分式方程、無(wú)理方程及應(yīng)用題解析訓(xùn)練

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1、 分式方程、無(wú)理方程及應(yīng)用題解析訓(xùn)練 【例題精選】 例1:解方程1、 2、 分析:第一個(gè)方程是分式方程,要先化為整式方程去解,因此可以用去分母的一般解法去解,特別注意,方程兩邊各項(xiàng)都要乘以公分母.第二個(gè)方程是個(gè)無(wú)理方程,也要變?yōu)橛欣矸匠倘ソ?,可以將含根?hào)的式子留在一邊,其它移到另一邊,用兩邊平方的方法去掉根號(hào). 解:1、 兩邊同乘以(x+ 1)(x-1) 解得: 解:2、 變形為 兩邊平方 解得 經(jīng)檢驗(yàn):x = 1是增根,原方程解為x = 0. 說明:分式方程與無(wú)理方程的解法中,驗(yàn)根是必不可少的步驟之一,驗(yàn)根不是寫一下的形

2、式,而要實(shí)實(shí)在在的帶入去檢驗(yàn),如方程(2)中,當(dāng)x = 1時(shí),右邊為-2,而左邊是算術(shù)根,應(yīng)大于等于零,因此是增根,檢驗(yàn)分式方程時(shí),只有分母不為零就可以了. 例2:用換元法解方程: 分析:若用兩邊平方去根號(hào)有兩個(gè)根號(hào)很煩,題目又指定了用換元法,因此要考慮如何換元,將根式內(nèi)化簡(jiǎn),.而另一根號(hào)為,是互為倒數(shù)關(guān)系,因此可以找出如何換元的方法了. 解: 原方程變形為 設(shè) 原方程變形為 經(jīng)檢驗(yàn)x = 3是原方程的根. 說明:特別注意求出y值后沒有求完,而要再求x值. 例3:用換元法解方程: 分析:用換元法解無(wú)理方程時(shí),一般設(shè)根號(hào)內(nèi)整體為一個(gè)新的未知數(shù),這樣可變?yōu)橛?/p>

3、理方程,再去解. 解:原方程中設(shè)   原方程變形為 經(jīng)檢驗(yàn),是原方程的解. 例4:甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)勻速相向而行,在距A地7千米的地方相遇,相遇后各自以原來(lái)的速度按原方向繼續(xù)前進(jìn),甲到B地,乙到A地后,立即返回,兩人又在距B地4千米的地方相遇,求A、B兩地間距離. 分析:這個(gè)題目中已知數(shù)據(jù)比較少,可以用圖示法先表示出數(shù)量間關(guān)系,由兩次相遇可得出它們每次同時(shí)出發(fā)到相遇,所用時(shí)間相同,因此可以用時(shí)間相同列等量關(guān)系,而題中又沒表示出速度,可以設(shè)速度為一個(gè)中間變量,列方程就簡(jiǎn)單多了,因此引進(jìn)輔助未知數(shù)也是常用的方法之一,它可以使數(shù)量間關(guān)系變得更為簡(jiǎn)明. 解

4、:設(shè)A、B兩地距離為x千米,甲速為a千米/小時(shí),乙速為b千米/小時(shí). 6 由題意 整理為 經(jīng)檢驗(yàn)x = 0不合題意舍去,x = 17是原方程的解. 答:A、B兩地間距離為17米. 例5:一容器裝滿純藥液20升,第一次倒出若干升后用水加滿,第二次又倒出同樣多液體,又用水加滿,此時(shí),桶內(nèi)藥液濃度為25%,求每次倒出多少藥液? 分析:可設(shè)每次倒出藥液為x升,將兩次的倒出藥液剩藥及濃度進(jìn)行分析,如第一次倒出藥x升,剩藥20-x,濃度為,第二次倒出藥,剩藥,此時(shí)濃度為,這樣就找到了等量關(guān)系. 解:由題意        經(jīng)檢驗(yàn)x1 = 30不合題意舍去,

5、∴ x = 10是原方程的解. 答:每次倒出藥液為10升. 說明:分析兩次倒藥液情況,可以列出表格來(lái),將所列各項(xiàng)填入,這樣使等量關(guān)系更加清楚了. 例6:小明將勤工儉學(xué)掙得的100元錢按一年定期存入少兒銀行,到期后取出50元用來(lái)購(gòu)買學(xué)習(xí)用品,剩下的50元和應(yīng)得的利息又全部按一年定期存入,若存款的年利率保持不變,這樣到期后可以得到本金加利息共6元,求這種存款的年利率. 分析:近些年來(lái),由于商品經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,不少聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用題,其中存款利率就是其中的一種,利率與本金利息之間存在一定的固定關(guān)系,本金利率 = 利息,要按照題意,找到相應(yīng)的等量關(guān)系. 解:設(shè)這種存款的年利率為x, 由

6、題意          答:這種存款的年利率為10%. 說明:聯(lián)系生產(chǎn)實(shí)際的問題還有很多類型,比如出售商品,若按九折出售,即按原價(jià)的90%出售,只有將這些名詞的含義弄清楚了,才會(huì)正確解決這類問題. 例7:甲、乙兩人分別從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時(shí)相向而行,相遇后,二人繼續(xù)前進(jìn),乙的速度不變,甲每小時(shí)比原來(lái)我走1千米,結(jié)果甲到達(dá)B地后乙還需30分鐘才能到達(dá)A地,求乙每小時(shí)走多少千米. 分析:這是北京市1996年考試題,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力問題,甲、乙兩人從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時(shí)相向而行到相遇,隱含了剛好在A、B中點(diǎn)相遇的條件.即在

7、10千米地方相遇,題中甲到B地后乙還需30分鐘才能到A就是等量關(guān)系,這樣就可以列出方程了. 解:設(shè)乙每小時(shí)走x千米,則甲每小時(shí)走(x + 1)千米. 由題意          解得: 經(jīng)檢驗(yàn)都是原來(lái)分式方程的解,但x =-5不合題意舍去. ∴ x = 4是原方程的解. 答:乙每小時(shí)走4千米. 【綜合練習(xí)】 一、選擇題: 1.下列方程中有解的是( ). A. B. C. D. 2.的解的情況為( ). A.無(wú)解  B.x = -3或x = 2    C.x = 3 D.x = -2 3.用換元法解方程,若設(shè),則原方程

8、可化為( ). A. B. C. D. 4.方程根的個(gè)數(shù)是( ). A.0 B.1 C.2 D.4 5.無(wú)理方程的解為( ). A.無(wú)實(shí)根  B.x1 = -1, x2 = 3   C.+3   D.-1 二、解答題: 1.解分式方程. 2.求當(dāng)產(chǎn)生增根時(shí),m的值. 3.解方程. 4.用換元法解分式方程. 5.解方程. 6.解方程. 7.用換元法解方程. 8.要完成一件工程,甲獨(dú)作比甲、乙、丙三人合干多用5天,乙獨(dú)作比三個(gè)合干多用15到,丙獨(dú)作所需時(shí)間是三人合干所需時(shí)間的4倍,求三人單干各需多少時(shí)間完成.

9、 9.甲、乙兩人分別從相距36千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向是行,甲行至1千米時(shí),發(fā)現(xiàn)有東西遺忘在A地,立即返回,取物后又立即從A向B前進(jìn),結(jié)果兩人恰在AB中點(diǎn)處相遇,已知甲比乙每小時(shí)多走0.5千米,求兩人速度各多少? 10.甲步行上午6時(shí)從A出發(fā)于下午5時(shí)到達(dá)B地,乙騎自行車上午10時(shí)從A地出發(fā),于下午3時(shí)到達(dá)B地,問乙在什么時(shí)間追上甲的? 11.某工程隊(duì)按計(jì)劃挖土方200立方米,如果每天超額完成5立方米,則工程提前2天完成,求原計(jì)劃的天數(shù)及每天超額的百分?jǐn)?shù). 【答案及提示】 一、選擇題: 1.C 2.D 3.C 4.C 5.C 二、解答題 1.x = 2 提示

10、,用去分母的方法解分式方程. 2.m = 8 分式方程產(chǎn)生增根,原因在于方程兩邊乘了數(shù)值為0的代數(shù)式,去分母后 ,將x = 4代入后,得m = 8,因此當(dāng)方程產(chǎn)生增根時(shí),m = 8. 3.解:原方程變形為 兩邊同乘 x1 = 1, x2 = 2 經(jīng)檢驗(yàn)x = 2是增根,x = 1是原方程的根. 4.提示:設(shè) 5.提示:可先將根號(hào)中的一個(gè)移到另一邊,兩邊平方后再平方一次,即可化為有理方程, 解得是增根,舍去,所以x = 5 是原方程的根. 6.提示:將分母的因式進(jìn)行分解,找到最簡(jiǎn)公分母后,再用去分母的方法

11、去解,解得x = 2是增根,x = 3是原方程的根. 7.提示:設(shè),解得x = 6是原方程的解.中不右償4747 8.設(shè)三人合干x天完成,則甲獨(dú)作(x + 5)天,乙獨(dú)作(x + 15)天,丙獨(dú)作4x天完成. 由題意 解得x = 5,∴ 甲獨(dú)作10天,乙獨(dú)作20天,丙獨(dú)作20天. 9.甲速5千米/小時(shí),乙速4.5千米/小時(shí). 10.提示:甲從上午6點(diǎn)到下午5時(shí),走了11小時(shí),乙從上午10點(diǎn)到下午3點(diǎn),走了5 小時(shí),設(shè)乙x小時(shí)追上甲,甲走了(x + 4)小時(shí),設(shè)距離為a,則,解 得小時(shí)追上,即,即乙在下午1點(diǎn)20分追上. 11.提示:設(shè)原計(jì)劃x天,每天完成,由題意,,解得x = 10,每天超額的百分?jǐn)?shù)為25%.

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