專題10三角形的綜合問題解析版蘇科版

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1、 2020年中考數(shù)學必考經典題講練案【蘇科版】 專題10三角形的綜合問題 【方法指導】 1.全等三角形解決問題的常見技巧： （1）全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（適用于直角三角形）． （2）作輔助線構造全等三角形 ①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律． ②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經常用到全等三角形來證明． 2.等腰三角形解題技巧： （1）等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手

2、段． （2）在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析． 3.等邊三角形常用方法與思路： （1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性質為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用． （2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30角

3、的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等． （3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60的角判定． 【題型剖析】 【類型1】三角形有關角的綜合計算 【例1】（2019?泉山區(qū)模擬）如圖，點、分別在射線、上運動（不與點重合）． （1）如圖1，若，、的平分線交于點，則　??； （2）如圖2，若，、的平分線交于點，求的度數(shù)； （3）如圖2，若，的外角、的平分線交于點，求與之間的數(shù)量關系，并求出的度數(shù)； （4）如圖

4、3，若，是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點．試問：隨著點、的運動，的大小會變嗎？如果不會，求的度數(shù)；如果會，請說明理由． 【分析】（1）由三角形內角和定理得出，由角平分線的也得出，再由三角形內角和定理即可得出結果； （2）由三角形內角和定理和角平分線的也得出，再由三角形內角和定理得出的度數(shù)； （3）求出，同理，由四邊形內角和求出，由（1）知：，即可得出結果； （4）由三角形外角性質得出，由角平分線定義得出，，，即可得出結果． 【解析】（1）， ， 、的平分線交于點， ， ； 故答案為：135； （2）在中，， 、的平分線交于點， ， 即， ； （3）、分別

5、是和的角平分線， ，， ，， 即， 同理：， 四邊形內角和等于， ， 由（1）知：， ， ，； （4）的度數(shù)不變，；理由如下： ， ， 、分別是和的角平分線， ，， ，即， ， ， ． 【方法小結】本題考查了三角形內角和定理、角平分線的也、三角形的外角性質等知識；熟練掌握三角形內角和定理和角平分線的也是解題的關鍵． 【變式1-1】（2019?沭陽縣模擬）探究與發(fā)現(xiàn)： 如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題： （1）觀察“

6、規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關系，并說明理由； （2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題： ①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經過點、，若，則　40?。? ②如圖3，平分，平分，若，，求的度數(shù)； ③如圖4，，的10等分線相交于點、、，若，，求的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接并延長至點，由外角定理可知，一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，則容易得到； （2）①由（1）的結論可得，然后把，代入上式即可得到的值． ②結合圖形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的結論可知，易得答案． ③由（2）的方法，進而可得答案． 【解析】（

7、1）連接并延長至點， 由外角定理可得，； 且及； 相加可得； （2）①由（1）的結論易得：， 又因為，， 所以； ②由（1）的結論易得，易得； 而， 代入，，易得； ③， ， 設為， ， ， 為． 【變式1-2】（2019春?海安市期末）如圖，已知是的角平分線，是的外角的平分線．延長，分別交于點， （1）求證：； （2）小智同學探究后提出等式：．請通過推理演算判斷“小智發(fā)現(xiàn)”是否正確？ （3）若，求的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)三角形的外角的性質即可證明結論； （2）根據(jù)（1）中的結論變形后可得結論； （3）根據(jù)三

8、角形的外角和角平分線的定義，綜合已知，等量代換可得結論． 【解答】（1）證明：是的平分線， ， 是的平分線， ， ； （2）解：由（1）知， ， 小智發(fā)現(xiàn)”是錯誤的； （3）解：中，， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【方法小結】本題考查了角平分線的定義，三角形的內角和，三角形的外角性質的應用，能正確運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和． 【變式1-3】（2019春?高淳區(qū)校級模擬）中，三個內角的平分線交于點，過點作，交邊于點． （1）如圖1， ①若，則　　，　　； ②猜想與的

9、關系，并說明你的理由； （2）如圖2，作外角的平分線交的延長線于點．若，，則　?。? 【分析】（1）①根據(jù)三角形的內角和得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)三角形的內角和即可得到結論； ②設，根據(jù)三角形的內角和和角平分線的定義即可得到結論； （2）根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質即可得到結論． 【解析】（1）①， ， 中，三個內角的平分線交于點， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案為：，， ②相等，理由設， ， 中，三個內角的平分線交于點， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，， 平分，平分， ，，

10、 ， ， ， ． 故答案為：，，43． 【方法小結】本題考查了角平分線的定義，三角形的內角和，三角形的外角的性質，熟練掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵． 【類型2】全等三角形的判定與性質 【例2】（2019?如皋市一模）如圖，、、是直線上的三個點，，且． （1）求證：； （2）若，點在直線的上方，為等邊三角形，補全圖形，請判斷的形狀，并說明理由． 【分析】（1）由外角的性質可得，由“”可得，可得，，可得結論； （2）由“”可證，可得，，可得，可得是等邊三角形． 【解答】證明：（1）， ． 在和中， ，． （2）補全圖形． 為等邊三角

11、形． 理由如下： 為等邊三角形， ，． ，． （已證）， ， 即． （已證）， ， ，． ． 為等邊三角形． 【方法小結】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，熟練運用全等三角形的判定和性質是本題關鍵． 【變式2-1】（2019?碑林區(qū)校級模擬）如圖，四邊形中，，，，垂足為，． （1）求證：； （2）若，，求的長（結果精確到0.01，參考數(shù)值：， 【分析】（1）由“”可證； （2）由等腰三角形的性質可得，由勾股定理可求的長，即可求的長． 【解答】證明：（1）， ，且，， （2），， 【方法小結】本題

12、考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵． 【變式2-2】（2019?灌南縣校級模擬）如圖，在四邊形中，，，點是的中點，點是邊上的點，，的周長為． （1）求證：平分； （2）若，，，求的值． 【分析】（1）延長，交于點，由“”可證，可得，可證，由等腰三角形的性質可得，即可得結論； （2）由題意可證四邊形是矩形，由勾股定理可求，，的長，即可求的周長為的值． 【解析】（1）延長，交于點， 點是的中點， ， ， ，且， ， ， 平分； （2）點是的中點， ， ， ， ，， 四邊

13、形是平行四邊形，且 四邊形是矩形， ，，， 在中，， ， 在中， 在中， 的周長為 【方法小結】本題考查了全等三角形的判定，矩形的判定，勾股定理，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵． 【類型3】等腰三角形的有關計算與證明 【例3】（2018秋?灌云縣期末）如圖，已知是的邊上的一點，， （1）若，，求的大小； （2）若既是的高又是角平分線，，求的大小． 【分析】（1）首先根據(jù)已知條件可知，為等邊三角形．所以，，因為，所以，，由，得； （2）由既是的高又是角平分線可知，為等腰三角形，所以，，因為，所以，，由，求得． 【解析】（1），， ， ，

14、， ， ， ， ， ； （2）既是的高又是角平分線，， ，， ， ， ， ， ， ． 【方法小結】本題考查了等腰三角形的性質以及等邊三角形的判定與性質，熟練掌握等腰三角形與等邊三角形的性質是解題的關鍵． 【變式3-1】（2018秋?泗陽縣期末）已知，在中，點在上，點在的延長線上，且，． （1）如圖1，若，，試求的度數(shù)； （2）若，，則的度數(shù)為　　（直接寫出結果）； （3）如圖2，若，其余條件不變，探究與之間有怎樣的數(shù)量關系？ 【分析】根據(jù)三角形的內角和得到的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質得到，根據(jù)三角形的外角的性質得到，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內角和

15、得到，根據(jù)三角形的外角的性質即可得到結論． 【解析】（1），， ， ， ， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案為：； （3）設，， ， ， ， ， ， ， ， ； ． 【變式3-2】（2018秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在中，，． （1）當時（如圖①，　 ?。? （2）當時（如圖②，求的度數(shù)（用含的式子表示）． 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質，即可得到，，再根據(jù)三角形內角和定理，即可得到的度數(shù)； （2）運用（1）中的方法進行計算，即可得到的度數(shù)． 【解析】（1），， ，， ， ，

16、 中， ， 故答案為：45． （2），， ，， ， ， 中， ． 【方法小結】本題考查的是等腰三角形的性質，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答此題的關鍵． 【類型4】等邊三角形的有關計算與證明 【例4】（2019春?鼓樓區(qū)校級模擬）已知，為等邊三角形，點為上的一個動點，點為延長線上一點，且． （1）如圖1，若點在邊上，猜想線段與之間的關系，并說明理由； （2）如圖2，若點在的延長線上，（1）中的結論是否成立，請說明理由． 【分析】（1）求出，推出，根據(jù)等腰三角形性質求出，即可得出答案；解：（1），理由：過作交于， （2）（1）中的結論仍

17、成立，如圖3，過點作，交的延長線于點，證明，得到，即可得到． 【解析】（1）， 證明：如圖1，過點作，交于點， 是等邊三角形， 也是等邊三角形， ，， ， ， ， ， ， 又，， 即， 在和中，，，， ， ， ； （2）如圖3，過點作，交的延長線于點， 是等邊三角形， 也是等邊三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 【方法小結】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是作出輔助線，構建全等三角形． 【變式4-1】（2018秋?泰興市月考）如圖，

18、是等邊三角形，是中線，延長至點，使．取中點，連接． （1）求證：； （2）延長交邊于點，試說明：． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角線的性質和三角形外角與內角的關系，可以求得和的關系，從而可以證明結論成立； （2）根據(jù)題意和角平分線的性質可以證明結論成立． 【解答】（1）證明：是等邊三角形，是中線， ，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）證明：由（1）知，， ， ， 是等邊三角形，是中線， ，，是的平分線， ， ， ， ， ， ． 【變式4-2】（2019?淮陰區(qū)模擬）如圖，中，，以為邊在外作等邊三角形，過點作的垂線，垂足為，與相交于點

19、，連接． （1）說明：； （2）若，是直線上的一點．則當在何處時，最小，并求出此時的值． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形“三合一”的性質證得垂直平分；然后由等腰三角形的判定知，根據(jù)等邊對等角、直角三角形的兩個銳角互余的性質以及等量代換求得；最后根據(jù)等角對等邊證得，所以； （2）由（1）知，垂直平分，故；由等量代換知；根據(jù)兩點之間線段最短可知，當點、、在同一直線上最小，所以點在處時最?。? 【解析】（1）證明：在等邊三角形中， ， 垂直平分， ， （等邊對等角）； （已知）， ， ， （等角對等邊）， ； （2）由（1）知，垂直平分， ， ； 當最小時，也就是

20、最小，即點、、在同一直線上最小，所以點在處時最?。? 當點在處時，． 【類型5】直角三角形的綜合問題 【例5】（2019 ?溧水校級模擬）已知中，，，為的中點． （1）如圖，若、分別是、上的點，且．求證：為等腰直角三角形； （2）若，分別為，延長線上的點，仍有，其他條件不變，那么是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論． 【分析】題要通過構建全等三角形來求解．連接，可通過證和全等來求本題的結論． （2）與（1）題的思路和解法一樣． 【解析】（1）證明：連接 ，，為中點 且平分 在和中， ， ， 即： 為等腰直角三角形． （2）解：仍為等腰直

21、角三角形． 理由： ， 即： 為等腰直角三角形． 【方法小結】本題綜合考查了等腰三角形的性質及判定、全等三角形的判定和性質等知識，難度較大． 【變式5-1】（2018秋?常熟市期末）如圖，在中，，．點是邊上一點，，垂足為．點是的中點，連接，． （1）求證：； （2）判斷與的位置關系，并說明理由； （3）若，連接，求的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質證明即可． （2）利用四邊形內角和定理，證明即可． （3）只要證明即可． 【解答】（1）證明：， ， ，， ，， ． （2）結論：． 理由：，， ， ， ， ， ，

22、 ，， ， ， ． （3），， ， ， 是等邊三角形， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ． 【方法小結】本題考查等腰直角三角形的性質，直角三角形斜邊的中線的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型． 【變式5-2】（2019?江都區(qū)校級模擬）如圖所示，已知是等腰直角三角形，，，為外的一點，連結、，過作，垂足為，的延長線交于． （1）如圖1，若，且，求的長； （2）如圖2，若是等邊三角形，求的長． 【分析】（1）由已知條件求出、、的值，由勾股定理即可求出的長； （2）利用等邊三角形的性質及勾股定理

23、先計算出的長，再利用三角形的中位線可求出，則的長可求解． 【解析】（1），， 可設，則， 根據(jù)勾股定理得：， ， ， 解得：， ，，， ； （2）是等邊三角形，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， 是等腰直角三角形， ， ． 【達標檢測】 一．選擇題（共4小題） 1．（2019?徐州）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（　?。? A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10 【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可以判斷各個選項中的三條線段是否能組成三角形，本題得以解決． 【解析】∵2+2＝4，∴2，2，4不能組成

24、三角形，故選項A錯誤， ∵5+6＜12，∴5，6，12不能組成三角形，故選項B錯誤， ∵5+2＝7，∴5，7，2不能組成三角形，故選項C錯誤， ∵6+8＞10，∴6，8，10能組成三角形，故選項D正確， 故選：D． 2．（2019?揚州）已知n是正整數(shù)，若一個三角形的3邊長分別是n+2、n+8、3n，則滿足條件的n的值有（　?。? A．4個 B．5個 C．6個 D．7個 【分析】分兩種情況討論：①若n+2＜n+8≤3n，②若n+2＜3n≤n+8，分別依據(jù)三角形三邊關系進行求解即可． 【解析】①若n+2＜n+8≤3n，則 n+2+n+8＞3nn+8≤3n， 解得n＜10n≥4，

25、即4≤n＜10， ∴正整數(shù)n有6個：4，5，6，7，8，9； ②若n+2＜3n≤n+8，則 n+2+3n＞n+83n≤n+8， 解得n＞2n≤4，即2＜n≤4， ∴正整數(shù)n有2個：3和4； 綜上所述，滿足條件的n的值有7個， 故選：D． 3．（2019?鹽城）如圖，點D、E分別是△ABC邊BA、BC的中點，AC＝3，則DE的長為（　?。? A．2 B．43 C．3 D．32 【分析】直接利用中位線的定義得出DE是△ABC的中位線，進而利用中位線的性質得出答案． 【解析】∵點D、E分別是△ABC的邊BA、BC的中點， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE=12AC＝1.

26、5． 故選：D． 4．（2018?南通）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD平分∠ACB交AB于點D，按下列步驟作圖： 步驟1：分別以點C和點D為圓心，大于12CD的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點； 步驟2：作直線MN，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)； 步驟3：連接DE，DF． 若AC＝4，BC＝2，則線段DE的長為（　?。? A．53 B．32 C．2 D．43 【分析】由作圖可知，四邊形ECFD是正方形，根據(jù)S△ACB＝S△ADC+S△CDB，可得12ACBC=12ACDE+12BCDF，由此即可解決問題． 【解析】由作圖可知，四邊形ECFD是正方形， ∴DE＝

27、DF＝CE＝CF，∠DEC＝∠DFC＝90， ∵S△ACB＝S△ADC+S△CDB， ∴12ACBC=12ACDE+12BCDF， ∴DE=426=43， 故選：D． 二．填空題（共4小題） 5．（2019?南通）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25，則∠ACF＝　 　度． 【分析】先證明△ABE≌△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝25；然后根據(jù)AB＝BC，∠ABC＝90，求出∠ACB的度數(shù)，即可求出∠ACF的度數(shù)． 【解析】在Rt△ABE與Rt△CBF中，AE=CFAB=BC， ∴Rt△ABE≌

28、Rt△CBF（HL）． ∴∠BAE＝∠BCF＝25； ∵AB＝BC，∠ABC＝90， ∴∠ACB＝45， ∴∠ACF＝25+45＝70； 故答案為：70． 6．（2019?蘇州）如圖，扇形OAB中，∠AOB＝90．P為弧AB上的一點，過點P作PC⊥OA，垂足為C，PC與AB交于點D．若PD＝2，CD＝1，則該扇形的半徑長為　?。? 【分析】連接OP，利用等腰三角形的性質可得出∠OAB＝45，結合PC⊥OA可得出△ACD為等腰直角三角形，進而可得出AC＝1，設該扇形的半徑長為r，則OC＝r﹣1，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出關于r的方程，解之即可得出結論． 【解析】連接O

29、P，如圖所示． ∵OA＝OB，∠AOB＝90， ∴∠OAB＝45． ∵PC⊥OA， ∴△ACD為等腰直角三角形， ∴AC＝CD＝1． 設該扇形的半徑長為r，則OC＝r﹣1， 在Rt△POC中，∠PCO＝90，PC＝PD+CD＝3， ∴OP2＝OC2+PC2，即r2＝（r﹣1）2+9， 解得：r＝5． 故答案為：5． 7．（2019?南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60，∠A＞∠B，則BC的長的取值范圍是　 ?。? 【分析】作△ABC的外接圓，求出當∠BAC＝90時，BC是直徑最長=833；當∠BAC＝∠ABC時，△ABC是等邊三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠B

30、AC＞∠ABC，即可得出答案． 【解析】作△ABC的外接圓，如圖所示： ∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4， 當∠BAC＝90時，BC是直徑最長， ∵∠C＝60， ∴∠ABC＝30， ∴BC＝2AC，AB=3AC＝4， ∴AC=433， ∴BC=833； 當∠BAC＝∠ABC時，△ABC是等邊三角形，BC＝AC＝AB＝4， ∵∠BAC＞∠ABC， ∴BC長的取值范圍是4＜BC≤833； 故答案為：4＜BC≤833． 8．（2019?南京）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子內，木筷露在杯子外面的部分至少有　　cm． 【分析】根據(jù)

31、題意直接利用勾股定理得出杯子內的筷子長度，進而得出答案． 【解析】由題意可得： 杯子內的筷子長度為：122+92=15， 則筷子露在杯子外面的筷子長度為：20﹣15＝5（cm）． 故答案為：5． 三．解答題（共8小題） 9．（2019?南通）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經過池塘可以直接到達點A和B．連接AC并延長到點D，使CD＝CA．連接BC并延長到點E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長就是A，B的距離．為什么？ 【分析】利用“邊角邊”證明△ABC和△DEC全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等解答． 【解析】量出DE的長就等

32、于AB的長，理由如下： 在△ABC和△DEC中，BC=CE∠ACB=∠DCECA=CD， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE． 10．（2019?鎮(zhèn)江）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E、F分別在AD、BC上，AE＝CF，過點A、C分別作EF的垂線，垂足為G、H． （1）求證：△AGE≌△CHF； （2）連接AC，線段GH與AC是否互相平分？請說明理由． 【分析】（1）由垂線的性質得出∠G＝∠H＝90，AG∥CH，由平行線的性質和對頂角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF； （2）連接AH、CG，由全等三角形的性質得出AG＝CH，

33、證出四邊形AHCG是平行四邊形，即可得出結論． 【解答】（1）證明：∵AG⊥EF，CH⊥EF， ∴∠G＝∠H＝90，AG∥CH， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE， ∴∠AEG＝∠CFH， 在△AGE和△CHF中，∠G=∠H∠AEG=∠CFHAE=CF， ∴△AGE≌△CHF（AAS）； （2）解：線段GH與AC互相平分，理由如下： 連接AH、CG，如圖所示： 由（1）得：△AGE≌△CHF， ∴AG＝CH， ∵AG∥CH， ∴四邊形AHCG是平行四邊形， ∴線段GH與AC互相平分． 11．（2019?無錫）如

34、圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于點O． （1）求證：△DBC≌△ECB； （2）求證：OB＝OC． 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質得到∠ECB＝∠DBC根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結論； （2）根據(jù)全等三角形的性質得到∠DCB＝∠EBC根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC 【解答】（1）證明：∵AB＝AC， ∴∠ECB＝∠DBC， 在△DBC與△ECB中BD=CE∠DBC=BC=CB∠ECB， ∴△DBC≌△ECB（SAS）； （2）證明：由（1）知△DBC≌△ECB， ∴∠DCB＝∠EBC， ∴

35、OB＝OC． 12.（2018?無錫）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝m，BC＝n，m＞n，點P是邊AB上一點，連結CP，將△ACP沿CP翻折得到△QCP． （1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的長； （2）連結BQ，若四邊形BCPQ是平行四邊形，求m與n之間的關系式． 【分析】（1）如圖，作CH⊥AB于H．證明△PCH是等腰直角三角形即可解決問題． （2）證明AB＝2n，利用勾股定理即可解決問題． 【解析】（1）如圖，作CH⊥AB于H． 由翻折的性質可知：∠APC＝∠QPC， ∵PQ⊥PA， ∴∠APQ＝90， ∴∠APC＝∠QPC＝135，

36、∴∠BPC+∠QPB＝135， ∵∠QPB＝90， ∴∠BPC＝45， ∵CH⊥AB， ∴CH＝PH， 在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=32+42=5， ∵12?AB?CH=12?AC?BC， ∴CH=125，BH=BC2-CH2=95， ∴PB＝PH+BH=125+95=215． （2）如圖2中，連接BQ． 由翻折不變性可知：PA＝PQ，∠QPC＝∠APC， ∵四邊形BCPQ是平行四邊形， ∴PQ＝BC＝PA＝n，PQ∥BC， ∴∠QPC+∠PCB＝180， ∵∠BPC+∠APC＝180， ∴∠PCB＝∠BPC， ∴PB＝BC＝n， ∴AP＝PB

37、＝n，AB＝2n， 在Rt△ABC中，則有（2n）2＝m2+n2， ∴m2＝3n2， ∵m＞0．n＞0， ∴m=3n． 13．（2018?徐州）如圖，將等腰直角三角形紙片ABC對折，折痕為CD．展平后，再將點B折疊在邊AC上（不與A、C重合），折痕為EF，點B在AC上的對應點為M，設CD與EM交于點P，連接PF．已知BC＝4． （1）若M為AC的中點，求CF的長； （2）隨著點M在邊AC上取不同的位置， ①△PFM的形狀是否發(fā)生變化？請說明理由； ②求△PFM的周長的取值范圍． 【分析】（1）由折疊的性質可知，F(xiàn)B＝FM，設CF＝x，則FB＝FM＝4﹣x，在Rt△CFM

38、中，根據(jù)FM2＝CF2+CM2，構建方程即可解決問題； （2）①△PFM的形狀是等腰直角三角形，想辦法證明△POF∽△MOC，可得∠PFO＝∠MCO＝45，延長即可解決問題； ②設FM＝y(tǒng)，由勾股定理可知：PF＝PM=22y，可得△PFM的周長＝（1+2）y，由2＜y＜4，可得結論． 【解析】（1）∵M為AC的中點， ∴CM=12AC=12BC＝2， 由折疊的性質可知，F(xiàn)B＝FM， 設CF＝x，則FB＝FM＝4﹣x， 在Rt△CFM中，F(xiàn)M2＝CF2+CM2，即（4﹣x）2＝x2+22， 解得，x=32，即CF=32； （2）①△PFM的形狀是等腰直角三角形，不會發(fā)生變化，

39、 理由如下：由折疊的性質可知，∠PMF＝∠B＝45， ∵CD是中垂線， ∴∠ACD＝∠DCF＝45， ∴∠PMO＝∠FCO， ∵∠POM＝∠FOC， ∴△POM∽△FOC， ∴OMOC=OPOF， ∴OMOP=OCOF ∵∠POF＝∠MOC， ∴△POF∽△MOC， ∴∠PFO＝∠MCO＝45， ∴∠PFM＝∠PMF＝45， ∴∠MPF＝90， ∴△PFM是等腰直角三角形． ②∵△PFM是等腰直角三角形，設FM＝y(tǒng)， 由勾股定理可知：PF＝PM=22y， ∴△PFM的周長＝（1+2）y， ∵2＜y＜4， ∴△PFM的周長滿足：2+22＜（1+2）y＜4+42

40、． 14．（2019?揚州）如圖，平面內的兩條直線l1、l2，點A，B在直線l1上，點C、D在直線l2上，過A、B兩點分別作直線l2的垂線，垂足分別為A1，B1，我們把線段A1B1叫做線段AB在直線l2上的正投影，其長度可記作T（AB，CD）或T(AB，l2)，特別地線段AC在直線l2上的正投影就是線段A1C． 請依據(jù)上述定義解決如下問題： （1）如圖1，在銳角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，則T（BC，AB）＝　??； （2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面積； （3）如圖3，在鈍角△ABC中，∠A＝60

41、，點D在AB邊上，∠ACD＝90，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD）， 【分析】（1）如圖1中，作CH⊥AB．根據(jù)正投影的定義求出BH即可． （2）如圖2中，作CH⊥AB于H．由正投影的定義可知AH＝4，BH＝9，利用相似三角形的性質求解CH即可解決問題． （3）如圖3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K．根據(jù)正投影的定義，求出CD，DK即可解決問題． 【解析】（1）如圖1中，作CH⊥AB． ∵T（AC，AB）＝3， ∴AH＝3， ∵AB＝5， ∴BH＝5﹣3＝2， ∴T（BC，AB）＝BH＝2， 故答案為2． （2）如圖2中，作CH⊥

42、AB于H． ∵T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9， ∴AH＝4，BH＝9， ∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90， ∴∠A+∠ACH＝90，∠ACH+∠BCH＝90， ∴∠A＝∠BCH， ∴△ACH∽△CBH， ∴CHBH=AHCH， ∴CH9=4CH， ∴CH＝6， ∴S△ABC=12?AB?CH=12136＝39． （3）如圖3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K． ∵∠ACD＝90，T（AD，AC）＝2， ∴AC＝2， ∵∠A＝60， ∴∠ADC＝∠BDK＝30， ∴CD=3AC＝23，AD＝2AC＝4，AH=12AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3， ∵T（BC，AB）＝6，CH⊥AB， ∴BH＝6， ∴DB＝BH﹣DH＝3， 在Rt△BDK中，∵∠K＝90，BD＝3，∠BDK＝30， ∴DK＝BD?cos30=332， ∴CK＝CD+DK＝23+332=732， ∴T（BC，CD）＝CK=732．