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1、
1.3.2 球的體積和表面積
【課時目標】 1．了解球的體積和表面積公式．2．會用球的體積和表面積公式解決實際問題．3．培養(yǎng)學生的空間想象能力和思維能力．
1．球的表面積
設球的半徑為R，則球的表面積S＝________，即球的表面積等于它的大圓面積的________倍．
2．球的體積
設球的半徑為R，則球的體積V＝________．
一、選擇題
1．一個正方體與一個球表面積相等，那么它們的體積比是( )
A． B．
C． D．
2．把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴
2、大到原來的( )
A．2倍 B．2倍
C．倍 D．倍
3．正方體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為( )
A．1∶ B．1∶3
C．1∶3 D．1∶9
4．若三個球的表面積之比為1∶2∶3，則它們的體積之比為( )
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶4∶7
5．長方體的一個頂點上的三條棱長分別為3,4,5，且它的8個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為( )
A．25π
3、 B．50π
C．125π D．以上都不對
6．一個圓錐與一個球的體積相等，圓錐的底面半徑是球半徑的3倍，圓錐的高與球半徑之比為( )
A．4∶9 B．9∶4
C．4∶27 D．27∶4
二、填空題
7．毛澤東在《送瘟神》中寫到：“坐地日行八萬里”．又知地球的體積大約是火星的8倍，則火星的大圓周長約________萬里．
8．將一鋼球放入底面半徑為3 cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，則鋼球的半徑是________．
9．(1)表面積相等的正方體和球中，體積較大的幾何體是___
4、_____；
(2)體積相等的正方體和球中，表面積較小的幾何體是________．
三、解答題
10．如圖所示，一個圓錐形的空杯子上放著一個直徑為8 cm的半球形的冰淇淋，請你設計一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑，杯子壁厚忽略不計)，使冰淇淋融化后不會溢出杯子
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，怎樣設計最省材料？
11．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度．
能力提升
12．
5、已知棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個球，某學生畫出了四個過球心的平面截球與三棱錐所得的圖形，如圖所示，則( )
A．以上四個圖形都是正確的
B．只有(2)(4)是正確的
C．只有(4)是錯誤的
D．只有(1)(2)是正確的
13．有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體，第二個球與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比．
1．利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構成直角三角形，進行相關計算．
2．解決球與其他幾何體的切接問題，通常作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在
6、平面圖形中，再進行相關計算．
3．解答組合體問題要注意知識的橫向聯(lián)系，善于把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，運用方程思想與函數(shù)思想解決，融計算、推理、想象于一體．
1．3．2 球的體積和表面積 答案
知識梳理
1．4πR2 4 2．πR3
作業(yè)設計
1．A [先由面積相等得到棱長a和半徑r的關系a＝r，再由體積公式求得體積比為．]
2．B [由面積擴大的倍數(shù)可知半徑擴大為原來的倍，則體積擴大到原來的2倍．]
3．C [關鍵要清楚正方體內(nèi)切球的直徑等于棱長a，外接球的直徑等于a．]
4．C [由表面積之比得到半徑之比為r1∶r2∶r3＝1∶∶，從而得體積之比為V1
7、∶V2∶V3＝1∶2∶3．]
5．B [外接球的直徑2R＝長方體的體對角線＝(a、b、c分別是長、寬、高)．]
6．A [設球半徑為r，圓錐的高為h，則π(3r)2h＝πr3，可得h∶r＝4∶9．]
7．4
解析 地球和火星的體積比可知地球半徑為火星半徑的2倍，日行8萬里指地球大圓的周長，即2πR地球＝8，故R地球＝(萬里)，所以火星的半徑為萬里，其大圓的周長為4萬里．
8．3 cm
解析 設球的半徑為r，則36π＝πr3，可得r＝3 cm．
9．(1)球 (2)球
解析 設正方體的棱長為a，球的半徑為r．
(1)當6a2＝4πr2時，V球＝πr3＝a3>a3＝V正方體；
8、(2)當a3＝πr3時，S球＝4πr2＝6a2<6a2＝S正方體．
10．解 要使冰淇淋融化后不會溢出杯子，則必須
V圓錐≥V半球，V半球＝πr3＝π43，
V圓錐＝Sh＝πr2h＝π42h．
依題意：π42h≥π43，解得h≥8．
即當圓錐形杯子杯口直徑為8 cm，高大于或等于8 cm時，冰淇淋融化后不會溢出杯子．
又因為S圓錐側(cè)＝πrl＝πr，
當圓錐高取最小值8時，S圓錐側(cè)最小，所以高為8 cm時，
制造的杯子最省材料．
11．解 由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面．
根據(jù)切線性質(zhì)知，當球在容器內(nèi)時，水深為3r，水面的半徑為r，則容器
9、內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝π(r)23r－πr3＝πr3，而將球取出后，設容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積是V′＝π(h)2h＝πh3，由V＝V′，得h＝r．
即容器中水的深度為r．
12．C [正四面體的任何一個面都不能外接于球的大圓(過球心的截面圓)．]
13．解 設正方體的棱長為a．如圖所示．
①正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點是正方體六個面的中心，經(jīng)過四個切點及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2．
②球與正方體的各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2．
③正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，所以有2r3＝a，
r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2．
綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．
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2014-2015學年高中數(shù)學（人教A版必修二）第1章 1.3.2 課時作業(yè)（含答案）
