運(yùn)籌學(xué)6(圖與網(wǎng)絡(luò)分析).ppt
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西安理工大學(xué)工商管理學(xué)院,運(yùn)籌學(xué)OperationsResearch,運(yùn)籌學(xué)OperationsResearch,,,Chapter8圖與網(wǎng)絡(luò)分析GraphandNetwork,1.圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識樹3.最短路問題4.最大流問題,,,C,B,A,引例：哥尼斯堡七橋問題,您能從A、B、C或D任意一點(diǎn)出發(fā)走遍7座橋并且每座橋只走一次最后回到原出發(fā)點(diǎn)嗎？,D,E.Euler提出(1736年）：,中國郵路問題：管梅谷（1962年）提出一個(gè)郵遞員，負(fù)責(zé)某一地區(qū)的信件投遞。他每天要從郵局出發(fā)，走遍該地區(qū)所有街道再返回郵局，問應(yīng)如何安排送信的路線可以使所走的總路程最短？,我們在實(shí)際生活、生產(chǎn)和科研活動(dòng)中經(jīng)?？吹皆S多的網(wǎng)絡(luò)，如互聯(lián)網(wǎng)、通信網(wǎng)、公路網(wǎng)、管道網(wǎng)、銷售網(wǎng)等。對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究是希望解決其中的一些優(yōu)化問題，網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化能為人們管理和控制這些網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)提供一套有效的方法。,例某家電配送中心需要為多個(gè)銷售點(diǎn)送貨，配送中心與銷售點(diǎn)以及銷售點(diǎn)之間的相對位置和運(yùn)輸情況可以用圖來表示。其中，點(diǎn)v1，v2，…，v7代表銷售點(diǎn)，邊表示運(yùn)輸路線。若已知每條路線行走所需的時(shí)間，請幫助配送中心管理人員設(shè)計(jì)一條送貨路線，使送貨車輛用最短的時(shí)間送完貨物，并回到配送中心。,,基本的網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化問題有4個(gè)，即最小樹問題，最短路問題、最大流問題、最小費(fèi)用最大流問題。這些問題的數(shù)學(xué)模型實(shí)際上大都是線性規(guī)劃問題，但使用線性規(guī)劃的單純形法去求解，過程非常繁瑣，本章介紹的網(wǎng)絡(luò)分析方法能有效的解決這些問題。,圖Ｇ可定義為點(diǎn)和邊的集合，記作,式中Ｖ是點(diǎn)的集合，Ｅ是邊的集合。注意上面定義的圖Ｇ區(qū)別于幾何學(xué)中的圖。在幾何學(xué)中，圖中點(diǎn)的位置、線的長度和斜率等都十分重要，而這里只關(guān)心圖中有多少點(diǎn)以及哪些點(diǎn)之間有線相連，如果給圖中的點(diǎn)和邊賦以具體的含義和權(quán)數(shù)，如距離、費(fèi)用、容量等，把這樣的圖稱為網(wǎng)絡(luò)圖，記作Ｎ。圖和網(wǎng)絡(luò)分析的方法已廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、控制論、信息論、計(jì)算機(jī)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)管理等各個(gè)領(lǐng)域。,8.1圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識,如圖8-1,定義1端點(diǎn)，關(guān)聯(lián)邊，相鄰若有邊e可表示為e=[vi,vj],稱vi和vj是邊e的端點(diǎn)，反之稱邊e為點(diǎn)vi或vj的關(guān)聯(lián)邊。若點(diǎn)vi、vj與同一邊關(guān)聯(lián)，稱點(diǎn)vi和vj相鄰；若邊ei和ej具有公共的端點(diǎn)，稱邊ei和ej相鄰。,,例如圖8－1，,v2和v4是邊e6的端點(diǎn)，反之邊e6是點(diǎn)v2、v4的關(guān)聯(lián)邊。點(diǎn)v2、v4相鄰；邊e6與e5、e4相鄰。,圖8－1,e2可記作：,一、圖與網(wǎng)絡(luò)的基本概念,定義2環(huán)，多重邊，簡單圖如果邊e的兩個(gè)端點(diǎn)相重，稱該邊為環(huán)。如圖8－１中邊e1為環(huán)。如果兩個(gè)點(diǎn)之間的邊多于一條，稱為多重邊，如圖8－１中的e4和e5，對無環(huán)、無多重邊的圖稱作簡單圖。,定義3次，奇點(diǎn)，偶點(diǎn)，孤立點(diǎn)與某一個(gè)點(diǎn)vi相關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目稱為點(diǎn)vi的次（也叫做度），記作d(vi)。圖６－１中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次為奇數(shù)的點(diǎn)稱作奇點(diǎn)，次為偶數(shù)的點(diǎn)稱作偶點(diǎn)，次為0的點(diǎn)稱作孤立點(diǎn)。,定理1任何圖中，頂點(diǎn)次數(shù)的總和等于邊數(shù)的2倍。,定理2任何圖中，次為奇數(shù)的頂點(diǎn)必為偶數(shù)個(gè)。,定義4有向圖：如果圖的每條邊都有一個(gè)方向則稱為有向圖,定義5混合圖：如何圖G中部分邊有方向則稱為混合圖,有向圖,定義6有向圖中，以Vi為起始點(diǎn)的邊數(shù)稱為點(diǎn)Vi的出次，用表示；有向圖中，以Vi為終點(diǎn)的邊數(shù)稱為點(diǎn)Vi的入次，用表示。,結(jié)論1：Vi點(diǎn)的出次與入次之和就是該點(diǎn)的次。,結(jié)論2：有向圖中，所有頂點(diǎn)的入次之和等于所有頂點(diǎn)的出次之和。,定義7：子圖、生成子圖（支撐子圖）,圖G1={V1、E1}和圖G2={V2，E2}如果稱G1是G2的一個(gè)子圖。若有則稱G1是G2的一個(gè)支撐子圖（部分圖）。圖8-2（a）是圖6-1的一個(gè)子圖，圖8-2（b）是圖8-1的支撐子圖，注意支撐子圖也是子圖,子圖不一定是支撐子圖。,,定義8網(wǎng)絡(luò)（賦權(quán)圖）：,設(shè)圖G＝（V，E），對G的每一條邊(vi,vj)相應(yīng)的有一條數(shù)w(vi,vj)(或記為wij)，wij稱為邊(vi,vj)的權(quán),賦有權(quán)的圖G稱為網(wǎng)絡(luò)（賦權(quán)圖）。,這里的權(quán)數(shù)可以是時(shí)間、費(fèi)用、距離等，視不同背景代表不同的含義。,賦權(quán)圖,定義9鏈、路、回路（圈）▲無向圖中有些點(diǎn)和邊的交替序列對任意vi,t－1和vit(2≤t≤k)均相鄰，稱μ從v0到vk的鏈。,,,圖8－1中，μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一條鏈，μ1中因頂點(diǎn)v3重復(fù)出現(xiàn)，不能稱作路。,二、連通圖,▲如果鏈中所有的頂點(diǎn)v0，v1，…，vk也不相同，這樣的鏈稱初等鏈（或路）。,▲如果鏈中各邊e1,e2…,ek互不相同稱為簡單鏈。,▲當(dāng)v0與vk重合時(shí)稱為回路（或圈），如果邊不重復(fù)稱為簡單回路，如果邊不重復(fù)點(diǎn)也不重復(fù)則稱為初等回路。,是一條鏈也是一條路。是一條回路并且是簡單回路。,定義10連通圖,若在一個(gè)圖中，如果每一對頂點(diǎn)之間至少存在一條鏈，稱這樣的圖為連通圖，否則稱該圖是不連通的。圖8－1是連通圖。,μ3={v4,e7,v3,e3,v1,e2,v2,e6,v4},●歐拉回路,定義11連通圖G中，若存在一條回路，經(jīng)過每邊一次且僅一次，則稱這條回路為歐拉回路。具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖（E圖）。,哥尼斯堡七橋問題：尋找一條歐拉回路,,定理3無向連通圖G是歐拉圖，當(dāng)且僅當(dāng)G中無奇點(diǎn)。,七橋問題：d(A)=3,d(B)=3,d(C)=5,d(D)=3有四個(gè)奇點(diǎn)，故不是歐拉圖,定理4有向連通圖G是歐拉圖，當(dāng)且僅當(dāng)G中每個(gè)頂點(diǎn)的出次等于入次。,●中國郵路問題,討論：奇偶點(diǎn)圖上作業(yè)法,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9,8.2樹,●樹的概念,樹是圖論中結(jié)構(gòu)最簡單但又十分重要的圖，在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用。如：運(yùn)動(dòng)員抽簽結(jié)構(gòu)圖,定義樹、生成樹：,①無圈的連通圖稱為樹；②若G1是G2的一個(gè)支撐子圖并且是一棵樹，則稱G1是G2的一棵生成樹。,圖8－3(a)是一棵樹，圖8－3(b)是圖8－1的一棵生成樹。,v1,v1,圖8－1,圖8－3(a),圖8－3(b),定理：圖G=（V，E）有生成樹的充分必要條件為G是連通圖。,●生成樹的尋求方法,在圖Ｇ中，每步選出一條邊使它與已選邊不構(gòu)成圈，直到選夠n-1條邊為止。,（１）深探法步驟：①任取一點(diǎn)v，給v以標(biāo)號０；②若某點(diǎn)u已得標(biāo)號i，檢查其端點(diǎn)w是否已標(biāo)號；③若端點(diǎn)w未標(biāo)號，則給w以標(biāo)號i+1;重復(fù)②若端點(diǎn)均已標(biāo)號，則退到標(biāo)號i－1的點(diǎn)，重復(fù)②。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,０,１,２,３,４,５,６,７,８,９,１０,１１,１２,１３,,,,,,,,,,,,,,(2)廣探法,①任取一點(diǎn)v，給v以標(biāo)號０；②檢查其所有端點(diǎn)wi是否已標(biāo)號；若端點(diǎn)w未標(biāo)號，則給所有wi以標(biāo)號i+1;③對標(biāo)號i+1的點(diǎn)重復(fù)②。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,０,１,１,１,１,２,２,２,２,２,３,３,４,３,,,,,,（3）破圈法在圖Ｇ中任意取一個(gè)圈，從圈上任意舍棄一條邊，將這個(gè)圈破掉；重復(fù)上述步驟，直到圖Ｇ中沒有圈為止。,,例：某鄉(xiāng)有9個(gè)自然村，其鄉(xiāng)間道路如下圖，要求：以v0村為中心沿道路架設(shè)有線廣播網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)如何架設(shè)？,●最小生成樹,定義：設(shè)G＝[V,E]是一個(gè)連通圖，每一條邊ei∈E具有長度C(ei)≥0,G的任意生成樹T各條邊的長度之和稱為樹T的長度，記為C（T）。長度最小的生成樹稱為最小樹。,最小樹的應(yīng)用：電信網(wǎng)絡(luò)（計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、電話專用線網(wǎng)絡(luò)、有線電視網(wǎng)絡(luò)等等）的設(shè)計(jì)低負(fù)荷運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)，使得網(wǎng)絡(luò)中提供鏈接的部分（如鐵路、公路等等）的總成本最小高壓輸電線路網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)電器設(shè)備線路網(wǎng)絡(luò)（如數(shù)字計(jì)算機(jī)系統(tǒng)）的設(shè)計(jì)，使得線路總長度最短連接多個(gè)場所的管道網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì),求最小樹是在一個(gè)無向連通圖G中求一棵最小生成樹。,避圈法（加邊法）：去掉G中所有邊，得到n個(gè)孤立點(diǎn)；然后加邊；,加邊的原則：從最短邊開始添加，加邊的過程中不能形成圈，直到連通（n－1條邊）。,,,,,,,,,,,,v1,v2,v3,v4,v5,v6,4,3,5,2,1,MinC(T)=15,求最小樹的方法：避圈法和破圈法,,破圈法：任取一圈，去掉圈中最長邊，直到無圈。,,,,,,,,,,,,,,,,,v1,v2,v3,v4,v5,v6,4,3,5,2,1,,,,,,,,,,,,,得到最小樹：,MinC(T)=15,●根樹及其應(yīng)用,定義有向樹：若一個(gè)有向圖是一棵樹，則稱這個(gè)有向圖為有向樹。,定義若有向樹T恰有一個(gè)結(jié)點(diǎn)的入次為0，其余各點(diǎn)入次均為1，則稱T為根樹。,入次為0的點(diǎn)，稱為根,出次為0的點(diǎn)，稱為葉,其它頂點(diǎn)，稱為分枝點(diǎn),根到某頂點(diǎn)vi的道路長度，稱為vi點(diǎn)的層次。,定義在根樹T中，若每個(gè)頂點(diǎn)的出次小于或等于m，則稱T為m叉樹。若每個(gè)頂點(diǎn)的出次恰好等于m或零，則稱T為完全m叉樹。,當(dāng)m=2時(shí)，稱為二叉樹、完全二叉樹。,記二叉樹各葉子的權(quán)為pi，根到各葉子的距離（層次）為li二叉樹的總權(quán)數(shù)：,最優(yōu)二叉樹：滿足總權(quán)最小的二叉樹稱為最優(yōu)二叉樹?；舴蚵―AHuffman)給出了一個(gè)求最優(yōu)二叉樹的算法，又稱霍夫曼樹。,例：最優(yōu)檢索問題用計(jì)算機(jī)進(jìn)行圖書分類。現(xiàn)有五類圖書共100萬冊，其中有A類50萬冊，有B類20萬冊，C類5萬冊，D類10萬冊，E類15萬冊。問如何安排分檢過程，可使總的運(yùn)算次數(shù)最??？,算法步驟：1.將s個(gè)葉子按權(quán)由小至大排序；2.將二個(gè)具有最小權(quán)的葉子合并成一個(gè)分枝點(diǎn)，其權(quán)為p1+p2；將新的分枝點(diǎn)作為一個(gè)葉子，合并，…,解：構(gòu)造一棵具有5個(gè)葉子的最優(yōu)二叉樹，其葉子的權(quán)分別為50，20，5，10，15.步驟如下：1.將5個(gè)葉子按權(quán)由小到大排序：5，10，15，20，502.找出二個(gè)最小權(quán)的葉子，合并成一個(gè)分枝點(diǎn)，其權(quán)為15；,依次，繼續(xù)。,,,,,,,總權(quán)為：,,,,分檢過程是：先把A類50萬冊從總數(shù)中分檢出來，其次將B類20萬冊分檢出來，然后再將E類15萬冊分檢出來，最后再將D、C分檢出來。,8.3最短路問題,有些問題，如選址、管道鋪設(shè)時(shí)的選線、設(shè)備更新、投資、某些整數(shù)規(guī)劃和動(dòng)態(tài)規(guī)劃的問題，也可以歸結(jié)為求最短路的問題。因此這類問題在生產(chǎn)實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。,求最短路有兩種算法，一是求從某一點(diǎn)至其它各點(diǎn)之間最短離的狄克斯屈拉(Dijkstra)算法；另一種是求網(wǎng)圖上任意兩點(diǎn)之間最短的矩陣算法。,最短路問題，就是從給定的網(wǎng)絡(luò)圖中找出一點(diǎn)到各點(diǎn)或任意兩點(diǎn)之間距離最短的一條路.,渡河問題,一老漢帶了一只狼、一只羊、一棵白菜想要從南岸過河到北岸，河上只有一條獨(dú)木舟，每次除了人以外，只能帶一樣?xùn)|西；另外，如果人不在，狼就要吃羊，羊就要吃白菜，問應(yīng)該怎樣安排渡河，才能做到既把所有東西都運(yùn)過河去，并且在河上來回次數(shù)最少？這個(gè)問題就可以用求最短路方法解決。,設(shè)：M—人W—狼S—羊V—白菜,渡河方案共有10種，構(gòu)造如下一個(gè)圖，每條邊的距離為1，問題變?yōu)榍笠粭l從MWSV到φ的最短路。,北岸,南岸,●狄克斯屈拉(Dijkstra)標(biāo)號算法,點(diǎn)標(biāo)號：b(j)—起點(diǎn)vs到點(diǎn)vj的最短路長；,邊標(biāo)號：k(i，j)=b(i)+dij，,步驟：1.令起點(diǎn)的標(biāo)號；b(s)＝0。,先求有向圖的最短路，設(shè)網(wǎng)絡(luò)圖的起點(diǎn)是vs,終點(diǎn)是vt,以vi為起點(diǎn)vj為終點(diǎn)的弧記為（i，j）,距離為dij,2.找出所有vi已標(biāo)號vj未標(biāo)號的弧集合B=｛（i，j）｝如果這樣的弧不存在或vt已標(biāo)號則計(jì)算結(jié)束；,3.計(jì)算集合B中弧k(i，j)=b(i)+dij的標(biāo)號,4.選一個(gè)點(diǎn)標(biāo)號返回到第2步。,【例】求下圖v1到v7的最短路長及最短路線,0,8,6,2,,2,5,4,4,,11,14,7,5,10,,7,12,11,v7已標(biāo)號，計(jì)算結(jié)束。從v1到v7的最短路長是11,最短路線是：v1v4v6v7,,,,,,●無向圖最短路的求法,無向圖最短路的求法只將上述步驟2改動(dòng)一下即可。,點(diǎn)標(biāo)號：b(i)—起點(diǎn)vs到點(diǎn)vj的最短路長；,邊標(biāo)號：k(i，j)=b(i)+dij，,步驟：1.令起點(diǎn)的標(biāo)號；b(s)＝0。,3.計(jì)算集合B中邊標(biāo)號：k[i，j]=b(i)+dij,4.選一個(gè)點(diǎn)標(biāo)號:返回到第2步。,2.找出所有一端vi已標(biāo)號另一端vj未標(biāo)號的邊集合B=｛[i，j]｝如果這樣的邊不存在或vt已標(biāo)號則計(jì)算結(jié)束；,【例】求下圖v1到各點(diǎn)的最短路及最短距離,0,4,5,2,,2,3,10,,3,9,6,12,6,,4,11,,6,,6,18,8,12,24,,8,24,,18,所有點(diǎn)都已標(biāo)號，點(diǎn)上的標(biāo)號就是v1到該點(diǎn)的最短距離，最短路線就是紅色的鏈。,●有負(fù)權(quán)的最短路算法,假設(shè)圖中沒有負(fù)回路。如下圖是一條負(fù)回路，最短路權(quán)無下界。,當(dāng)vi到vj之間沒有弧連接時(shí)，令lij＝＋∞,列表迭代計(jì)算：,設(shè)vs到vj經(jīng)過vi到達(dá)vj，則vs到vj的最短距離為：,迭代：,【例】求下圖v1到v8的最短路長及最短路線,2,0,－3,6,11,0,2,0,－3,6,6,15,0,2,0,－3,3,6,14,10,(表中空格為＋∞),020-336910,采用”反向追蹤”的方法找出從v1到v8的最短路.,已知:P(v1,v8)=10，而P(v1,v8)=min{P(v1,vi)+li8},尋找：P(v1,v6）+l68=6+4=10,記下：v6→v8,再檢查：P(v1,v6）=6,尋找：P(v1,v3）+l36=0+6=6,記下：v3→v6→v8,………,v1→v2→v3→v6→v8,再檢查：P(v1,v3）=0,尋找：P(v1,v2）+l23=2+(-2)=0,記下：v2→v3→v6→v8,8.4最大流問題,許多系統(tǒng)中都涉及到流量問題，例如網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中有信息流、公路系統(tǒng)中有車輛流、金融系統(tǒng)中有現(xiàn)金流等等。對于這些包含了流量問題的系統(tǒng)，我們往往需要求出其系統(tǒng)的最大流量。例如，某公路系統(tǒng)的容許通過的最大車輛數(shù)，某網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的最大信息流量等，以便于對某個(gè)系統(tǒng)加以認(rèn)識并進(jìn)行管理。,例某石油公司建有一個(gè)可以把石油從采地輸送到不同銷售點(diǎn)的管道網(wǎng)絡(luò)，如下圖。由于管道的直徑變化，使得各段管道（vi,vj）的最大通過能力（容量）cij也是不一樣的，cij的單位為萬加侖/小時(shí)。要求我們制定一個(gè)輸送方案，將石油從v1輸送到v6，使得輸送的石油達(dá)到最大,●基本概念,容量：在某時(shí)期內(nèi)弧(i，j)上的最大通過能力。記為C(i，j)或Cij在上圖中，C12=4，C13＝8，C23＝4等，怎樣安排運(yùn)輸方案，才能使在某一時(shí)期內(nèi)從v1運(yùn)到v6的物資最多，這樣的問題就是最大流問題，,網(wǎng)絡(luò)中所有流起源于一個(gè)叫做發(fā)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)（源）,所有的流終止于一個(gè)叫做收點(diǎn)的節(jié)點(diǎn),其余所有的節(jié)點(diǎn)叫做中間點(diǎn)（轉(zhuǎn)運(yùn)點(diǎn)）,通過每一條弧的流只允許沿著弧的箭頭方向流動(dòng),目標(biāo)是使得從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)的總流量最大,,,8.4最大流問題,流量：弧(i，j)的實(shí)際通過量，記為f(i，j)或fij,可行流：如果fij滿足：1.對于所有弧(i，j)有0≤fij≤Cij,則稱流量集合｛fij｝為網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)可行流，簡記為f。,以下假設(shè)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)簡單連通圖。,2.對于中間點(diǎn)點(diǎn)vm有：,鏈：從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)的一條路線（弧的方向不一定都同向）稱為鏈。從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)的方向規(guī)定為鏈的方向。,前向?。号c連的方向相同的弧稱為前向弧。,后向?。号c連的方向相反的弧稱為后向弧。,增廣鏈設(shè)f是一個(gè)可行流，如果存在一條從vs到vt的鏈，滿足：,1.所有前向弧上fij0,則該鏈稱為增廣鏈,①,②,③,④,⑤,⑥,,,,,,容量,流量,【定理】設(shè)網(wǎng)絡(luò)G的一個(gè)可行流f，如果存在一條從vs到vt的增廣鏈，那么就可改進(jìn)一個(gè)值更大的可行流f1，并且valf1>valf,【證】設(shè)valf＝v,對改進(jìn)的可行流f1：,●最大流的標(biāo)號算法,步驟1.找出第一個(gè)可行流，例如所有弧的流量fij=0,2.用標(biāo)號的方法找一條增廣鏈A：發(fā)點(diǎn)標(biāo)號（△，∞），,B：選一個(gè)已標(biāo)號的點(diǎn)vi，對于vi的所有未給標(biāo)號的鄰接點(diǎn)，按下列規(guī)則處理：如果是前向弧并且有fij下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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