2014-2015學年高中數(shù)學 第三章 3.4基本不等式（二）導學案新人教A版必修

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1、 3.4　基本不等式：≤(二) 課時目標 1．熟練掌握基本不等式及變形的應用； 2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． 1．設x，y為正實數(shù) (1)若x＋y＝s(和s為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值，且這個值為. (2)若xy＝p(積p為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值，且這個值為2. 2．利用基本不等式求積的最大值或和的最小值時，需滿足： (1)x，y必須是正數(shù)； (2)求積xy的最大值時，應看和x＋y是否為定值；求和x＋y的最小值時，應看積xy是否為定值． (3)等號成立的條件是否滿足． 利用基本不等式求最值時，一定要注意三個前提條件，這

2、三個前提條件概括為“一正、二定、三相等”． 一、選擇題 1．函數(shù)y＝log2 (x>1)的最小值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－3 B．3 C．4 D．－4 答案　B 2．已知點P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點的直線上，則2x＋4y的最小值為(　　) A．2 B．4 C．16 D．不存在 答案　B 解析　∵點P(x，y)在直線AB上，∴x＋2y＝3. ∴2x＋4y≥2＝2＝4(x＝，y＝時取等號)． 3．已知x≥，則f(x)＝有(　　) A．最大值

3、 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 答案　D 解析　f(x)＝＝ ＝≥1. 當且僅當x－2＝，即x＝3時等號成立． 4．函數(shù)y＝的最小值為(　　) 1 / 6 A．2 B. C．1 D．不存在 答案　B 解析　y＝＝＋ ∵≥2，而≤，所以不能用基本不等式求最小值，用函數(shù)的單調性求最值，函數(shù)y＝x＋在(1，＋∞)上是增函數(shù)，∴在[2，＋∞)上也是增函數(shù)． ∴當＝2即x＝0時，ymin＝. 5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4

4、 C. D. 答案　B 解析　∵8－(x＋2y)＝2xy＝x(2y)≤()2. ∴原式可化為(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0. ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4. 當x＝2，y＝1時取等號． 6．若xy是正數(shù)，則2＋2的最小值是(　　) A．3 B. C．4 D. 答案　C 解析　2＋2 ＝x2＋y2＋＋＋ ＝＋＋≥1＋1＋2＝4. 當且僅當x＝y(tǒng)＝或x＝y(tǒng)＝－時取等號． 二、填空題 7．設x>－1，則函數(shù)y＝的最小值是________． 答案　9 解析　∵x>－1，∴x＋1>0， 設x＋1＝t>

5、0，則x＝t－1， 于是有y＝＝＝t＋＋5≥ 2＋5＝9， 當且僅當t＝，即t＝2時取等號，此時x＝1. ∴當x＝1時， 函數(shù)y＝取得最小值為9. 8．已知正數(shù)a，b滿足a＋b－ab＋3＝0，則ab的最小值是________． 答案　9 解析　∵a＋b－ab＋3＝0， ∴ab＝a＋b＋3≥2＋3. 令＝t，則t2≥2t＋3. 解得t≥3(t≤－1舍)．即≥3. ∴ab≥9.當且僅當a＝b＝3時，取等號． 9．建造一個容積為8 m3，深為2 m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價為________元． 答案

6、　1 760 解析　設水池的造價為y元，長方形底的一邊長為x m，由于底面積為4 m2，所以另一邊長為 m．那么 y＝1204＋280＝480＋320 ≥480＋3202＝1 760(元)． 當x＝2，即底為邊長為2 m的正方形時，水池的造價最低，為1 760元． 10．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的圖象恒過點A，若點A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，則＋的最小值為________． 答案　8 解析　∵A(－2，－1)在直線mx＋ny＋1＝0上， ∴－2m－n＋1＝0， 即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0. ∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋

7、2＝8. 當且僅當＝，即m＝，n＝時等號成立． 故＋的最小值為8. 三、解答題 11．已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解　方法一　∵＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋. ∵x>0，y>0，∴＋≥2 ＝6. 當且僅當＝，即y＝3x時，取等號． 又＋＝1，∴x＝4，y＝12. ∴當x＝4，y＝12時，x＋y取最小值16. 方法二　由＋＝1，得x＝， ∵x>0，y>0，∴y>9. x＋y＝＋y＝y(tǒng)＋＝y(tǒng)＋＋1 ＝(y－9)＋＋10. ∵y>9，∴y－9>0， ∴y－9＋＋10≥2 ＋10＝16， 當且僅當y－9＝，即y＝12時取等號．

8、 又＋＝1，則x＝4， ∴當x＝4，y＝12時，x＋y取最小值16. 12．某種生產(chǎn)設備購買時費用為10萬元，每年的設備管理費共計9千元，這種生產(chǎn)設備的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年遞增，問這種生產(chǎn)設備最多使用多少年報廢最合算(即使用多少年的年平均費用最少)? 解　設使用x年的年平均費用為y萬元． 由已知，得y＝， 即y＝1＋＋(x∈N*)． 由基本不等式知y≥1＋2 ＝3，當且僅當＝，即x＝10時取等號．因此使用10年報廢最合算，年平均費用為3萬元． 能力提升 13．若關于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，

9、則對任意實常數(shù)k，總有(　　) A．2∈M,0∈M B．2?M,0?M C．2∈M,0?M D．2?M,0∈M 答案　A 解析　∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤. ∵＝＝(1＋k2)＋－2≥2－2. ∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，∴2∈M,0∈M. 14．設正數(shù)x，y滿足＋≤a恒成立，則a的最小值是______． 答案　 解析　∵≤ 成立， ∴＋≤，∴a≥. 1．利用基本不等式求最值必須滿足“一正、二定、三相等”三個條件，并且和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值． 2．使用基本不等式求最值時，若等號取不到，則考慮用函數(shù)單調性求解． 3．解決實際應用問題，關鍵在于弄清問題的各種數(shù)量關系，抽象出數(shù)學模型，利用基本不等式解應用題，既要注意條件是否具備，還要注意有關量的實際含義． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！