式，所求概率分別為 5．事件的獨(dú)立性 （1）定義：A、B相互獨(dú)立等價(jià)于 （2）若相互獨(dú)立，則有 （3）有放回抽樣中的諸事件是相互獨(dú)立的。 例6 袋中有3白球，2個(gè)紅球，今有放回的抽取3次，求先后抽到（白、紅、白）的概率 解：設(shè)表第次抽到的白球，則所求為 （4）在n重貝努利（Bernoulli）試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為，即，則事件A發(fā)生K次的概率為 例7 一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，每次射擊的命中率為0.8，求：（1）恰好命中兩次的概率；（2）至少命中

5、一次的概率。 解：由于每次射擊相互獨(dú)立，故本題可視為的貝努利試驗(yàn)，其中 （1）設(shè)：“4次射擊恰命中兩次”，則 （2）設(shè)B：“4次射擊中至少命中一次”，表“4次皆未命中”，則 第二章 隨機(jī)變量及其概率分布 1． 離散型隨機(jī)變量 例1 設(shè)　　　　　　　　　　　　　，則 2．常見離散型隨機(jī)變量 （1）0—1分布：設(shè)～，則 應(yīng)用背景：一次抽樣中，某事件A發(fā)生的次數(shù)～，其中 例2 設(shè)某射手的命中率為p，X為其一次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X～ （2）二項(xiàng)分布：設(shè)X～，則 應(yīng)用背景：n次獨(dú)立重復(fù)抽樣中某事件A發(fā)生的次數(shù)X～，其中為事件A在

6、一次抽樣中發(fā)生的概率。 例３　某射手的命中率為0.8，X為其5次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，則X取的可能值為，，即X～ 記?。喝鬤～，則, （3）泊松（Poisson）分布 若則稱X服從參數(shù)的泊松分布，且，記X～， 應(yīng)用背景：偶然性事件發(fā)生的次數(shù)X一般服從某個(gè)參數(shù)的泊松分布，如某地的降雨的次數(shù)，車禍發(fā)生的次數(shù)等等。 另外，當(dāng)Y～，且n很大，P很小時(shí)，令，則 例4 一個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的次品率0.005，任取1000件，計(jì)算 解：設(shè)X表任取的1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X～，由于n很大，p很小，令 則（1） （2） 3．隨機(jī)變量的分布函數(shù)：X的分布函數(shù)為

7、， 的性質(zhì)：① ②若，則 ③ ④， 例5 設(shè)X的分布函數(shù)，其中，則b=______. 解：由知（因?yàn)椋? 由，及題設(shè)時(shí)，故 綜上有，即 例6 設(shè)X的分布函數(shù) 求　 解： 4． 連續(xù)型隨機(jī)變量 若，其中任意，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。 此時(shí)，； 其中 為X的概率密度，滿足（注意與分布律的性質(zhì)：相對(duì)照） 例7 設(shè)X的概率密度為，則c=________ 解：由知，故 5．常見連續(xù)型隨機(jī)變量 （1）均勻分布：設(shè)X～，則， ， 例8 設(shè)X～，且，則a=______ 解：易知且，即 解得 （2）指數(shù)分布設(shè)～，

8、則， ， 應(yīng)用背景：描述電子元件，某類動(dòng)物的壽命，或服務(wù)時(shí)間等。 例9設(shè)X為某類電子元件的壽命，求這類元件已經(jīng)使用t時(shí)，仍能正常工作的概率（設(shè)X～） 解：由題意所求為 （3）正態(tài)分布，設(shè)～，則 ， ， 特別，當(dāng)～時(shí)，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)記為分布函數(shù)記為 常用公式：①若～，則， ， * ②若～，則 6.簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函婁的概率分布 例10 設(shè) 　 ，求的概率分布。 解：由題設(shè)，X的可能值為，故的可能值為 而 故 例11 設(shè)X～，求的分布密度函數(shù) 解：先求Y的分布函數(shù)：，當(dāng)；當(dāng)時(shí) 再

9、求Y的分布密度函數(shù) 　 　 故 第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布 1． 二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù) X的分布函數(shù) Y的分布函數(shù) 2． 離散型的分布律 （與比較） 例１　設(shè)的分布律為 求（1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）由知 解得 （2） （3） （4） （5） 3． 連續(xù)型的分布密度　 設(shè)D為平面上的區(qū)域，為的分布密度，則其滿足： 特別， 若X，Y相互獨(dú)立，則有，，其中分別為X的邊緣分布函數(shù)和分布密度

10、，分別為Y的邊緣分布函數(shù)和分布密度。 4．常見二維連續(xù)型分布 （1）平面區(qū)域D上的均勻分布：設(shè)D的面積為，服從D的均勻分布，則的分布密度為 例2 設(shè)，即D為xy平面上的單位園域，則，設(shè)服從D上的均勻分布，則其 * 解：設(shè)具有D上的均勻分布，A為平面上的某一區(qū)域，則，其中表示A與D公共部分的面積。 例3 （續(xù)例2）求 解： （2）二維正態(tài)分布 *，設(shè)具有該分布，則其概率密度為 * 此時(shí)X的邊緣密度，即～ 故 Y的邊緣密度，即Y～，故， P為X，Y的相關(guān)系數(shù)，可知當(dāng)時(shí)，，即X，Y相互獨(dú)立，這是一個(gè)重要結(jié)論： 在正態(tài)分布的場(chǎng)合：不相關(guān)等價(jià)于相互獨(dú)

11、立。 另外，可知 * 例4 設(shè)X～，Y～，兩者相互獨(dú)立，求的分布密度 解：由相互獨(dú)立知～ 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1． 單個(gè)隨機(jī)變量的期望 例1 設(shè) 　　　　　　　　　，則 例2 設(shè)X的分布密度為，則 2． 單個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的期望 設(shè)X為隨機(jī)變量，是普通函數(shù)，則是隨機(jī)變量，且 * 例3 設(shè)X的分布如例1，求的期望 解： 例4 設(shè)X的分布密度如例

12、2，求的期望 解： 當(dāng)（其中）時(shí)，，即為X的方差 例4 設(shè) 則 ， （方差大者，取值分散） ［注］：是重要常用公式 例5 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度，求DX 解：因是分段函數(shù)，故求時(shí)也要隨之分段積分 于是 3．函數(shù)的期望 設(shè)是普通函數(shù)，則是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望EZ等于 例6 設(shè)分布律為 　　　　　　　　　　 ， 則 例７ 設(shè)的分布密度，則 當(dāng)時(shí)，其中，則 是X，Y的協(xié)方差，即 　　 （重點(diǎn)） 當(dāng)時(shí)，其中 *

13、為X，Y的相關(guān)系數(shù) 期望的重要性質(zhì) （1） （常數(shù)） （2） （3） 推廣： （4）若X，Y相互獨(dú)立，則 方差的重要性質(zhì) （1） ，其中c為常數(shù) （2） 特別 （3）若X，Y相互獨(dú)立，則 　　 　　 （4） 例８ 設(shè)X，Y相互獨(dú)立，且，則 協(xié)方差的運(yùn)算性質(zhì)： （1） （2），其中a，b為常數(shù) （3） （4）若X，Y相互獨(dú)立，則，從而，即X與Y不相關(guān) ［注］：一般地，若X，Y獨(dú)立，則X，Y必不相關(guān)（即）；反之不真，即X，Y不相關(guān)推

14、不出X，Y獨(dú)立。 重要特例是：若為正態(tài)分布，則X，Y獨(dú)立等價(jià)于X，Y不相關(guān)（即） 例９ 設(shè)的分布律為 　　　　　　　　　　 ，求 解：易知 故，, ， * 例１０ 設(shè)～，則 * 例１１ 設(shè)為連續(xù)型，則X與Y不相關(guān)的充分必要條件是_______（選擇題） （A）X，Y獨(dú)立 （B） （C） （D）～ 解法1（排除法）：排除（A），因X，Y獨(dú)立不相關(guān)（故非充要條件）；排除（B），這一等式成立不需任何條件；排除（D），由服從正態(tài)分布及知X，Y獨(dú)立，從而不相關(guān)，但并非正態(tài)場(chǎng)合才有這一結(jié)論故選（C） 解法2（直接證明）：當(dāng)時(shí)，，

15、故X，Y不相關(guān)；反之亦然。 第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 1． 貝努利大數(shù)定律 貝努利大數(shù)定律：設(shè)，為A在n次觀測(cè)中發(fā)生的頻率，則對(duì)任給的正數(shù)有 2． 中心極限定理 設(shè)相互獨(dú)立，同分布，從而它們有相同的期望和相同的方差 ，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) ［注］：中心極限定理的含義是：大量隨機(jī)變量的和近似正態(tài)分布，即當(dāng)n很大時(shí)近似某正態(tài)分布，為了便于查表近似計(jì)算，將標(biāo)準(zhǔn)化（從而標(biāo)準(zhǔn)化后其近似分布） 故上述隨機(jī)變量的分布函數(shù)，即 在應(yīng)用中心極限定理，大多用上式的形式 更進(jìn)一步的特別場(chǎng)合為：若相互獨(dú)立同分布時(shí)，上式化為 這一式子在應(yīng)用也較為常用 例

16、1 計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，設(shè)所取整誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從，求300個(gè)數(shù)相加的誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率。 解：易知第i個(gè)加數(shù)的誤差滿足：～，，故 故所 第六章 統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布 1．設(shè)總體～ 則其樣本相互獨(dú)立，同分布，n為樣本容量 從而～ 　　 ～ 例1 設(shè)總體X～，則從而其樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為 ～ 2．常見統(tǒng)計(jì)量 常見統(tǒng)計(jì)量：設(shè)總體為X，為其樣本， 不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量 （1）樣本均值，，，這結(jié)論對(duì)任何總體都成立。 進(jìn)一步的，若總體X～，則～，從而～ （2）樣本方差， ，

17、 （3）若總體X～，則有與相互獨(dú)立，且 ～ ～ * （4）若總體X與總體Y相互獨(dú)立，與分別為其樣本，X～，Y～ ，其中，，則 ～ 進(jìn)一步的，若，則有 ～ 其中 3.關(guān)于分布的密度曲線及分位數(shù) （1）分布 若～，則， 從而 而F分布的密度曲線與上圖相似。 （2）分布 若～，則 t分布的密度曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，故有 例２ 設(shè)總體～，是容量n的樣本均值，求 解：由總體～，知，， 故 ， 例３ 設(shè)總體X～，為其樣本，則 證明：∵～ ∴ 即 第七章 參數(shù)估計(jì) 1．矩法估計(jì)：矩估計(jì)的實(shí)質(zhì)是用樣本矩作為總體相

18、應(yīng)矩的估計(jì)量 設(shè)X為總體，，，為其樣本 則的矩估計(jì) 的矩估計(jì) 例1 設(shè)總體～，其中皆未知，為其樣本，求的矩估計(jì) 解：因?yàn)椋? ，故 例2 設(shè)總體～，未知，求的矩估計(jì) 解：因?yàn)?，故（矩法方程），由此解得，即為的矩估?jì) 例3 設(shè)總體～，其中，未知為其樣本，求P的矩估計(jì) 解：由，故P的矩估計(jì) 2．極大似然估計(jì) 設(shè)總體X，具有概率密度函數(shù)， 其中為未知參數(shù)，其變化范圍為，為其樣本，則似然函數(shù)為 若存在使｛｝，則稱為的極大似然估計(jì) 一般求法：①由題設(shè)，求出的表達(dá)式 ②取對(duì)數(shù)： * ③求導(dǎo)并令其等于0，建立似然方程

19、* ④解之即得的極大似然估計(jì) 例4 設(shè)是總體X的樣本，總體概率密度為 求 的矩估計(jì)和極大似然估計(jì) 解：（1）由 解得為之矩估計(jì) （2）似然函數(shù) * 解得的極大似然估計(jì) 例5 設(shè)總體X～，，為其樣本，求的極大似然估計(jì) 解： 由于按常規(guī)方法建立的似然方程無(wú)解，故用極大似然估計(jì)的定義解之 設(shè) 欲使似然函數(shù)達(dá)最大，取即可 ［注］ 3．估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) （1）無(wú)偏性：若，則為的無(wú)偏估計(jì) （2）有效性：若、皆為之無(wú)偏估計(jì)，且D，則稱較有效 （3）相合性：若的估計(jì)量滿足，，則稱為之相合估計(jì) 4．參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 設(shè)總體～，為其樣本

20、則的置信度的區(qū)間估計(jì)為 （1）已知時(shí)； （2）未知時(shí)； （見書中P.162表） 例6 設(shè)總體～，且，則的0.95置信區(qū)間為 ［注］請(qǐng)查看教材中正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一覽表 第八章 假設(shè)檢驗(yàn) 1． 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：小概率事件在一次抽樣中是幾乎不可能發(fā)生的 例1 設(shè)總體～，其中未知，為其樣本 試在顯著性水平下檢驗(yàn)假設(shè) ； 這里，即為小概率事件的概率，當(dāng)真時(shí)，～ 則 即事件即為小概率事件，當(dāng)它發(fā)生時(shí)，即認(rèn)為原假設(shè)不真，從而接受對(duì)立假設(shè) 2． 兩類錯(cuò)誤 以例1為例，上述的取值完全由樣本所決定，由于樣本的隨機(jī)性，假設(shè)

21、檢驗(yàn)可能犯以下兩類錯(cuò)誤： 第一類錯(cuò)誤：（拒真），也即檢驗(yàn)的顯著性水平 第二類錯(cuò)誤：（接受不真）（接受真） 在樣本容量n固定時(shí)，相互制約，當(dāng)減小時(shí)，的值會(huì)增大，反之亦然。 3．正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) （1）首先要會(huì)判斷所討論問題是否為假設(shè)檢驗(yàn)問題 例2 從一批燈泡中隨機(jī)抽取50個(gè)，分別測(cè)得其壽命，算得其平均值（小時(shí)），樣本標(biāo)準(zhǔn)差（小時(shí)），問可否認(rèn)為這批燈泡的平均壽命（）為2000小時(shí)?！　? 分析：本題中雖然沒說總體（壽命）服從什么分布，但由于樣本容量，可按正態(tài)總體處理，“可否認(rèn)為平均壽命為2000小時(shí)”等價(jià)于作檢驗(yàn)　 　 （2）檢驗(yàn)問題主要是對(duì)提出的假設(shè)檢驗(yàn)確定出檢驗(yàn)的拒絕域，這可參考指定教材第八章正態(tài)總體檢驗(yàn)一覽表?！? 第九章 回歸分析 本章只是簡(jiǎn)述了一元線性回歸分析　 若因變量Y與可控變量x具有線性關(guān)系，即 回歸分析的目的之一就是要通獨(dú)立樣本 求出的點(diǎn)估計(jì)，以建立關(guān)于Y與x的線性回歸方程 由最小二乘法，可得的點(diǎn)估計(jì)為 　 　 可以證明，它們都是未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì) 更詳細(xì)的例子請(qǐng)參考［例9—1］