（把握高考）2013高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 3-1-2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

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1、 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算　 雙基達(dá)標(biāo)　(限時(shí)20分鐘) 1．給出的下列幾個(gè)命題： ①向量a，b，c共面，則它們所在的直線(xiàn)共面； ②零向量的方向是任意的； ③若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.其中真命題的個(gè)數(shù)為 (　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　①假命題．三個(gè)向量共面時(shí)，它們所在的直線(xiàn)或者在平面內(nèi)或者與平面平行； ②真命題．這是關(guān)于零向量的方向的規(guī)定；③假命題．當(dāng)b＝0，則有無(wú)數(shù)多個(gè)λ使之成 立． 答案　B 2．設(shè)空間四點(diǎn)O，

2、A，B，P滿(mǎn)足＝m＋n，其中m＋n＝1，則 (　　)． A．點(diǎn)P一定在直線(xiàn)AB上 B．點(diǎn)P一定不在直線(xiàn)AB上 C．點(diǎn)P可能在直線(xiàn)AB上，也可能不在直線(xiàn)AB上 D.與的方向一定相同 解析　已知m＋n＝1，則m＝1－n，＝(1－n)＋n＝－n＋n?－＝ n(－)?＝n.因?yàn)椤?，所以和共線(xiàn)，即點(diǎn)A，P，B共線(xiàn)，故選A. 答案　A 3．已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有＝x＋＋，則x的值為 (　　)． A．1

3、 B．0 C．3 D. 解析　∵＝x＋＋，且M，A，B，C四點(diǎn)共面，∴x＋＋＝1，x＝，故 選D. 答案　D 4．以下命題：①兩個(gè)共線(xiàn)向量是指在同一直線(xiàn)上的兩個(gè)向量；②共線(xiàn)的兩個(gè)向量互相平行；③共面的三個(gè)向量是指在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量；④共面的三個(gè)向量是指平行于同一平面的三個(gè)向量．其中正確命題的序號(hào)是________． 解析　根據(jù)共面與共線(xiàn)向量的定義判定，易知②④正確． 答案　②④ 5．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)不共線(xiàn)的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則k

4、＝______． 解析?。剑絜1－4e2，＝2e1＋ke2， 又A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)，由共線(xiàn)向量定理得＝λ， ∴＝.∴k＝－8. 答案　－8 6．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷向量與＋是否共線(xiàn)？ 解　取AC中點(diǎn)為G. 連接EG，F(xiàn)G， ∴＝，＝， 又∵，，共面， ∴＝＋ ＝＋ ＝(＋)， ∴與＋共線(xiàn)． 綜合提高（限時(shí)25分鐘） 7．對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A，B，C，有＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝1是P，A，B，C四點(diǎn)共面的

5、 (　　)． A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 解析　若x＋y＋z＝1，則＝(1－y－z)＋y＋z，即＝y(tǒng)＋z，由共面定 理可知向量，，共面，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面；反之，若P，A，B，C四 點(diǎn)共面，當(dāng)O與四個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)(比如A點(diǎn))重合時(shí)，＝0，x可取任意值，不一定有x ＋y＋z＝1，故選B. 答案　B 8．已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)C，滿(mǎn)足2＋＝0，則等于(　　)． A．2－ B．－＋2 C.－ D．－

6、＋ 解析　由已知得2(－)＋(－)＝0， ∴＝2－. 答案　A 9．如圖所示，在四面體O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝______(用a，b，c表示)． 解析　＝＋＝a＋ ＝a＋(－) ＝a＋ ＝a＋(＋) ＝a＋b＋c. 答案　a＋b＋c 10．已知A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值為_(kāi)_______． 解析　∵A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴存在唯一實(shí)數(shù)k使＝k， 即－＝k(－)， ∴(k－1)＋－k＝0， 又λ＋m＋n＝0， 令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，

7、 則λ＋m＋n＝0. 答案　0 11．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn)． 證明：向量、、是共面向量． 證明　法一?。剑? ＝－＋ ＝(＋)－ ＝－. 由向量共面的充要條件知，、、是共面向量． 法二　連結(jié)A1D、BD，取A1D中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG， 則有FG綉DD1，BE綉DD1， ∴FG綉B(tài)E. ∴四邊形BEFG為平行四邊形． ∴EF∥BG. ∴EF∥平面A1BD. 同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD， ∴、、都與平面A1BD平行． ∴、、共面． 12．(創(chuàng)新拓展)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)． (1)證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)證明BD∥平面EFGH. 證明　如圖，連結(jié)EG，BG. (1)∵＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋＝＋， 由向量共面的充要條件知：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)法一　∵＝－＝－＝， ∴EH∥BD. 又EH?面EFGH，BD?面EFGH， ∴BD∥面EFGH. 法二　∵＝＋＝2＋2 ＝2＝2(＋)＝2＋2， 又，不共線(xiàn)，∴與，共面． 又BD?面EFGH，∴BD∥面EFGH.