廣東省廉江市2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例課件 理 新人教A版選修4-5.ppt

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這種由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.(簡稱：歸納),歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)和對有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論.,,需證明,,,,一、復(fù)習(xí)：什么是歸納推理？,例如已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1且(n=1,2,3…),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.,,,解：,猜想：,這個(gè)猜想對于前4項(xiàng)是成立的，但還不能對以后繼續(xù)的項(xiàng)也成立，因此這個(gè)猜想要證明。,費(fèi)爾馬(1601.8—1665.1)，法國數(shù)學(xué)家。,(費(fèi)馬猜想),,結(jié)論是錯(cuò)誤的。,,對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫歸納法。,特點(diǎn):,二、歸納法定義：,完全歸納法：優(yōu)點(diǎn)：考查全面，結(jié)論正確。缺點(diǎn)：工作量大，有些對象無法全面考查。不完全歸法：優(yōu)點(diǎn)：考查對象少，得出結(jié)論快。缺點(diǎn)：觀察片面化，結(jié)論不一定正確。,從前，有個(gè)小孩叫萬百千，他開始上學(xué)識字。第一天先生教他個(gè)“一”字。第二天先生又教了個(gè)“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個(gè)“三”字。于是他得了一個(gè)結(jié)論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以此類推，…從此，他不再去上學(xué)，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去上學(xué)，他自豪地說：“我都會了”。家長要他寫出自己的名字，“萬百千”寫名字結(jié)果可想而知?！?"萬百千"的笑話,萬百千在學(xué)習(xí)上犯了什么錯(cuò)誤?,,什么是數(shù)學(xué)歸納法？,對于某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：,先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；,2.然后假設(shè)當(dāng)n=k(k?N*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。這種證明方法就叫做。,數(shù)學(xué)歸納法,,,,,,,,歸納小結(jié),①歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法；,②數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞；,③數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論；,④數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)方法，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮．,⑤、一定要用到歸納假設(shè)；看清從k到k＋1中間的變化。,數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法.主要有兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論:,【歸納奠基】,（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（如n0=1或2等）時(shí)結(jié)論正確,（2）假設(shè)n=k(k≥n0,n∈N*)時(shí)結(jié)論正確，證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確,（3）由（1）、（2）得出結(jié)論,【歸納遞推】,注意：,例1、1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*),證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,等式是成立的。(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是1+2+22+…+2k-1=2k-1那么，1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=22k-1=2k+1-1這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。,因此,根據(jù)(1)和(2)可斷定,等式對于任何n∈N*都成立。,課本50頁練習(xí)1：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+…+(2n?1)=n2證明：1.當(dāng)n=1時(shí)左＝1，右＝12＝1∴n=1時(shí)，命題成立2.假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即1+3+5+…+(2k?1)=k2那么，當(dāng)n=k+1時(shí)左＝1+3+5+…+(2k?1)＋(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時(shí)命題成立由1、2知原命題對n?N*都成立,遞推基礎(chǔ),遞推依據(jù),課本50頁2.用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：1、當(dāng)n=1時(shí),左=12=1，右=∴n=1時(shí)，等式成立2、假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即那么，當(dāng)n=k+1時(shí)左=12+22+…+k2+(k+1)2==右∴n=k+1時(shí)，原不等式成立由1、2知當(dāng)n?N*時(shí)，原不等式都成立,例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：12＋23＋34＋…＋n(n＋1)＝,,,,,,,,,∴n=1時(shí)等式成立。②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即,那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有,即n=k+1時(shí)，命題成立。根據(jù)①②問可知，對n∈N＊，等式成立。,1、三個(gè)步驟缺一不可:第一步:奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)，稱之為歸納基礎(chǔ)；第二步:歸納步驟，是推理的依據(jù)，是判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，它反映了無限遞推關(guān)系，其中“假設(shè)n=k時(shí)成立”稱為歸納假設(shè)(注意是“假設(shè)”，而不是確認(rèn)命題成立);第三步:總體結(jié)論，也不可少。2、在第二步的證明中必須用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法了。3、數(shù)學(xué)歸納法只適用于和正整數(shù)有關(guān)的命題。,用數(shù)學(xué)歸納法需注意：,