中考數(shù)學模擬試題匯編 相似與位似（含解析）.doc

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相似與位似 一、單選題 1、下列各組線段長度成比例的是（） A、1cm、2cm、3cm、4cm B、1cm、3cm、4.5cm、6.5cm C、1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm D、1cm、2cm、2cm、4cm 2、如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），下列結(jié)論錯誤的是（ ） A、 B、BC2=AB?BC C、＝ D、≈0.618 3、設（2y﹣z）：（z+2x）：y=1：5：2，則（3y﹣z）：（2z﹣x）：（x+3y）=（　　） A、1：5：7 B、3：5：7 C、3：5：8 D、2：5：8 4、如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的， 那么點B′的坐標是（ ） A、（－2，3） B、（2，－3） C、（3，－2）或（－2，3） D、（－2，3）或（2，－3） 5、已知k=， 且+n2+9=6n，則關于自變量x的一次函數(shù)y=kx+m+n的圖象一定經(jīng)過第（　?。┫笙蓿? A、一、二 B、二、三 C、三、四 D、一、四 6、在△ABC中，AB=AC=1，BC=x，∠A=36.則的值為（） A、 B、 C、1 D、 7、線段AB=10cm，點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC與AB的關系是（ ） A、AC=AB B、AC=AB C、AC=AB D、AC=AB 8、如圖，已知在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點，DE∥BC ， EF∥AB ， 且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（　　）. A、5：8 B、3：8 C、3：5 D、2：5 9、在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一個和它相似的△DEF最長的一邊是36，則△DEF最短的一邊是（　?。? A、72 B、18 C、12 D、20 10、如圖，在55的正方形方格中，△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，作一個與△ABC相似的△DEF ， 使它的三個頂點都在小正方形的頂點上，則△DEF的最大面積是（　?。? A、5 B、10 C、 D、 11、 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠B=30，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于點D，連接AE，則S△ADE：S△CDB的值等于（　　） A、1： B、1： C、1：2 D、2：3 12、 如圖的矩形ABCD中，E點在CD上，且AE＜AC．若P、Q兩點分別在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直線PQ交AC于R點，且Q、R兩點到CD的距離分別為q、r，則下列關系何者正確？（　　） A、q＜r，QE=RC B、q＜r，QE＜RC C、q=r，QE=RC D、q=r，QE＜RC 二、填空題 13、已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F且AB：DE=1：2，則EF：BC=________． 14、△ABC中，∠A=90，AB=AC ， BC=63cm，現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示，已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是從下往上數(shù)第________張． 15、 如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B的坐標分別為（8，0）、（0，2 ），C是AB的中點，過點C作y軸的垂線，垂足為D，動點P從點D出發(fā)，沿DC向點C勻速運動，過點P作x軸的垂線，垂足為E，連接BP、EC．當BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，點P的坐標為________ 16、 如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的有________（寫出所有正確結(jié)論的序號） ①△CMP∽△BPA； ②四邊形AMCB的面積最大值為10； ③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線； ④線段AM的最小值為2 ； ⑤當△ABP≌△ADN時，BP=4 ﹣4． 17、 如圖，反比例函數(shù)y= （k≠0）的圖象經(jīng)過A，B兩點，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，連接AO，連接BO交AC于點E，若OC=CD，四邊形BDCE的面積為2，則k的值為________． 三、作圖題 18、 如圖，已知△ABC，∠BAC=90，請用尺規(guī)過點A作一條直線，使其將△ABC分成兩個相似的三角形（保留作圖痕跡，不寫作法） 四、解答題 19、已知：如圖，△ABC∽△ADE ， ∠A=45，∠C=40．求：∠ADE的度數(shù)． ? 20、如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE與△ABC相似，求AE的長． ? 21 .如圖，已知△ABC．只用直尺（沒有刻度的尺）和圓規(guī)，求作一個△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF=BC．（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法） 22、 在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）． （1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1； （2）以M點為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2 ， 使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2：1； （3）若每一個方格的面積為1，則△A2B2C2的面積為 ． 五、綜合題 23、 尤秀同學遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設BC=a，AC=b，AB=c． 求證：a2+b2=5c2 該同學仔細分析后，得到如下解題思路： 先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故 ，設PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證 (1)請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程． (2)利用題中的結(jié)論，解答下列問題：在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值． 24、 如圖1，在直角坐標系xoy中，直線l：y=kx+b交x軸，y軸于點E，F(xiàn)，點B的坐標是（2，2），過點B分別作x軸、y軸的垂線，垂足為A、C，點D是線段CO上的動點，以BD為對稱軸，作與△BCD或軸對稱的△BC′D． (1)當∠CBD=15時，求點C′的坐標． (2)當圖1中的直線l經(jīng)過點A，且k=﹣ 時（如圖2），求點D由C到O的運動過程中，線段BC′掃過的圖形與△OAF重疊部分的面積． (3)當圖1中的直線l經(jīng)過點D，C′時（如圖3），以DE為對稱軸，作于△DOE或軸對稱的△DO′E，連結(jié)O′C，O′O，問是否存在點D，使得△DO′E與△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，請說明理由．  答案解析部分 一、單選題 【答案】D 【考點】比例線段 【解析】【解答】A、14≠23，故錯誤； B、16.5≠34.5，故錯誤； C、1.14.4≠2.23.3，故錯誤； D、14=22，故正確． 故選D． 【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．依次分析各項即可． 【答案】B 【考點】黃金分割 【解析】【解答】∵AC＞BC， ∴AC是較長的線段， 根據(jù)黃金分割的定義可知：AB：AC=AC：BC，故A正確，不符合題意； AC2=AB?BC，故B錯誤，＝， 故C正確，不符合題意；≈0.618，故D正確，不符合題意． 故選B． 【分析】本題主要考查了黃金分割，應該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的倍，較長的線段=原線段的倍，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（)叫做黃金比． 【答案】B 【考點】分式的化簡求值，比例線段 【解析】【解答】由已知，得 2（2y﹣z)=y，即y=z，① 5（2y﹣z)=z+2x，即x=5y﹣3z，② 由①②，得 x=z，③ 把①③代入（3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)，得 （3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)=z：z：z=3：5：7． 故選B． 【分析】先根據(jù)已知條件，利用z來表示x和y，然后再將其代入所求化簡、求值。 【答案】D 【考點】坐標與圖形性質(zhì)，位似變換 【解析】【解答】∵矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似， ∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC， ∵矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的， ∴位似比為：1：2， ∵點B的坐標為（-4，6)， ∴點B′的坐標是：（-2，3)或（2，-3)． 故選：D． 【分析】由矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的 ，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′與矩形OABC的位似比為1：2，又由點B的坐標為（-4，6)，即可求得答案． 【答案】A 【考點】比例的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，平方的非負性，二次根式的非負性 【解析】【解答】+n2+9=6n， =﹣（n﹣3)2 ， ∴m=5，n=3， ∵k= ∴a+b﹣c=ck，a﹣b+c=bk，﹣a+b+c=ak， 相加得：a+b+c=（a+b+c)k， 當a+b+c=0時，k為任何數(shù)， 當a+b+c≠0時，k=1， 即：y=kx+8或y=x+8， 所以圖象一定經(jīng)過一二象限． 故選A． 【分析】首先由+n2+9=6n，根據(jù)二次根式和完全平方式確定m n的值，再由k=?，利用比例的性質(zhì)確定K的值，根據(jù)函數(shù)的圖象特點即可判斷出選項． 【答案】D 【考點】黃金分割 【解析】【解答】由題意可得△ABC為黃金三角形，根據(jù)黃金比即可得到x的值，再代入求值即可. ∵AB=AC=1，∠A=36 ∴△ABC為黃金三角形 ∴BC= ∴== 故選D. 【分析】解題的關鍵是熟記頂角為36的等腰三角形是黃金三角形，黃金比為 【答案】B 【考點】黃金分割 【解析】【解答】根據(jù)黃金分割的概念知，AC：AB=， ∴AC=AB． 故本題答案為：B． 【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（)叫做黃金比． 【答案】A 【考點】平行線分線段成比例 【解析】【解答】∵AD：DB=3：5， ∴BD：AB=5：8， ∵DE∥BC ， ∴CE：AC=BD：AB=5：8， ∵EF∥AB ， ∴CF：CB=CE：AC=5：8． 故選：A． 【分析】先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC ， 根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB ， 然后由EF∥AB ， 根據(jù)平行線分線段成比例定理，得CF：CB=CE：AC ， 則可求得答案．注意掌握比例線段的對應關系是解此題的關鍵． 【答案】B 【考點】相似三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】設△DEF最短的一邊是x ， ∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一個和它相似的△DEF最長的一邊是36， ∴ = ， 解得：x=18． 故選B ． 【分析】設△DEF最短的一邊是x ， 由相似三角形的性質(zhì)得到 = ，即可求出x ， 得到△DEF最短的邊． 【答案】A 【考點】相似三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】從圖中可以看出△ABC的三邊分別是2， ， ， 要讓△ABC的相似三角形最大，就要讓DF為網(wǎng)格最大的對角線，即是 ， 所以這兩，相似三角形的相似比是 : = :5 △ABC的面積為212=1， 所以△DEF的最大面積是5．故選A ． 【分析】要讓△ABC的相似三角形最大，就要讓AC為網(wǎng)格最大的對角線，據(jù)此可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答． 【答案】D 【考點】圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【解答】解： ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90， ∵∠B=30， ∴ ， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴ ， ∴AD= AB，BD= AB， 過C作CE⊥AB于E，連接OE， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴ = ， ∴OE⊥AB， ∴OE= AB，CE= AB， ∴S△ADE：S△CDB=（ AD?OE）：（ BD?CE）=（ ）：（ ）=2：3． 故選D． 【分析】由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90，根據(jù)已知條件得到 ，根據(jù)三角形的角平分線定理得到 ，求出AD= AB，BD= AB，過C作CE⊥AB于E，連接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE= AB，CE= AB，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．本題考查了圓周角定理，三角形的角平分線定理，三角形的面積的計算，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵． 【答案】D 【考點】矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例 【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB∥CD， ∵AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1， ∴ ， ∴PQ∥CD， ∴ =4， ∵平行線間的距離相等， ∴q=r， ∵ =4，∴ = ， ∵AE＜AC， ∴QE＜CR． 故選D． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB∥CD，根據(jù)已知條件得到 ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到PQ∥CD， =4，根據(jù)平行線間的距離相等，得到q=r，證得 = ，于是得到結(jié)論．本題考查了平行線分線段成比例定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵． 二、填空題 【答案】2：1 【考點】相似三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF ， ∠A=∠D ， ∠C=∠F ， ∴ ＝ ＝ ， ∵AB：DE=1：2， ∴EF：BC=2：1， 故答案為2：1． 【分析】利用相似三角形的對應邊的比相等可以求得兩條線段的比． 【答案】10 【考點】等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，相似三角形的應用 【解析】【解答】過點A作AD⊥BC于點D ， ∵△ABC中，∠A= ，AB=AC ， BC=63cm， ∴AD=BD= BC= 63= cm． 設這張正方形紙條是從下往上數(shù)第n張， ∵則BnCn∥BC ， ∴△ABnCn∽△ABC ， ∴ ，即 ， 解得n=10． 故答案為：10． 【分析】先求出△ABC的高，再根據(jù)截取正方形以后所剩下的三角形與原三角形相似，根據(jù)相似三角形對應邊上的高的比等于相似比進行求解．解答此類題熟練掌握相似三角形性質(zhì)：相似三角形周長的比等于相似比； 相似三角形面積的比等于相似比的平方；相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比． 【答案】（1， ） 【考點】坐標與圖形性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵點A、B的坐標分別為（8，0），（0，2 ） ∴BO= ，AO=8,由CD⊥BO，C是AB的中點，可得BD=DO= BO= =PE，CD= AO=4 設DP=a，則CP=4﹣a 當BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，∠FCP=∠DBP 又∵EP⊥CP，PD⊥BD ∴∠EPC=∠PDB=90 ∴△EPC∽△PDB ∴ ，即 解得a1=1，a2=3（舍去） ∴DP=1 又∵PE= ∴P（1， ） 故答案為：（1， ）． 【分析】先根據(jù)題意求得CD和PE的長，再判定△EPC∽△PDB，列出相關的比例式，求得DP的長，最后根據(jù)PE、DP的長得到點P的坐標．本題主要考查了坐標與圖形性質(zhì)，解決問題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．解題時注意：有兩個角對應相等的兩個三角形相似． 【答案】①②⑤ 【考點】全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定 【解析】【解答】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN， ∵∠CPN+∠NPB=180， ∴2∠NPM+2∠APE=180， ∴∠MPN+∠APE=90， ∴∠APM=90， ∵∠CPM+∠APB=90，∠APB+∠PAB=90， ∴∠CPM=∠PAB， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90， ∴△CMP∽△BPA．故①正確， 設PB=x，則CP=4﹣x， ∵△CMP∽△BPA， ∴ = ，∴CM= x（4﹣x），∴S四邊形AMCB= [4+ x（4﹣x）]4=﹣ x2+2x+8=﹣ （x﹣2）2+10， ∴x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確， 當PB=PC=PE=2時，設ND=NE=y， 在RT△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y= ， ∴NE≠EP，故③錯誤， 作MG⊥AB于G， ∵AM= = ， ∴AG最小時AM最小， ∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣1）2+3， ∴x=1時，AG最小值=3， ∴AM的最小值= =5，故④錯誤． ∵△ABP≌△ADN時， ∴∠PAB=∠DAN=22.5，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z， ∴∠KPA=∠KAP=22.5 ∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45， ∴∠BPK=∠BKP=45， ∴PB=BK=z，AK=PK= z，∴z+ z=4，∴z=4 ﹣4，∴PB=4 ﹣4故⑤正確． 故答案為①②⑤． 【分析】①正確，只要證明∠APM=90即可解決問題． ②正確，設PB=x，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可． ③錯誤，設ND=NE=y，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解決問題． ④錯誤，作MG⊥AB于G，因為AM= = ，所以AG最小時AM最小，構(gòu)建二次函數(shù)，求得AG的最小值為3，AM的最小值為5． ⑤正確，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z，列出方程即可解決問題．本題考查相似形綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題． 【答案】- 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行線分線段成比例 【解析】【解答】解：設點B坐標為（a，b），則DO=﹣a，BD=b ∵AC⊥x軸，BD⊥x軸 ∴BD∥AC ∵OC=CD ∴CE= BD= b，CD= DO= a ∵四邊形BDCE的面積為2 ∴ （BD+CE）CD=2，即 （b+ b）（﹣ a）=2 ∴ab=﹣ 將B（a，b）代入反比例函數(shù)y= （k≠0），得 k=ab=﹣ 故答案為：﹣ 【分析】先設點B坐標為（a，b），根據(jù)平行線分線段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底邊長與高，再根據(jù)四邊形BDCE的面積求得ab的值，最后計算k的值．本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解決問題的關鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行求解．本題也可以根據(jù)△OCE與△ODB相似比為1：2求得△BOD的面積，進而得到k的值． 三、作圖題 【答案】解：如圖，AD為所作． 【考點】作圖—相似變換 【解析】【分析】過點A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，則可判斷△ABD與△CAD相似．本題考查了作圖﹣相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．解決本題的關鍵是利用有一組銳角相等的兩直角三角形相似． 四、解答題 【答案】解答：∵△ABC∽△ADE ， ∠C=40， ∴∠AED=∠C=40． 在△ADE中， ∵∠AED+∠ADE+∠A=180，∠A=45 即40+∠ADE+45=180， ∴∠ADE=95． 【考點】相似三角形的性質(zhì) 【解析】【分析】由△ABC∽△ADE ， ∠C=40，根據(jù)相似三角形的對應角相等，即可求得∠AED的度數(shù)，又由三角形的內(nèi)角和等于180，即可求得∠ADE的度數(shù)． 【答案】解答：①若∠AED對應∠B時， = ，即 = ， 解得AE= ； ②當∠ADE對應∠B時， = ，即 = ， 解得AE=2． 所以AE的長為2或 ． 【考點】相似三角形的性質(zhì) 【解析】【分析】由于△ADE與△ABC相似，但其對應角不能確定，所以應分兩種情況進行討論． 【答案】解：畫圖? △DEF就是所求三角形． 【考點】三角形中位線定理，作圖—相似變換 【解析】【分析】作△ABC的中位線MN，再作△DEF≌△AMN即可． 【答案】解：（1）如圖所示：△A1B1C1 ， 即為所求； （2）如圖所示：△A2B2C2 ， 即為所求； （3）△A2B2C2的面積為：48﹣24﹣26﹣28=14． 故答案為：14． ? 【考點】作圖-軸對稱變換，作圖—相似變換 【解析】【分析】（1）直接利用關于x軸對稱點的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案； （2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案； （3）利用△A2B2C2所在矩形的面積減去周圍三角形面積進而得出答案． 五、綜合題 【答案】 （1）解：設PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1， ∵AF，BE是△ABC的中線， ∴EF為△ABC的中位線，AE= b，BF= a， ∴EF∥AB，EF= c， ∴△EFP∽△BPA， ∴ ，即 = ， ∴PB=2n，PA=2m， 在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2 ， ∴n2+4m2= b2①， 在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2 ， ∴m2+4n2= a2②， ①+②得5（n2+m2）= （a2+b2）， 在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2 ， ∴n2+m2=EF2= c2 ， ∴5? c2= （a2+b2）， ∴a2+b2=5c2； （2）解：∵四邊形ABCD為菱形， ∴BD⊥AC， ∵E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點， 由（1）的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=532=45， ∵AG∥BC， ∴△AEG∽△CEB， ∴ = ， ∴AG=1， 同理可得DH=1， ∴GH=1， ∴GH∥BC， ∴ = ， ∴MB=3GM，MC=3MH， ∴9MG2+9MH2=45， ∴MG2+MH2=5． 【考點】三角形中位線定理，相似三角形的判定 【解析】【分析】（1）設PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB，EF= c，則可判斷△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接著根據(jù)勾股定理得到n2+4m2= b2 ， m2+4n2= a2 ， 則5（n2+m2）= （a2+b2），而n2+m2=EF2= c2 ， 所以a2+b2=5c2；（2）利用（1）的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=532=45，再利用△AEG∽△CEB可計算出AG=1，同理可得DH=1，則GH=1，然后利用GH∥BC，根據(jù)平行線分線段長比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代換后可得MG2+MH2=5．本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．也考查了三角形中位線性質(zhì)和菱形的性質(zhì)． 【答案】 （1）解：∵△CBD≌△C′BD， ∴∠CBD=∠C′BD=15，C′B=CB=2， ∴∠CBC′=30， 如圖1，作C′H⊥BC于H，則C′H=1，HB= ， ∴CH=2﹣ ， ∴點C′的坐標為：（2﹣ ，1） （2）解：如圖2，∵A（2，0），k=﹣ ， ∴代入直線AF的解析式為：y=﹣ x+b， ∴b= ， 則直線AF的解析式為：y=﹣ x+ ， ∴∠OAF=30，∠BAF=60， ∵在點D由C到O的運動過程中，BC′掃過的圖形是扇形， ∴當D與O重合時，點C′與A重合， 且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形， 當C′在直線y=﹣ x+ 上時，BC′=BC=AB， ∴△ABC′是等邊三角形，這時∠ABC′=60， ∴重疊部分的面積是： ﹣ 22= π﹣ （3）解：如圖3，設OO′與DE交于點M，則O′M=OM，OO′⊥DE， 若△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△， 在點D由C到O的運動過程中，△COO′中顯然只能∠CO′O=90， ∴CO′∥DE， ∴CD=OD=1， ∴b=1， 連接BE，由軸對稱性可知C′D=CD，BC′=BC=BA， ∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90， 在Rt△BAE和Rt△BC′E中 ∵ ， ∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL）， ∴AE=C′E， ∴DE=DC′+C′E=DC+AE， 設OE=x，則AE=2﹣x， ∴DE=DC+AE=3﹣x， 由勾股定理得：x2+1=（3﹣x）2 ， 解得：x=， ∵D（0，1），E（ ，0）， ∴ k+1=0， 解得：k=﹣ ， ∴存在點D，使△DO′E與△COO′相似，這時k=﹣ ，b=1． 【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似圖形 【解析】【分析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)得出∠CBD=∠C′BD=15，C′B=CB=2，進而得出CH的長，進而得出答案；（2）首先求出直線AF的解析式，進而得出當D與O重合時，點C′與A重合，且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形，求出即可；（3）根據(jù)題意得出△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，進而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的長進而得出答案．