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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2章 第6節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)課時跟蹤檢測 理（含解析）新人教版
1．(xx孝感高中調(diào)研)函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是( )
A．－1 B．2
C．3 D．－1或2
解析：選B 由f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)得m2－m－1＝1解得m＝－1或m＝2，又當(dāng)x∈(0，＋∞)是增函數(shù)，所以m＝2.故選B.
2．(xx陜西師大附中模擬)已知實數(shù)a，b，c滿足a>b>c且a＋b＋c＝0.若x1，x2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個實數(shù)根，則|x－x|的取值范圍為( )
A．[0,3) B．(0,1)
C．(1,3) D．[0,1)
解析：選A 由題意a>b>c，且a＋b＋c＝0可得a>0，c<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac>0，且其中一根為1，不妨設(shè)x1＝1，則x2＝，又b＝－a－c，∴a>－a－c>c，即1>－1－>，解得∈.|x－x|＝∈[0,3)，故選A.
3．(xx佛山模擬)設(shè)a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.3 0.2，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)
log0.3 0.3＝1，即c>1.所以b0；(3)b2－4ac>0；(4)a－b＋c<0.其中正確的個數(shù)有( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C 由圖知a<0，c>0，拋物線的對稱軸在y軸的左邊，所以－<0，所以b<0.由圖知f(－1)>0，即a－b＋c>0，圖象與x軸有兩個交點，所以b2－4ac>0，由此知(1)(2)(3)正確，(4)不正確．
5．(xx濟寧模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，則“f(2)≥0”是“函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增”的( )
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C 函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a>0，x＝－≤1，所以b≥－2a.這與f(2)≥0等價．而f(2)≥0不能確定函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故選C.
6．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：選C 當(dāng)a<0時，a－7<1，即2－a<23，∴a>－3，∴－30恒成立，則b的取值范圍是( )
A．(－1,0) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：選C ∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)圖象的對稱軸為x＝1，則a＝2.易知f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[－1，1]時，f(x)>0，故只需f(－1)＝b2－b－2>0，解得b>2或b<－1，故選C.
8．(xx宜春檢測)若(a＋1)－<(3－2a) －，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，1) B．
C．(－∞，－1)∪ D．(－∞，－1)∪
解析：選C 由于f(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，∴(a＋1) －<(3－2a) －等價于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或、＝或<)．
解析：> 設(shè)f(x)＝xα(α為常數(shù))，又f(8)＝4，所以4＝8α，所以α＝.于是f(x)＝x，顯然該函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)，
所以f＝fa，＋>>，所以f1(x)＝為“保三角形函數(shù)”；f2(x)＝x為“保三角形函數(shù)”；對于f3(x)＝x2,3,3,5可作為一個三角形的邊長，但32＋32<52，所以不存在以32,32,52為三邊長的三角形，f3(x)＝x2不是“保三角形函數(shù)”．
11．(xx長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2的定義域和值域均為[1，b]，則b＝________.
解析：2 由f(x)＝x2－2x＋2的對稱軸方程為x＝1，開口向上，故在[1，b]上為單調(diào)遞增，則f(b)＝b，b>1，故b＝2.
12．(xx江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為______．
解析：，－1 設(shè)P點的坐標(biāo)為，則|PA|2＝(x－a)2＋2＝－2a＋2a2.令t＝x＋≥2，則|PA|2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2(t≥2)．
結(jié)合題意可知
(1)當(dāng)a≤2，t＝2時，|PA|2取得最小值．此時(2－a)2＋a2－2＝8，解得a＝－1，a＝3(舍去)．
(2)當(dāng)a>2，t＝a時，|PA|2取得最小值．此時a2－2＝8，解得a＝，a＝－(舍去)．故滿足條件的實數(shù)a的所有值為，－1.
13．(xx濱州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立．
解：(1)由已知得c＝1，a－b＋c＝0，－＝－1，
解得a＝1，b＝2，則f(x)＝(x＋1)2.
則F(x)＝
故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由題意得f(x)＝x2＋bx，原命題等價于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．又當(dāng)x∈(0,1]時，－x的最小值為0，－－x的最大值為－2，故－2≤b≤0.
14．已知函數(shù)f(x)＝xm－，且f(4)＝.
(1)求m的值；
(2)判定f(x)的奇偶性；
(3)判斷f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性，并給予證明．
解：(1)因為f(4)＝，所以4m－＝.所以m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x－，則f(x)的定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱．
又f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函數(shù)．
(3)設(shè)x1>x2>0，
則f(x1)－f(x2)＝x1－－
＝(x1－x2).
因為x1>x2>0，所以x1－x2>0,1＋>0.
所以f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)．
1．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5.若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．[2,3] B．[1,2]
C．[－1,3] D．[2，＋∞)
解析：選A 由題意知，二次函數(shù)f(x)圖象的開口向上，由函數(shù)f(x)在(－∞，2]上是減函數(shù)，知a≥2.若任意的x1，x2∈[1，a＋1]，|f(x1)－f(x2)|≤4恒成立，只需f(x)max－f(x)min≤4(x∈[1，a＋1])即可，由于對稱軸x＝a∈[1，a＋1]，所以f(x)min＝f(a)＝5－a2.又(a－1)－(a＋1－a)＝a－2≥0，故最大值f(x)max＝f(1)＝6－2a，由f(x)max－f(x)min≤4，解得－1≤a≤3，又a≥2，故a的取值范圍為[2,3]．
2．(2011天津高考)對實數(shù)a和b，定義運算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是( )
A．(－∞，－2]∪
B．(－∞，－2]∪
C．∪
D.∪
解析：選B 由已知得f(x)＝
如圖，要使y＝f(x)－c與x軸恰有兩個公共點，則－11，則f(x)>1；
②若0x2－x1；
③若01時，f(x)>1，①正確；
對于②，>1，可舉例(1,1)，(4,2)，故②錯；
對于③，<，說明圖象上兩點x1，x2到原點連線的斜率越來越大，由圖象可知，③錯；
對于④，0時，f(x)在[2,3]上為增函數(shù)，
故即?
當(dāng)a<0時，f(x)在[2,3]上為減函數(shù)，
故即?
故a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，
即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上單調(diào)，
∴≤2或≥4.∴m≤2或m≥6.
∴所求m的取值范圍為(－∞，2]∪[6，＋∞)．
6．(xx江西師大附中測試)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定義域和值域均是[1，a]，求實數(shù)a的值；
(2)若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)∵f (x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，
∴f(x)在[1，a]上是減函數(shù)
又定義域和值域均為[1，a]，
∴，即解得a＝2.
(2)∵f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，∴a≥2，
又x＝a∈[2，＋∞)，且(a＋1)－a≤a－1，
∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.
∵對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，
∴f(x)max－f(x)min≤4，即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3，
又a≥2，∴2≤a≤3.
故所求a的取值范圍為[2,3]．
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