2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第30講 等比數(shù)列練習 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第30講 等比數(shù)列練習 新人教A版 [考情展望] 1.運用基本量法求解等比數(shù)列問題.2.以等比數(shù)列的定義及等比中項為背景,考查等比數(shù)列的判定.3.客觀題以等比數(shù)列的性質(zhì)及基本量的運算為主,突出“小而巧”的特點,解答題注重函數(shù)與方程、分類討論等思想的綜合應用. 一、等比數(shù)列 證明{an}是等比數(shù)列的兩種常用方法 (1)定義法:若=q(q為非零常數(shù)且n≥2且n∈N*),則{an}是等比數(shù)列. (2)中項公式法:在數(shù)列{an}中,an≠0且a=anan+2(n∈N*),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. 二、等比數(shù)列的性質(zhì) 1.對任意的正整數(shù)m、n、p、q,若m+n=p+q=2k,則aman=apaq=a. 2.通項公式的推廣:an=amqn-m(m,n∈N*) 3.公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn;當公比為-1時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定構成等比數(shù)列. 4.若數(shù)列{an},{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan},,{a},{anbn},(λ≠0)仍是等比數(shù)列. 等比數(shù)列的單調(diào)性 單調(diào)遞增 a1>0,q>1或者a1<0,0<q<1 單調(diào)遞減 a1>0,0<q<1或者a1<0,q>1 常數(shù)數(shù)列 a1≠0,q=1 擺動數(shù)列 q<0 1.已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則公比q等于( ) A.- B.-2 C.2 D. 【解析】 由題意知:q3==,∴q=. 【答案】 D 2.設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,8a2+a5=0,則=( ) A.-11 B.-8 C.5 D.11 【解析】 8a2+a5=0,得8a2=-a2q3,又a2≠0,∴q=-2,則S5=11a1,S2=-a1,∴=-11. 【答案】 A 3.公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且a3a11=16,則log2a10=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】 由題意a=a3a11=16,且a7>0,∴a7=4, ∴a10=a7q3=423=25,從而log2a10=5. 【答案】 B 4.在等比數(shù)列{an}中,若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式an=________. 【解析】 ∵S3=21,q=4,∴=21,∴a1=1, ∴an=4n-1. 【答案】 4n-1 5.(xx大綱全國卷)已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=0,a2=-,則{an}的前10項和等于( ) A.-6(1-3-10) B.(1-310) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10) 【解析】 由3an+1+an=0,得=-,故數(shù)列{an}是公比q=-的等比數(shù)列.又a2=-,可得a1=4.所以S10==3(1-3-10). 【答案】 C 6.(xx江西高考)等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,…的第四項等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 【解析】 由題意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比數(shù)列的前3項是-3,-6,-12,則第四項為-24. 【答案】 A 考向一 [090] 等比數(shù)列的基本運算 (1)(xx北京高考)若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=______;前n項和Sn=________. (2)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列. ①求{an}的公比q;②若a1-a3=3,求Sn. 【思路點撥】 建立關于a1與公比q的方程,求出基本量a1和公比,代入等比數(shù)列的通項公式與求和公式. 【嘗試解答】 (1)設出等比數(shù)列的公比,利用已知條件建立關于公比的方程求出公比,再利用前n項和公式求Sn. 設等比數(shù)例{an}的首項為a1,公比為q,則: 由a2+a4=20得a1q(1+q2)=20.① 由a3+a5=40得a1q2(1+q2)=40.② 由①②解得q=2,a1=2. 故Sn===2n+1-2. 【答案】 2,2n+1-2 (2)①∵S1,S3,S2成等差數(shù)列, ∴a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). 由于a1≠0,故2q2+q=0,又q≠0,從而q=-. ②由已知可得a1-a1(-)2=3,故a1=4, 從而Sn==. 規(guī)律方法1 1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,體現(xiàn)了方程思想的應用. 2.在使用等比數(shù)列的前n項和公式時,應根據(jù)公比q的情況進行分類討論,此外在運算過程中,還應善于運用整體代換思想簡化運算. 對點訓練 (1)(xx遼寧高考)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,則數(shù)列{an}的通項公式an=________. (2)(xx晉州模擬)已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=2,且a2,a4,a8成等比數(shù)列. ①求數(shù)列{an}的通項公式; ②求數(shù)列{3an}的前n項和. 【解析】 (1)設數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q, ∵a=a10,2(an+an+2)=5an+1. ∴ 由①得a1=q;由②知q=2或q=, 又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,∴a1=q=2,從而an=2n. 【答案】 2n (2)①設數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),由題意得 a=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d). 又a1=2,所以d=2或d=0(舍去). ∴an=2n. ②由①可知3an=32n=9n. 故數(shù)列{3an}的前n項和為=(9n-1) 考向二 [091] 等比數(shù)列的判定與證明 (xx荊州模擬)成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證:數(shù)列是等比數(shù)列. 【思路點撥】 正確設出等差數(shù)列的三個正數(shù),利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d,從而求出數(shù)列{bn}的首項、公比;利用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問. 【嘗試解答】 (1)設成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d,a,a+d. 依題意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5. 所以{bn}中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d. 依題意,(7-d)(18+d)=100, 解之得d=2或d=-13(舍去), ∴b3=5,公比q=2,因此b1=. 故bn=2n-1=52n-3. (2)證明 由(1)知b1=,公比q=2, ∴Sn==52n-2-, 則Sn+=52n-2, 因此S1+=,==2(n≥2). ∴數(shù)列{Sn+}是以為首項,公比為2的等比數(shù)列. 規(guī)律方法2 1.本題求解常見的錯誤:(1)計算失誤,不注意對方程的根(公差d)的符號進行判斷;(2)不能靈活運用數(shù)列的性質(zhì)簡化運算. 2.要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等比即可. 對點訓練 (1)在正項數(shù)列{an}中,a1=2,點(,)(n≥2)在直線x-y=0上,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=________. (2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若an+Sn=n,cn=an-1,求證:數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式. 【解析】 (1)由題意知-=0, ∴an=2an-1(n≥2), ∴數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列. ∴Sn===2n+1-2. 【答案】 2n+1-2 (2)證明 ∵an+Sn=n,∴a1+S1=1,得a1=, ∴c1=a1-1=-. 又an+1+Sn+1=n+1,an+Sn=n, ∴2an+1-an=1,即2(an+1-1)=an-1. 又∵a1-1=-,∴=,即=, ∴數(shù)列{cn}是以-為首項,以為公比的等比數(shù)列. 則cn=-n-1=-n, ∴{an}的通項公式an=cn+1=1-n. 考向三 [092] 等比數(shù)列的性質(zhì)及應用 (1)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6∶S3=1∶2,則S9∶S3等于( ) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3 (2)(xx衡水模擬)在等比數(shù)列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,則+++=________. 【思路點撥】 (1)借助S3,S6-S3,S9-S6成等比求解. (2)應用等比數(shù)列的性質(zhì)a7a10=a8a9求解. 【嘗試解答】 (1)由等比數(shù)列的性質(zhì):S3、S6-S3、S9-S6仍成等比數(shù)列,于是(S6-S3)2=S3(S9-S6), 將S6=S3代入得=. (2)法一 a7+a8+a9+a10=,a8a9=a7a10=-, ∴+++ = = ===-. 法二 由題意可知 ①②得=-, 即+++=-, ∴+++=-, 所以+++=-. 【答案】 (1)C (2)- 規(guī)律方法3 在解決等比數(shù)列的有關問題時,要充分挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是“若m+n=p+q,則aman=apaq”,可以減少運算量,提高解題速度. 對點訓練 (1)(xx課標全國卷)已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 (2)(xx大連模擬)已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,n=1,2,…,且a5a2n-5=22n(n≥3),則log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( ) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 【解析】 (1)由于a5a6=a4a7=-8,a4+a7=2, ∴a4,a7是方程x2-2x-8=0的兩根, 解之得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4. ∴q3=-或q3=-2. 當q3=-時,a1+a10=+a7q3=4(-2)+(-2)(-)=-7, 當q3=-2時,a1+a10=+a7q3=+4(-2)=-7. (2)∵a5a2n-5=a=22n,且an>0, ∴an=2n, ∵a2n-1=22n-1, ∴l(xiāng)og2a2n-1=2n-1, ∴l(xiāng)og2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+5+…+(2n-1) ==n2. 【答案】 (1)D (2)C 思想方法之十三 分類討論思想在等比數(shù)列求和中的應用 分類討論的實質(zhì)是將整體化為部分來解決.其求解原則是不復重,不遺漏,討論的方法是逐類進行. 在數(shù)列的學習中,也有多處知識涉及到分類討論思想 ,具體如下所示: (1)前n項和Sn與其通項an的關系:an= (2)等比數(shù)列的公比q是否為1; (3)在利用公式Sn求和時,數(shù)列的項的個數(shù)為偶數(shù)還是奇數(shù)等等. 求解以上問題的關鍵是找準討論的切入點,分類求解. ——— [1個示范例] ———— [1個對點練] ———— (xx天津高考)已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設Tn=Sn-(n∈N*),求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值. 【解】 (1)設等比數(shù)列{an}的公比為q, 因為S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列, 所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5, 即4a5=a3,于是q2==. 又{an}不是遞減數(shù)列且a1=,所以q=-. 故等比數(shù)列{an}的通項公式為 an=n-1=(-1)n-1. (2)由(1)得Sn=1-n= 當n為奇數(shù)時,Sn隨n的增大而減小,所以1<Sn≤S1=,故0<Sn-≤S1-=-=. 當n為偶數(shù)時,Sn隨n的增大而增大,所以=S2≤Sn<1,故0>Sn-≥S2-=-=-. 所以數(shù)列{Tn}最大項的值為,最小項的值為-. (xx青島模擬)已知數(shù)列{dn}滿足dn=n,等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,n∈N*. (1)求an; (2)令cn=1-(-1)nan,不等式ck≥xx(1≤k≤100,k∈N*)的解集為M,求所有dk+ak(k∈M)的和. 【解】 (1)設{an}的首項為a1,公比為q,所以(a1q4)2=a1q9,解得a1=q, 又因為2(an+an+2)=5an+1,所以2(an+anq2)=5anq, 則2(1+q2)=5q,2q2-5q+2=0,解得q=(舍)或q=2,所以an=22n-1=2n. (2)cn=1-(-1)nan=1-(-2)n,dn=n, 當n為偶數(shù),cn=1-2n≥2 014,即2n≤-2 013,不成立; 當n為奇數(shù),cn=1+2n≥2 014,即2n≥2 013, 因為210=1 024,211=2 048,所以n=2m+1,5≤m≤49, 則{dk}組成首項為11,公差為2的等差數(shù)列, {ak}(k∈M)組成首項為211,公比為4的等比數(shù)列, 則所有dk+ak(k∈M)的和為 +=2 475+=.- 配套講稿:
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