專題10三角形的綜合問題原卷版蘇科版

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1、 2020年中考數(shù)學(xué)必考經(jīng)典題講練案【蘇科版】 專題10三角形的綜合問題 【方法指導(dǎo)】 1.全等三角形解決問題的常見技巧： （1）全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（適用于直角三角形）． （2）作輔助線構(gòu)造全等三角形 ①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律． ②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明． 2.等腰三角形解題技巧： （1）等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手

2、段． （2）在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析． 3.等邊三角形常用方法與思路： （1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用． （2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30角

3、的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等． （3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60的角判定． 【題型剖析】 【類型1】三角形有關(guān)角的綜合計(jì)算 【例1】（2019?泉山區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)、分別在射線、上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）． （1）如圖1，若，、的平分線交于點(diǎn)，則　??； （2）如圖2，若，、的平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)； （3）如圖2，若，的外角、的平分線交于點(diǎn)，求與之間的數(shù)量關(guān)系，并求出的度數(shù)； （4）如圖

4、3，若，是的平分線，的反向延長(zhǎng)線與的平分線交于點(diǎn)．試問：隨著點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)，的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由． 【變式1-1】（2019?沭陽縣模擬）探究與發(fā)現(xiàn)： 如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題： （1）觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說明理由； （2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題： ①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點(diǎn)、，若，則　40??； ②如圖3，平分，平分，若，，求的度數(shù)；

5、 ③如圖4，，的10等分線相交于點(diǎn)、、，若，，求的度數(shù)． 【變式1-2】（2019春?海安市期末）如圖，已知是的角平分線，是的外角的平分線．延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)， （1）求證：； （2）小智同學(xué)探究后提出等式：．請(qǐng)通過推理演算判斷“小智發(fā)現(xiàn)”是否正確？ （3）若，求的度數(shù)． 【變式1-3】（2019春?高淳區(qū)校級(jí)模擬）中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)． （1）如圖1， ①若，則　　，　　； ②猜想與的關(guān)系，并說明你的理由； （2）如圖2，作外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則　　_______． 【類型2】全等三角形的判定與性質(zhì) 【例2】（2019?如

6、皋市一模）如圖，、、是直線上的三個(gè)點(diǎn)，，且． （1）求證：； （2）若，點(diǎn)在直線的上方，為等邊三角形，補(bǔ)全圖形，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由． 【變式2-1】（2019?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形中，，，，垂足為，． （1）求證：； （2）若，，求的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)值：， 【變式2-2】（2019?灌南縣校級(jí)模擬）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為． （1）求證：平分； （2）若，，，求的值． 【類型3】等腰三角形的有關(guān)計(jì)算與證明 【例3】（2018秋?灌云縣期末）如圖，已知是的邊上的一點(diǎn)，， （1）若，，求的大??； （2

7、）若既是的高又是角平分線，，求的大小． 【變式3-1】（2018秋?泗陽縣期末）已知，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，． （1）如圖1，若，，試求的度數(shù)； （2）若，，則的度數(shù)為　?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）； （3）如圖2，若，其余條件不變，探究與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【變式3-2】（2018秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在中，，． （1）當(dāng)時(shí)（如圖①，　 　； （2）當(dāng)時(shí)（如圖②，求的度數(shù)（用含的式子表示）． 【類型4】等邊三角形的有關(guān)計(jì)算與證明 【例4】（2019春?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知，為等邊三角形，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且． （1）如圖1，若點(diǎn)在邊上

8、，猜想線段與之間的關(guān)系，并說明理由； （2）如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由． 【變式4-1】（2018秋?泰興市月考）如圖，是等邊三角形，是中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．取中點(diǎn)，連接． （1）求證：； （2）延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，試說明：． 【變式4-2】（2019?淮陰區(qū)模擬）如圖，中，，以為邊在外作等邊三角形，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，與相交于點(diǎn)，連接． （1）說明：； （2）若，是直線上的一點(diǎn)．則當(dāng)在何處時(shí)，最小，并求出此時(shí)的值． 【類型5】直角三角形的綜合問題 【例5】（2019 ?溧水校級(jí)模擬）已知中，，，為的中點(diǎn)． （1）如圖，若、分別是、上

9、的點(diǎn)，且．求證：為等腰直角三角形； （2）若，分別為，延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，仍有，其他條件不變，那么是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論． 【變式5-1】（2018秋?常熟市期末）如圖，在中，，．點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，垂足為．點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，． （1）求證：； （2）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由； （3）若，連接，求的度數(shù)． 【變式5-2】（2019?江都區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，已知是等腰直角三角形，，，為外的一點(diǎn)，連結(jié)、，過作，垂足為，的延長(zhǎng)線交于． （1）如圖1，若，且，求的長(zhǎng)； （2）如圖2，若是等邊三角形，求的長(zhǎng)． 【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】 一．選擇題（共4小題） 1．（201

10、9?徐州）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（　?。? A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10 2．（2019?揚(yáng)州）已知n是正整數(shù)，若一個(gè)三角形的3邊長(zhǎng)分別是n+2、n+8、3n，則滿足條件的n的值有（　　） A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè) 3．（2019?鹽城）如圖，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊BA、BC的中點(diǎn)，AC＝3，則DE的長(zhǎng)為（　　） A．2 B．43 C．3 D．32 4．（2018?南通）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，按下列步驟作圖： 步驟1：分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于12CD的長(zhǎng)為半徑作

11、弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)； 步驟2：作直線MN，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)； 步驟3：連接DE，DF． 若AC＝4，BC＝2，則線段DE的長(zhǎng)為（　?。? A．53 B．32 C．2 D．43 二．填空題（共4小題） 5．（2019?南通）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25，則∠ACF＝　 　度． 6．（2019?蘇州）如圖，扇形OAB中，∠AOB＝90．P為弧AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥OA，垂足為C，PC與AB交于點(diǎn)D．若PD＝2，CD＝1，則該扇形的半徑長(zhǎng)為　?。? 7．（2019?南京）

12、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60，∠A＞∠B，則BC的長(zhǎng)的取值范圍是　 　． 8．（2019?南京）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有　　cm． 三．解答題（共8小題） 9．（2019?南通）如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B．連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CD＝CA．連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)就是A，B的距離．為什么？ 10．（2019?鎮(zhèn)江）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，A

13、E＝CF，過點(diǎn)A、C分別作EF的垂線，垂足為G、H． （1）求證：△AGE≌△CHF； （2）連接AC，線段GH與AC是否互相平分？請(qǐng)說明理由． 11．（2019?無錫）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于點(diǎn)O． （1）求證：△DBC≌△ECB； （2）求證：OB＝OC． 12.（2018?無錫）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝m，BC＝n，m＞n，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)CP，將△ACP沿CP翻折得到△QCP． （1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的長(zhǎng)； （2）連結(jié)BQ，若四邊形BCPQ是平行四邊形

14、，求m與n之間的關(guān)系式． 13．（2018?徐州）如圖，將等腰直角三角形紙片ABC對(duì)折，折痕為CD．展平后，再將點(diǎn)B折疊在邊AC上（不與A、C重合），折痕為EF，點(diǎn)B在AC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，設(shè)CD與EM交于點(diǎn)P，連接PF．已知BC＝4． （1）若M為AC的中點(diǎn)，求CF的長(zhǎng)； （2）隨著點(diǎn)M在邊AC上取不同的位置， ①△PFM的形狀是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由； ②求△PFM的周長(zhǎng)的取值范圍． 14．（2019?揚(yáng)州）如圖，平面內(nèi)的兩條直線l1、l2，點(diǎn)A，B在直線l1上，點(diǎn)C、D在直線l2上，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l2的垂線，垂足分別為A1，B1，我們把線段A1B1叫做線段AB在直線l2上的正投影，其長(zhǎng)度可記作T（AB，CD）或T(AB，l2)，特別地線段AC在直線l2上的正投影就是線段A1C． 請(qǐng)依據(jù)上述定義解決如下問題： （1）如圖1，在銳角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，則T（BC，AB）＝　?。? （2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面積； （3）如圖3，在鈍角△ABC中，∠A＝60，點(diǎn)D在AB邊上，∠ACD＝90，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），