2003年陜西高考文科數(shù)學(xué)真題及答案

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1、 2003年陜西高考文科數(shù)學(xué)真題及答案 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿(mǎn)分60分） 1．（5分）直線(xiàn)y＝2x關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為（　?。? A．y=?12x B．y=12x C．y＝﹣2x D．y＝2x 2．（5分）已知x∈（?π2，0），cosx=45，則tan2x等于（　?。? A．724 B．?724 C．247 D．?247 3．（5分）拋物線(xiàn)y＝ax2的準(zhǔn)線(xiàn)方程是y＝2，則a的值為（　?。? A．18 B．?18 C．8 D．﹣8 4．（5分）等差數(shù)列{an}中，已知a1=13，a2+a5＝4，an＝33，則n為（　?。? A．48 B．49 C．50 D．51

2、 5．（5分）雙曲線(xiàn)虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，∠F1MF2＝120，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　?。? A．3 B．62 C．63 D．33 6．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)=2?x?1x≤0x12x＞0若f（x0）＞1，則x0的取值范圍是（　?。? A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 7．（5分）已知f（x5）＝lgx，則f（2）＝（　?。? A．lg2 B．lg32 C．lg132 D．15lg2 8．（5分）函數(shù)y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，則φ＝（　?。? A．0 B．π4 C．π

3、2 D．π 9．（5分）已知點(diǎn)（a，2）（a＞0）到直線(xiàn)l：x﹣y+3＝0的距離為1，則a＝（　?。? A．2 B．2?2 C．2?1 D．2+1 10．（5分）已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為34R，該圓柱的全面積為（　?。? A．2πR2 B．94πR2 C．83πR2 D．52πR2 11．（5分）已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4與P0重合，則tgθ＝（　　） A．13 B

4、．25 C．12 D．1 12．（5分）棱長(zhǎng)都為2的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（　　） A．3π B．4π C．33π D．6π 二、填空題（共4小題，每小題4分，滿(mǎn)分16分） 13．（4分）不等式4x?x2＜x的解集是　 ?。? 14．（4分）在(x?12x)9的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是　 ?。ㄓ脭?shù)字作答） 15．（4分）在平面幾何里，有勾股定理“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2＝BC2”，拓展到空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出正確的結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A﹣BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、AD

5、B兩兩互相垂直，則　 ?。? 16．（4分）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有　 　種．（以數(shù)字作答） 三、解答題（共6小題，滿(mǎn)分74分） 17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)． （1）證明EF為BD1與CC1的公垂線(xiàn)； （2）求點(diǎn)D1到面BDE的距離． 18．（12分）已知復(fù)數(shù)z的輻角為60，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中項(xiàng)．求|z|． 19．（12分）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＝3

6、n﹣1+an﹣1（n≥2）． （Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）證明an=3n?12． 20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝2sinx（sinx+cosx）． （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值； （2）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[?π2，π2]上的圖象． 21．（12分）在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南θ(cosθ=210)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？

7、22．（14分）已知常數(shù)a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且BEBC=CFCD=DGDA，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖），問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  2003年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿(mǎn)分60分） 1．（5分）直線(xiàn)y＝2x關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為（　?。? A．y=?12x B．y=12x C．y＝﹣2x D．y＝2x 【解答】解：∵直線(xiàn)y＝f（x）關(guān)于x對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)

8、方程為y＝﹣f（x）， ∴直線(xiàn)y＝2x關(guān)于x對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為： y＝﹣2x． 故選：C． 2．（5分）已知x∈（?π2，0），cosx=45，則tan2x等于（　?。? A．724 B．?724 C．247 D．?247 【解答】解：∵cosx=45，x∈（?π2，0）， ∴sinx=?35．∴tanx=?34． ∴tan2x=2tanx1?tan2x=?321?916=?32167=?247． 故選：D． 3．（5分）拋物線(xiàn)y＝ax2的準(zhǔn)線(xiàn)方程是y＝2，則a的值為（　?。? A．18 B．?18 C．8 D．﹣8 【解答】解：拋物線(xiàn)y＝ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=1ay，

9、則其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=?14a=2， 所以a=?18． 故選：B． 4．（5分）等差數(shù)列{an}中，已知a1=13，a2+a5＝4，an＝33，則n為（　?。? A．48 B．49 C．50 D．51 【解答】解：設(shè){an}的公差為d， ∵a1=13，a2+a5＝4， ∴13+d+13+4d＝4，即23+5d＝4， 解得d=23． ∴an=13+23（n﹣1）=23n?13， 令an＝33， 即23n?13=33， 解得n＝50． 故選：C． 5．（5分）雙曲線(xiàn)虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，∠F1MF2＝120，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　?。? A．3 B．62

10、C．63 D．33 【解答】解：根據(jù)雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可知∠OMF2＝60， ∴tan∠OMF2=OF2OM=cb=3，即c=3b， ∴a=c2?b2=2b， ∴e=ca=62． 故選：B． 6．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)=2?x?1x≤0x12x＞0若f（x0）＞1，則x0的取值范圍是（　?。? A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【解答】解：當(dāng)x0≤0時(shí)，2?x0?1＞1，則x0＜﹣1， 當(dāng)x0＞0時(shí)，x012＞1則x0＞1， 故x0的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）， 故選：D． 7．（5分）已知

11、f（x5）＝lgx，則f（2）＝（　?。? A．lg2 B．lg32 C．lg132 D．15lg2 【解答】解：令x5＝2， ∴得x=215， ∵f（x5）＝lgx， ∴f（2）＝lg215=15lg2． 故選：D． 8．（5分）函數(shù)y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，則φ＝（　　） A．0 B．π4 C．π2 D．π 【解答】解：當(dāng)φ＝0時(shí)，y＝sin（x+φ）＝sinx為奇函數(shù)不滿(mǎn)足題意，排除A； 當(dāng)φ=π4時(shí)，y＝sin（x+φ）＝sin（x+π4）為非奇非偶函數(shù)，排除B； 當(dāng)φ=π2時(shí)，y＝sin（x+φ）＝cosx，為偶函數(shù)，滿(mǎn)足條件． 當(dāng)φ＝π

12、時(shí)，y＝sin（x+φ）＝﹣sinx，為奇函數(shù)， 故選：C． 9．（5分）已知點(diǎn)（a，2）（a＞0）到直線(xiàn)l：x﹣y+3＝0的距離為1，則a＝（　?。? A．2 B．2?2 C．2?1 D．2+1 【解答】解：由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得：1=|a?2+3|1+1=2=|a+1|， ∵a＞0， ∴a=2?1． 故選：C． 10．（5分）已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為34R，該圓柱的全面積為（　?。? A．2πR2 B．94πR2 C．83πR2 D．52πR2 【解答】解：設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱的高為h，則3R4R=3R??3R，解得?=34R， 所以圓柱的全面

13、積為：s＝2(34R)2π+(32R)π34R=94πR2． 故選：B． 11．（5分）已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4與P0重合，則tgθ＝（　?。? A．13 B．25 C．12 D．1 【解答】解：由于若P4與P0重合， 故P2、P3也都是所在邊的中點(diǎn)， 因?yàn)锳BCD是長(zhǎng)方形， 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知P0P1的斜率是12， 則tgθ=12． 故選：C． 12．（5分）棱長(zhǎng)都為2的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在

14、同一球面上，則此球的表面積為（　　） A．3π B．4π C．33π D．6π 【解答】解：借助立體幾何的兩個(gè)熟知的結(jié)論： （1）一個(gè)正方體可以?xún)?nèi)接一個(gè)正四面體； （2）若正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則正方體的體對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑． 則球的半徑R=32， ∴球的表面積為3π， 故選：A． 二、填空題（共4小題，每小題4分，滿(mǎn)分16分） 13．（4分）不等式4x?x2＜x的解集是?。?，4]?。? 【解答】解：∵x＞4x?x2≥0， ∴x＞0， ∵不等式4x?x2＜x，兩邊平方得， 4x﹣x2＜x2， ∴2x2﹣4x＞0， 解得，x＞2，x＜0（舍去）， ∵4x﹣x

15、2≥0， ∴0≤x≤4， ∴綜上得：不等式的解集為：（2，4]， 故答案為（2，4]． 14．（4分）在(x?12x)9的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是　?212?。ㄓ脭?shù)字作答） 【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于(x?12x)9， 有Tr+1＝C99﹣r?x9﹣r?（?12x）r＝（?12）r?C99﹣r?x9﹣2r， 令9﹣2r＝3，可得r＝3， 當(dāng)r＝3時(shí)，有T4=?212x3， 故答案?212． 15．（4分）在平面幾何里，有勾股定理“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2＝BC2”，拓展到空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出

16、正確的結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A﹣BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則　S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2?。? 【解答】解：建立從平面圖形到空間圖形的類(lèi)比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2． 故答案為：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2． 16．（4分）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有　72　種．（以數(shù)字作答） 【解答】解：由題意，選用3種顏色時(shí)：涂色方法C43?A33＝24種 4色全用時(shí)涂色方法：C2

17、1?A44＝48種 所以不同的著色方法共有72種． 故答案為：72 三、解答題（共6小題，滿(mǎn)分74分） 17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)． （1）證明EF為BD1與CC1的公垂線(xiàn)； （2）求點(diǎn)D1到面BDE的距離． 【解答】解：（1）取BD中點(diǎn)M． 連接MC，F(xiàn)M． ∵F為BD1中點(diǎn)， ∴FM∥D1D且FM=12D1D． 又EC12CC1且EC⊥MC， ∴四邊形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1． ∴EF⊥面DBD1． ∵BD1?面DBD1．∴EF⊥BD1． 故E

18、F為BD1與CC1的公垂線(xiàn)． （Ⅱ）解：連接ED1，有VE﹣DBD1＝VD1﹣DBE． 由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1， 設(shè)點(diǎn)D1到面BDE的距離為d． 則S△DBE?d=S△DBD1?EF． ∵AA1＝2，AB＝1． ∴BD=BE=ED=2，EF=22， ∴S△DBD1=12?2?2=2．S△DBE=12?32?(2)2=32 ∴d=22232=233 故點(diǎn)D1到平面DBE的距離為233． 18．（12分）已知復(fù)數(shù)z的輻角為60，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中項(xiàng)．求|z|． 【解答】解：設(shè)z＝（rcos60+rsin60i）， 則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為r2．z?z=

19、r，zz=r2 由題設(shè)|z﹣1|2＝|z|?|z﹣2|， 即：（z﹣1）（z?1）＝|z|(z?2)(z?2) ∴r2﹣r+1＝rr2?2r+4， 整理得r2+2r﹣1＝0． 解得r=2?1， r=?2?1（舍去）． 即|z|=2?1． 19．（12分）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＝3n﹣1+an﹣1（n≥2）． （Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）證明an=3n?12． 【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1， ∴a2＝3+1＝4， ∴a3＝32+4＝13； （Ⅱ）證明：由已知an﹣an﹣1＝3n﹣1，n≥2 故an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a

20、2﹣a1）+a1 =3n?1+3n?2+?+3+1=3n?12．n≥2 當(dāng)n＝1時(shí)，也滿(mǎn)足上式． 所以an=3n?12． 20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝2sinx（sinx+cosx）． （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值； （2）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[?π2，π2]上的圖象． 【解答】解：（1）f（x）＝2sin2x+2sinxcosx＝1﹣cos2x+sin2x =1+2(sin2xcosπ4?cos2xsinπ4) =1+2sin(2x?π4) 所以函數(shù)的最小正周期為π，最大值為1+2； （2）由（1）列表得： x

21、 ?3π8 ?π8 π8 3π8 5π8 y 1 1?2 1 1+2 1 故函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[?π2，π2]上的圖象是： 21．（12分）在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南θ(cosθ=210)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？ 【解答】解：如圖建立坐標(biāo)系：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向． 在時(shí)刻：t（h）臺(tái)風(fēng)中心P（x，y）的坐標(biāo)為 x=300210?

22、2022ty=?3007210+2022t. 令（x′，y′）是臺(tái)風(fēng)邊緣線(xiàn)上一點(diǎn)，則此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2， 其中r（t）＝10t+60， 若在t時(shí)，該城市受到臺(tái)風(fēng)的侵襲， 則有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2， 即(300210?2022t)2+(?3007210+2022t)2≤(10t+60)2， 即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24． 答：12小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)侵襲． 22．（14分）已知常數(shù)a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)

23、，且BEBC=CFCD=DGDA，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖），問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解答】解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程， 據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到定點(diǎn)距離的和為定值． 按題意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a） 設(shè)BEBC=CFCD=DGDA=k（0≤k≤1）， 由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）． 直線(xiàn)OF的方程為：2ax+（2k﹣1）y＝0，① 直線(xiàn)GE的方程為：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a＝

24、0． ② 從①，②消去參數(shù)k， 得點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)滿(mǎn)足方程2a2x2+y2﹣2ay＝0， 整理得x212+(y?a)2a2=1． 當(dāng)a2=12時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)； 當(dāng)a2≠12時(shí)，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng)； 當(dāng)a2＜12時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(?12?a2，a)，(12?a2，a)的距離之和為定值2； 當(dāng)a2＞12時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(0，a?a2?12)，(0，a+a2?12)的距離之和為定值2a． 聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布 日期：2019/8/13 16:20:20；用戶(hù)：黃熠；郵箱：huangyi12388@；學(xué)號(hào)：716378