2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 3.4基本不等式（一）導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修

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1、 3.4　基本不等式：≤(一) 課時目標(biāo) 1．理解基本不等式的內(nèi)容及其證明； 2．能利用基本不等式證明簡單不等式． 1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”號)． 2．若a，b都為正數(shù)，那么≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立)，稱上述不等式為基本不等式，其中稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)． 3．基本不等式的常用推論 (1)ab≤2≤ (a，b∈R)； (2)當(dāng)x>0時，x＋≥2；當(dāng)x<0時，x＋≤－2. (3)當(dāng)ab>0時，＋≥2；當(dāng)ab<0時，＋≤－2. (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．

2、 一、選擇題 1．已知a>0，b>0，則，， ，中最小的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　特殊值法． 令a＝4，b＝2，則＝3，＝， ＝，＝.∴最?。? 方法二　＝，由≤≤≤ ，可知最小． 2．已知m＝a＋ (a>2)，n＝x2－2 (x<0)，則m、n之間的大小關(guān)系是(　　) A．m>n B．mn. 3．設(shè)a，b∈R，且a≠b，

3、a＋b＝2，則必有(　　) A．1≤ab≤ B．a(chǎn)b<1< C．a(chǎn)b<<1 D.>0， ∴>1，∴ab<1<. 4．已知正數(shù)02，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2與a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－

4、1)，又0>0，∴ >， ∴a2＋b2>. ∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2 ＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大． 6．若不等式x2＋ax＋1≥0對一切x∈恒成立，則a的最小值為(　　) A．0 B．－2 C

5、．－ D．－3 答案　B 解析　x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立 ?ax≥－x2－1?a≥max. ∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2. 二、填空題 7．若a<1，則a＋有最______值，為________． 答案　大　－1 解析　∵a<1，∴a－1<0， ∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0時取等號)， ∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1. 8．若lg x＋lg y＝1，則＋的最小值為________． 答案　2 解析　∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0， ∴＋＝＋≥2(x＝2時取等號)． 9．已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值

6、為________． 答案　3 解析　∵x>0，y>0且1＝＋≥2， ∴xy≤3.當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號． 10．若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍為________． 答案　 解析　∵x>0，∴>0，易知a>0. ∴≥， ∴≤x＋＋3. ∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1時取等號)， ∴≤5.∴a≥. 三、解答題 11．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 證明　∵a、b、c都是正數(shù)，∴、、也都是正數(shù)． ∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 12．a(chǎn)>b>c，n∈N且＋≥，求n的最

7、大值． 解　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0. ∵＋≥， ∴n≤＋. ∵a－c＝(a－b)＋(b－c)， ∴n≤＋， ∴n≤＋＋2. ∵＋≥2 ＝2(2b＝a＋c時取等號)． ∴n≤4.∴n的最大值是4. 能力提升 13．已知不等式(x＋y)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案　C 解析　只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可， 又(x＋y)＝1＋a＋＋a≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，等號成立僅當(dāng)a＝即可，所以()2＋2 ＋1≥9， 即()2＋2

8、 －8≥0求得≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值為4. 14．已知a，b，c為不等正實數(shù)，且abc＝1. 求證：＋＋<＋＋. 證明　∵＋≥2 ＝2， ＋≥2 ＝2， ＋≥2 ＝2， ∴2≥2(＋＋)， 即＋＋≥＋＋. ∵a，b，c為不等正實數(shù)， ∴＋＋<＋＋. 1．設(shè)a，b是兩個正實數(shù)，用min(a，b)表示a，b中的較小的數(shù)，用max(a，b)表示a，b中的較大的數(shù)，則有min(a，b)≤≤≤≤ ≤max(a，b)．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取到等號． 2．兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)…時，取‘＝’號”這句話的含義要有正確的理解． 一方面：當(dāng)a＝b時，＝； 另一方面：當(dāng)＝時，也有a＝b. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！